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2010级高二下期数学检测试题四


2010 级高二下期数学检测试题四
班级 姓名 学号 总分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知直线 m 、 n 和平面 ? ,则 m // n 的一个必要不充分的条件是 ( ) A. m // ? , n // ? B. m ? ? , n ? ? C. m // ? , n

? ? D. m 、 n 与 ? 成等角

2.从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑选 方法共有 ( ) A.140 种 B.112 种 C.168 种 D.70 种 3.已知 AB ? 平面 ? , B 为垂足, BC 为斜线 AC 在平面 ? 内的射影, CD ? ? , ?ACD ? 60? , 则 ( ) ?BCD ? 45? , AC 和平面 ? 所成的角为 A. 90
?
6 4

B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

4. 1 ? x A.-4

?

? ?1 ? x ? 的展开式中 x 的系数是
B.-3 C.3 D.4





5.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的是 A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ?





6. 一个盒子里装有相同大小的红球、 白球共 30 个, 其中白球 4 个, 从中任取 2 个, 则概率为

1 1 2 C26C4 ? C4 2 C30

的事件是 ( ) A.没有白球 B.至少有一个白球 C.至少有一个红球 D.至多有一个白球 7.某班举行联欢会,原定的 6 个节目已排出节目单,演出前又增加了 3 个节目,若将这 3 个节目插入 原节目单中,则不同的插法总数为 ( ) A.504 B.210 C.336 D.378 8.5 张卡片上分别写有 A,B,C,D,E 5 个字母,从中任取 2 张卡片,这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序 相邻的概率为 ( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 10

D.

7 10

9.有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中 仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5, 则不同的排法共有 ( ) A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种 10.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上,且 AB=2,AD= 3 ,AA1=1,则顶点 A、B 间的球 面距离是 A.2 2? B. 2? ( )

C.

2? 2

D.

2? 4

11. 已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角的

余弦值为 A.

( B.



1 3

2 3

C.

3 3

D.

2 3

12 . 口 袋 里 放 有 大 小 相 等 的 两 个 红 球 和 一 个 白 球 , 有 放 回 地 每 次 摸 一 个 球 , 定 义 数 列

?an ?: an ? ?
5

?? 1, 第n次摸取红球 如果 那么 , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ? 3 的概率为 1,第n次摸取白球 ?
5

(

)

A. C 7 ( )( )

1 2 3 3

B. C 7 ( ) ( )

5

2 3

2

1 3

5

C. C 7 ( ) ( )

5

1 3

2

1 3

5

D. C 7 ( ) ( )

5

1 3

2

2 3

5

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.某高中共有学生 1200 人,其中高一年级有 500 人,高二年级有 400 人,高三年级有 300 人,采用 分层抽样方法抽取一个容量为 60 的样本, 那么高一、 高二、 高三各年级抽取学生个数分别应为________. 14. 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角, 则异面直线 AB 和 CD 所成的角为___________. 15. 一个四面体的所有棱长都为 6 , 四个顶点在同一个球面上, 则此球的体积为___________________. 16.若 ( x ?
2

1 n ) x2

展开式的各奇项系数之和为 32,则 n=

,其展开式中的常数项为



三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知 ( x ?

1 2 x

)n 展开式中的前三项系数成等差数列,求展开式中含 x 的项.

18.(本小题共 12 分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每 个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在 ! 同一个岗位服务的概率; (Ⅲ) 设随机变量ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数, 求ξ 的分布列.

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. (I)求证:PC⊥AB;(II)求二面角 B-AP-C 的大小;(III)求点 C 到平面 APB 的距离. P

A C

B

20. (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (I)求证:PO⊥平面 ABCD;(II)求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小; (III)线段 AD 上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为

3 2

?若存在,

求出

AQ QD

的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个 (n=1,2,3,4).现从袋中任取一球. ? 表示所取球的标号.(I)求 ? 的分布列,期望和方差; (II)若 ? =a ? ?b ,E ? =1,D? =11,试求 a,b 的值.

22.如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ) H 为 PD 上的动点, 与平面 PAD 所成最大角的正切值 若 EH 为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2

2010 级高二下期数学检测试题四参考答案
一、选择题: DACAD BABCC CB 13. 25,20,15;
0

14.
1 n

? 3

15.
1

9? ; 2
n ?1 2

16. 16
1 1 ?1 2 T3 ? Cn ( x 2 ) n ?2 ? ( x 2 )2 2

17.解: T1 ? Cn ( x 2 ) , T2 ? Cn ( x) 得前三项系数分别是 1 ,

1 ?1 ? ( x 2 ), 2

1 1 1 2 Cn , ( ) 2 Cn 2 2 1 2 2 1 1 前三项系数成等差数列,? 有 1 ? ( ) Cn ? 2 ? Cn 2 2 解得 n ? 8 或 n ? 1 (不合题意舍去) 1 1 r ?1 r 1 r 2 8? r Tr ?1 ? C8 ( x ) ( ) ( x 2 ) ? C8r ( ) r x 4?r 2 2
由 4 ? r ? 1得 r ? 3

1 ? 所求项是 T4 ?? C83 ( )3 x 4?3 ? 7 x 2 1 . 40

18.解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA,那么 P(EA)=
3 A3 1 ? . 2 4 C3 A4 40

即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

(Ⅱ)记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件 E,那么
4 A4 1 P(E)= 2 4 ? . C3 A4 10

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E )=1-P(E)=

9 . 10

(Ⅲ)随机变量ξ 可能取的值为 1,2.事件“ξ =2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,则 P(ξ =2)=
3 C32 A3 1 ? . 4 C32 A4 4

所以 p(ξ -1)=1-P(ξ =2)=

3 .ξ 的分布列是 4
1 2 P

ξ P

3 4

1 4

19. 解法一: A (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . ? AP ? BP ,? PD ? AB .? AC ? BC ,? CD ? AB . ? PD ? CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .? PC ? 平面 PCD ,? PC ? AB . (Ⅱ)? AC ? BC , AP ? BP ,?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC ,? PC ? BC .
? 又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC ? PC ? C ,? BC ? 平面 PAC .

D

B

C P E

取 AP 中点 E .连结 BE,CE . ? AB ? BP ,? BE ? AP .

A C

B

? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,? CE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.
? 在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ?

BC 6 3 . ? AB ? 6 ,? sin ?BEC ? BE 3 2
P H D A C B

? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin

6 . 3

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD ,? 平面 APB ? 平面 PCD . 过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H . ? 平面 APB ? 平面 PCD ? PD ,? CH ? 平面 APB .

? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB ? AC ? A , ? PC ? 平面 ABC .? CD ? 平面 ABC ,? PC ? CD .
在 Rt△PCD 中, CD ?

1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2

? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 . CH ?

PC ? CD 2 3 2 3 . ? 点 C 到平面 APB 的距离为 . ? PD 3 3
z P E y A C H x B

解法二: (Ⅰ)? AC ? BC , AP ? BP ,?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC ,? PC ? BC .? AC ? BC ? C ,? PC ? 平面 ABC .

? AB ? 平面 ABC ,? PC ? AB .
(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .

0,, 2,, 0, 0, 则 C (0,0) A(0, 0) B(2,0) .设 P(0, t ) . 0, ? PB ? AB ? 2 2 ,? t ? 2 , P(0, 2) .

取 AP 中点 E ,连结 BE,CE .? AC ? PC , AB ? BP ,? CE ? AP , BE ? AP .

??? ? ??? ? ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.? E (0, , EC ? (0, 1 ?1) , EB ? (2,1 ?1) , 11) , ?, ?,
cos?BEC ? EC ? EB EC EB ? 2 2? 6 ?
3 3 .? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos . 3 3

(Ⅲ)? AC ? BC ? PC , ? C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H ,且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离. 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C ? xyz .

???? 2 3 ???? ??? ? ?2 2 2? ? BH ? 2HE ,? 点 H 的坐标为 ? , , ? .? CH ? . 3 ?3 3 3?

? 点 C 到平面 APB 的距离为

2 3 . 3

20.解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形,所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1,所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1, 在 Rt△PBO 中,tan∠PBO=

2 PG 1 2 2 . ? ? , ?PBO ? arctan . 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arctan 2 BC 2 2 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 设 QD=x,则 S ?DQC ?

3 . 2

1 x ,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 2

在 Rt△POC 中, PC ? OC 2 ? OP2 ?

2, 所以 PC=CD=DP, S?PCD ?
AQ 1 ? . QD 3

3 3 ? 2)2 ? ( , 4 2

由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2,所以存在点 Q 满足题意,此时 解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 OD OP 向 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz, 依 题 意 , 易 得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以 CD 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos =(?11, PB=(,1,1). ,0), 1? ?

??? ???? ??? ? ?

??? ?

??? ?

6 , 3

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为

??? ? ??? ? 3 ,由(Ⅱ)知 CP ? (?1,0,1), CD ? (?1,1,0). 2 ??? ? ?n? ? 0, ?? x0 ? z0 ? 0, ? CP 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).则 ? ??? 所以 ? 即 x0 ? y0 ? z0 , ? ?n? ? 0, ?? x 0 ? y0 ? 0, ? CD
取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).

?????? CQ?n ??? ? ?1 ? y 1 3 3 ? 设 Q(0, y,0)(?1 ? y ? 1), CQ ? (?1, y,0), 由 ,得 ? , 解 y=- 或 2 n 2 2 3
y=

5 1 3 AQ 1 (舍去),此时 AQ ? , QD ? ,所以存在点 Q 满足题意,此时 ? . 2 2 2 QD 3

21. 解: (Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

1 1 3 1 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. ∴ E? ? 0 ? ? 1? 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 2 2 ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75. (Ⅱ)由 D ? ? (0 ? 1.5) ? ? (1 ? 1.5) ? 2 20 10 20 5

1 2

D? ? a2 D? ,得 a2×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以
当 a=2 时,由 1=2×1.5 ?b ,得 b=2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5 ?b ,得 b= ?4 .∴ ?

?a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ? b ? 2 ? b ? ?4

22. (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD. (Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3 ,所以 当 AH 最短时,∠EHA 最大,

即 当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大.此时

tan∠EHA=

AE 3 6 ? ? , AH AH 2
PA=2.

因此

AH= 2 .又 AD=2,所以∠ADH=45°,所以

解法一:因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC, 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

3 3 ,AO=AE·cos30°= , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin45°=

3 2 , 4

3 2 SO 4 15 3 8 30 2 2 ? , 又 SE ? EO ? SO ? ? ? , 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= ? SE 4 9 4 30 5 4
即所求二面角的余弦值为

15 . 5

解法二:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 又 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C(C,1,0) ,

D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 ,所以 , ,1 ) 2 2

??? ? ??? ? 3 1 AE ? ( 3,0,0), AF ? ( , ,1). 2 2
设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ),

??? ? ?m?AE ? 0, ? 则 ? ??? ? ?m?AF ? 0, ?


? 3x1 ? 0, ? 因此 ? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? 2 2

z1 ? ?1, 则m ? (0, 2, ?1),
BD⊥平面 AFC,

因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 故

??? ? BD 为平面 AFC 的一法向量.



??? ? ??? ? ??? ? m?BD 2?3 15 ??? ? ? BD =(- 3,3,0 ) ,所以 cos<m, BD >= ? . 5 | m |? BD | | 5 ? 12
二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

因为

15 . 5


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