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3.1.1方程的根与函数的零点


高一数学组

李毅

思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

方程 函数 函 数 的 图 象

X2-2x-3=0

X2-2x+1=0 y= x2-2x+1
y

X2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y= x2-2x-3
.
-1

y
2

.
-1 -2

.0
-3 -4

1 1 2

.

.
x
-1

2 1

. . . .
2

.
3 2

5

3

.

4

.
1

.
2

.

0

.

1

x
-1

1

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴的交点

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0

△<0
没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y y

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
注意:
零点指的是一个实数

零点是一个点吗?

等价关系: 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

例1:求下列函数的零点.

(1)y=-x2-x+20;

(2)y=2x-1;

探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的 图 象,如右图,我们发现函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3在 区间 ? ?2,1? 上有零点。计算 f (?2) 和 f (1) 的乘 积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间
y 5 4
3

2 1
-2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 3 4 5 x

? 2, 4? 上是否也具有这种特点呢?

y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线, 如果函数 结 论 并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。



y

y

a o
y

b x

a
y

o

b x

a

o

b

x

a

o

b

x

例2:已知函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的 (5) 曲线,判断下列结论,正确的是_________.

(1)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有且仅 有一个零点;
(2)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)无零点;

(3) f ( x)在(a, b)内有零点,必有 f (a) ? f (b) ? 0
(4)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有零点;
(5)若f (a) ? f (b) ? 0, 则在区间 (a, b)内函数f ( x)有零点;

例3、 (1)求函数f ( x) ? lg x ? 2 x ? 6的零点的个数.
(2)求函数f ( x) ? ? x ? 3x ? 5的零点的个数.
3

课堂练习:
1 1.函数 f ( x) ? x ? 零点的个数是 (C) x
A. 0 B. 1
2

C. 2

D.无数个

2.若函数f ( x) ? 2ax ? x ? 1在(0,1)内恰有一个零点,

(B) 则a的取值范围是

A.a ? ?1

B.a ? 1

C. ? 1 ? a ? 1

D.0 ? a ? 1

课堂小结:
1、函数零点的定义;

2、函数的零点与方程的根的关系; 3、确定函数的零点大致区间的方法。

作业:
1、求下列函数的零点:(1)y=-x2+6x+7; (2)y=x3-4x. 2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,求 loga25 + b2。


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