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高一数学周练(十二)教师版


高一数学周练(十二)
1.已知 A ?1, 2? , B ? 4, 2? ,则向量 AB 按向量 a ? ?1,3? 平移后得到的向量 A' B' 的坐标是( A ) A.(-3,0) B.(4,-3) C.(2,3) D.(-3,0) 2.若直线 y ? 2 x 按向量 a 平移得到直线 y ? 2 x ? 6 ,那么 a ( D ) A.只能是(-3,0) B.只能是(0,6) C.只能是(-3,0)或(0,6) D.有无数个 3.已知向量 a 、 b 不共线, c ? ka ? b ? k ? R ? , d ? a ? b, 如果 c ? d , ,那么( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向

?

???? ?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ? ?



?

? ?

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

?

? ?

?

? ?

?

? ?

4.(06 山东)设向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?1,1? , c ? ? ?1, ?2 ? , 若表示向量 4a, 4b ? 2c, 2 a ? c , d 的有向线 段首尾相连能构成四边形,则向量 d 为( A.(2,6) B.(-2,6)

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? ?

?

? ?

) C.(2,-6) D.(-2,-6)

?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? 5.(06 全国)设平面向量 a1 、 a2 、 a3 ,且 a1 ? a2 ? a3 ? 0 .如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足 bi ? 2 ai ,
且 ai 顺时针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则(
o

??

??



A. ?b1 ? b2 ? b3 ? 0

?? ?? ? ??

?

B. b1 ? b2 ? b3 ? 0

?? ?? ? ??

?

C. b1 ? b2 ? b3 ? 0

?? ?? ? ??

?

D. b1 ? b2 ? b3 ? 0 A )

?? ?? ? ??

?

6. (13 辽宁)已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为 (

??? ?

A. ? ,-

?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

7.设 a, b 是两个向量则( C ) A.若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b C.若 a ? b ,则 a ? b ? a ? b B.若 a ? b ? a ? b ,则存在实数 ? ,使得 b ? ? a D.若存在实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 a ? b ? a ? b

8.(07 北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 , 那么( ) A. AO ? OD

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2 AO ? OD

????

????

9.(05 全国)已知点 A( 3,1) , B(0, 0) , C ( 3,0) .设 ?BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E , 那么有 BC ? ? CE ,其中 ? 等于( A.2 B.

??? ?

??? ?

) C.-3 D.-

1 2

1 3

10.已知向量 a ? (1,2),b ? (2,3), c ? (?3,?4) 且 c ? ?1 a ? ?2 b ,则 λ1,λ2 的值分别为
1

( B ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2

【解析】因为 c=λ1a+λ2b,则有(-3,-4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1
? ?λ1+2λ2=-3, +3λ2),所以? 解得 λ1=1,λ2=-2. ?2λ1+3λ2=-4, ?

11.下列命颗中:①向量 a 与向量 b 共线 ? 存在唯一实数 ? ,使 b ? ? a ;②若 a ? 0 ,
r r r uu u r uur uu u r |b| 且 b ? ? a ,则 ? ? r ;③若 OP ? ?OA ? ?OB ,则 P, A, B 三点共线 ? ? ? ? ? 1 。 |a|
其中不正确的有( A. 0 个 )

r

r

r

r

r

r

B. 1个

C. 2个

D .3 个


? ? ?x,x≥y, ?y,x≥y, 12. (14· 浙江)记 max{x,y}=? min{x,y}=? 设 a,b 为平面向量,则( ?y,x<y, ?x,x<y. ? ?

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} 2 2 2 2 C.max{|a+b| ,|a-b| }≤|a| +|b| D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 【解析】对于 A,当 a=0,b≠0 时,不等式不成立;对于 B,当 a=b≠0 时,不等式不成立; 对 → → 于 C,D,设OA=a,OB=b,构造平行四边形 OACB,根据平行四边形法则,∠AOB 与∠OBC 至少 有一个大于或等于 90°,根据余弦定理,max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 成立,故选 D.

13.(04 全国)已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10), , 且 A、 B、 C 三点共线, 则 k= 14.已知 A(2,3), B(4,?3) ,点 P 在直线 AB 上,且 | AP |? __________ 【答案】 ( ,1)或(2,9)
???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 15.(15 北京)在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC .若 MN ? xAB ? y AC ,

??? ?

??? ?

??? ?

.

uuu r

1 uur | PB | ,则点 P 的坐标为 2

8 3

则x? 【答案】 【解析】

;y?



1 1 ,? 2 6

2

试题分析:特殊化,不妨设 AC ? AB ,AB ? 4,AC ? 3 ,利用坐标法,以 A 为原点,AB 为 x 轴, AC 为 y 轴,建立直角坐标系, A(0,0),M (0,2),C(0,3),B(4,0),N (2, ),

3 2

MN ? (2,? ),AB ? (4,0),AC ? (0,3),则(2,? ) ? x(4,0) ? y(0,3),
1 1 1 ,? x ? ,y ? ? . 2 2 6

??? ?

1 2

???

??? ?

1 2

4x ? 2,3y ? ?
考点:平面向量

16.(05 天津)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且

| OC |? 2 ,则 OC =



A
N

17.(07 江西)如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别

??? ? ???? ? ??? ? ???? 交直线 AB , AC 于不同的两点 M ,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN ,
则 m ? n 的值为 .

B

O

C

18.在 Rt ?ABC中,?C ? 90?, ?BAC ? 60?, AC ? 2 3 ,点P满足

uuu r uu u r uur uuu r uu u r AC AB BP ? ? PC, 若 AP ? m( uuu r ? uu u r ) ,则实数 m 的值为 | AC | | AB |
【答案】

M
.

4 3 3
. .

19.若 O 为△ABC 内一点, OA ? OB ? OC ,则 O 是△ABC 的 20.若 O 为△ABC 内一点, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是△ABC 的

21. ( 03 全国)已知 O 是平面上的一定点, A , B , C 是平面内不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

), ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的

.

22. 已 知 O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A , B , C 是 平 面 内 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

), ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的

.

23. 已 知 O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A , B , C 是 平 面 内 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

AB AC OP ? OA ? ? ( ???? ? ???? ), ? ? ? ? ? ?0, ?? ? , 则 点 P 的 轨 迹 一 定 通 过 △ ABC AB sin B AC sin C
的 .

???? ?

????

???? ?

???? ?

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? , , OC ,其中 OA 与 OB 24.(07 陕)如图,平面内有三个向量 OAOB
3

??? ? ??? ? ??? ? ???? 的夹角为 120° , OA 与 OC 的夹角为 30° ,且 OA ? OB ? 1 , ???? ???? ??? ? ??? ? OC ? 2 3 .若 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ? R) ,求 ? ? ? 的值.

C B O A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 25.在△ABC 中,E 为 AC 上一点,且 AC ? 4 AE ,P 为 BE 上一点,且满足 AP ? mAB ? nAC(m ? 0, n ? 0) ,


? 1 1 ? 取最小值时,求向量 a ? ? m, n ? 的模. m n
5 6
??? ? ??? ? ??? ?

【答案】

【解析】 BE ? AE ? AB ?

? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? 1 ???? ??? AC ? AB , BP ? AP ? AB ? ? m ? 1? AB ? nAC 4
??? ?

因为 B, P, E 三点共线,设 AP ? ? BE ,则 ? m ? 1? AB ? nAC =? ?

??? ?

??? ?

????

?? ? 1 ???? ??? AC ? AB ? ,其中 0 ? ? ? 1 ?4 ?

所以当 ? =

1 1 2 1 1 时, f ? ? ? 取得 最小值,从而 ? 取得最小值,此时, m ? , n ? 3 m n 3 6
5 ?1? ?1? m2 ? n2 ? ? ? ? ? ? ? 6 ?3? ? 6?
5 . 6
2 2

所以, a ?

?

故答案应填

???? ???? 26. (1)已知△ABC 的外心为 O,垂心为 H,重心为 G. 求证: GH ? 2OG .(欧拉线)
?ABC 的外接圆的圆心为 O, (2) (05 全国) 两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,
求实数 m .
4

证明:如图所示, ?

? AH ? BC ? AH ? DC,同理CH ? DA, ? DC ? BC

A F

???? ???? ?四边形ABCD为平行四边形? AH ? DC .

?H ? O?
H H H E

D

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? DC ? OC ? OD ? OC ? OB,? AH ? OC ? OB,
而 OH ? OA ? AH , ?OH ? OA ? OB ? OC

B

C

????

??? ? ????

????

??? ? ??? ? ??? ?

又 3OG ? OA ? OB ? OC,?3OG ? OH ,故 GH ? 2OG . 27.设 P 是 ?ABC 内一点,满足 AP ? ? x ? 2 y ? AB ? ? y ?1? AC ? x, y ? R ? .求实数 x 的取值范围. 【解析】如图. 若点 P 在 BC 边上, 且 AP ? xAB ? y AC .则

????

??? ? ??? ? ??? ?

????

????

????

????

??? ?

??? ?

??? ?

[来源:

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? AB ? BP ? AB ? uBC ? AB ? u AC ? AB ? ?1 ? u ? AB ? u AC

?

?

∴当点 P 在 BC 边上时, x ? y ? 1 ,点 P 在三角形内时,0< x ? y <1 .

?0<? x ? 2 y ? ? ? y ? 1? <1 ? 从而有 ? 0<x ? 2 y<1 ? 0<y ? 1<1 ?

得?

?1<y<2 . ?2<x<4

28.已知点 A, B, C , D 的坐标分别为 A(1,0), B(0,1), C (cos ? ,sin ? ) , ? ??0,2? ) . (1)若| AC |=| BC |,求角 ? 的值; (2)若 AC · BC ?

uuu r

1 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ,求 的值. 3 1 ? tan ?

解: (1) AC ? (cos? ?1,sin ? ), BC ? (cos ? ,sin ? ?1) ,
2 2 由| AC |=| BC |得 (cos ? ? 1) ? sin ? ) ?

uuu r

uuu r

cos 2 ? ? (sin ? ? 1) 2

即 2 ? 2cos ? ? 2 ? 2sin ? ? cos ? ? sin ? ,? tan ? ? 1, 又 ? ??0,2? ) , ? ? (2)由 AC · BC

?
4



5? ; 4

------6 分

uuu r

1 ? 得 (cos ? ? 1) cos ? ? (sin ? ? 1) sin ? ? 1 ,∴sinα +cosα = 2 . 3 3 3
4 5 ,∴2sinα cosα = ? . 9 9

上式两边平方得 1+2sinα cosα =

5 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? (sin ? ? cos ? ) ? ? =2sinα cosα ? ? .------12 分 sin ? 9 1 ? tan ? 1? cos ?
5

29. (08 鲁)函数 y=lncosx(-

π ? <x< ) 的图象是( 2 2



30. 给定实数 x ,定义 ? x? 为不大于 x 的最大整数, ? x? 为 x 的小数部分,且 x ? ? x? ? ?x? ,则
下列结论:① x ? 1 ? ? x? ? x ;② x ? ? x ? 是周期函数;③ x ? ? x ? 是偶函数;④ ?1 ? ?x? ? 1 .其中

不正确的是



31.(2009 鲁)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方 程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
2 x 32.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 ,当 x ? (?1, 4] 时, f ( x) ? x ? 2 ,则函数

f ( x) 在 [0, 2015] 上的零点个数是_______.605
33. 已知函数 f ( x) 满足:①对任意 x ? (0, ??) ,恒有 f (2 x ) ? 2 f (x )成立;②当 x ? (1, 2]时,

f ( x) ? 2 ? x ,若 f (a) ? f (2015) ,则满足条件的最小的正实数 a 是



34.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? a ln(1 ? x)(a ? R) 的图象关于原点对称. (1)求定义域及 a 的值; 1? m (2)若 e f ( x ) ? ? 0 有解,求 m 的取值范围. 2?m 【解析】(1) (-1,1) , a ? ?1 1? x (2) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln 1? x 1? m 1? x 1? m 由题意: e f ( x ) ? ? 0, 在 x ? (?1,1) 上有解, 即: ? , 2?m 1? x 2 ? m 2 1 2 1 ? x ? ? m ? ? (?1,1), ?1 ? ? m ? ? 1,? ?2 ? m ? 1, 3 3 3 3
? m ? ?? 2,1? …………………………………………16 分
35. 定义在 ?? ?,0? ? ?0,?? ? 上的偶函数 y ? f ?x ? ,当 x ? 0 时, f ?x ? ? lg x . (1)求 x ? 0 时 f ?x ? 的解析式; (2)若存在四个互不相同的实数 a, b, c, d 使 f ?a ? ? f ?b? ? f ?c ? ? f ?d ? ,求 abcd 的值.
6

【解析】 (1)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ?? x? ? lg?? x ? ,………………………3 分 因 f ?x ? 是定义在 ?? ?,0? ? ?0,?? ? 上的偶函数,即 f ?x? ? f ?? x? ? lg?? x? , 所以,当 x ? 0 时, f ?x ? ? lg?? x ? . …………………………6 分

(2)不妨设 a ? b ? c ? d ,令 f ?a ? ? f ?b? ? f ?c ? ? f ?d ? ? m ( m ? 0 ) ,则 当 x ? 0 时, f ?x? ? lg x ? m ,可得 lg x ? ? m ,即 x ? 10 或 10
m
?m


?m

当 x ? 0 时, f ?x ? ? lg?? x ? ? m ,可得 lg?? x ? ? ? m ,即 x ? ?10 或 ? 10
m



因 a ? b ? c ? d ,所以 a ? ?10 , b ? ?10
m

?m

, c ? 10

?m

m , d ? 10 ,

abcd ? 10m.10?m. ?10m . ?10?m ? 1 .
2

?

??

?

………………………16 分
2

1? , 36.已知函数 f ?x ? ? x ? 2bx ? c 为偶函数,关于 x 的方程 f ?x? ? a?x ? 1? 的构成集合 ?
(1)求 a, b, c 的值; (2)若 x ? ?? 2,2? ,求证:

f ?x ? ?
2 ?x?

5 ?1 x ? 1; 2

x (3) 设g?

??

f x ? ??f

若存在实数 x1 , x2 ? ?0,2? 使得 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? m , 求实数 m ?,

的取值范围. 【解析】 (1)由 f(x)为偶函数可知,b=0 方程 f ( x) ? a( x ? 1)
2

即 (a ? 1) x ? 2ax ? a ? c ? 0
2

?(a ? 1) ? 2a ? a ? c ? 0 所以 ? 2 ?4a ? 4(a ? 1)(a ? c) ? 0
2

1 ? 1 ?a ? 解得 ? 2 所以 a ? , b ? 0, c ? 1 2 ? ?c ? 1

(2)证明:由(1)得 f ( x) ? x ? 1,当 x ? ?? 2,2? 时,

( x 2 ? 1) ? (

5 ?1 5 ?1 2 5 ?1 | x | ?1)2 ? x ? ( 5 ? 1) | x |? | x | (| x | ?2) ? 0 2 2 2
5 ?1 x ? 1 对任意的 x ? ?? 2,2? 恒成立 2

[来源:学,科,网]

所以

f ?x ? ?

(3)由题意知, m ?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |max ,即 m ? g ( x)max ? g ( x)min

7

由(2)知,当 x ? ?0,2? 时, g ( x) ?

5 ?1 5 ?1 x ?1? (2 ? x) ? 1 ? 5 ? 1 2 2

所以当 x ? 0或2 时, g ( x) 有最大值 5 ? 1 考虑 ( x ? 1) ?
2

1 1 1 1 ( x ? 1) 2 ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 0 ,所以 2 2 2 2

f ( x) ?

2 ( x ? 1) 2

则 g ( x) ?

2 2 ( x ? 1) ? (2 ? x ? 1) ? 2 2 2 2

故 m ? 5 ?1? 2 2

8


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