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2.1.2指数函数及其性质(3)


2.1.2指数函数及其性质

一、指数函数图象的变换 1.说明下列函数图象与指数函数y=2x的 图象关系,并画出它们的图象:

(1) y ? 2

x ?1

, y?2

x?2

;

(2) y ? 2
x

x ?1

, y?2

x?2

;

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1.
x

(1) y ? 2
x

x ?1

,y?2

x?2

作出图象,显示出函数数据表 -3
x

-2

-1

0

1 2 4

2 4

3 8

y?2

0.125 0.25 0.5 1 0.25 0.5 1 2

y?2 y?2

x ?1

8 16

x?2

0.5

1

2

4

8 16 32

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

(2) y ? 2
x

x ?1

,y?2

x?2

作出图象,显示出函数数据表
-3
x

-2 0.25
0.125

-1 0.5
0.25

0 1
0.5

1 2
1

2 3 4 8
2 4

y?2
y?2

0.125
0.0625

x ?1

y?2

x?2

0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2

比较函数
y?2
y?2
x
x ?1

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
y?2
x
x ?1

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

比较函数
y?2
y?2
x
x ?1

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2

O

2

4

x

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1 O
2 4

x

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1 O
2 4

x

(3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1 O
2 4

x

你有什么发现?你能得出一般性的结论吗?
沿 x 轴向左平移 (a>0) 或 向右平移 (a<0) |a| 个单位 沿 y 轴向上平移 (b>0) 或 向下平移 (b<0) |b| 个单位

(1) (2)

y=f(x)

y=f(x+a);

y=f(x)

y=f(x)+b

?函数图象的平移变换规律:

(1)y=f(x)?y=f(x+a) 左右平移 (2)y=f(x)?y=f(x)+k 上下平移

【1】若函数f(x) = 3x 2,把图象向右平移 1 个单位,则得到函数 ____________ 的图象; y=3(x-1)2

若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象; 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, 则得到函数 _________ y=3x2-3 的图象; 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 的图象. 则得到函数 _________
规律:左加右减;上加下减

【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x) 的图象经过下述哪种变换得到.…………( A ) (A)向左平移一个单位,再向上平移一个单位; (B)向左平移一个单位,再向下平移一个单位; (C)向右平移一个单位,再向上平移一个单位; (D)向右平移一个单位,再向下平移一个单位;

问题:判断函数 y ? a ? 3(a ? 0且a ? 1) 的图象是否恒过一定点?若是,请写出 定点坐标;若不是,请说明理由。

x?2

练习:
【1】若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为实 -2 数)的图象恒过定点(1,2),则b=_____.
【2】函数y=ax+5-1(a>0,且a≠1)必经 过哪个定点? ( ?5, 0)

【3】函数 y ? a 则b=____. 1

x?b

? 2 恒过定点(1,3)

练习:
y=2x+2-2 得函数_________的图象。
【4】函数y=2x的图象分别向左、向下平移2个单位

y=2x

左移2个单位

y=2x+2

下移2个单位

y=2x+2-2

x-2+2 x y=2 位得函数y=2 的图象,则f(x)=___________

【5】将函数y=f(x)的图象分别向左、向下平移2个单

y=f(x)

左移2个单位

y=2x-2+2 右移2个单位

y=2x+2

下移2个单位
上移2个单位

y=2x

1 x 2. 作出y ? ( ) 的图象,并指出它的单 调 2 区间.
你有什么发现?你能得出一般性的结论吗?

小 结:

1 x 将y ? ( ) 的图象y轴右侧的部分翻折 2 1 x 到y轴左侧得到的完整图象 是y ? ( ) 的图 2 象,它关于y轴对称.

作出函数
x ?1 1 解:y ? ( ) 2

y ? ( 1 )| x ?1| 的图像,求定义域、值域. 2
1 ) x ?1 , x ≥ 1, ? ( ? 2 ?? x ?1 ? 2 , x ? 1. ?

y
1

o 定义域:R,值域:(0,1].

1

x

二、单调性与奇偶性问题

例3.设a是实数, f ( x ) ? a ?

对于任意 a, f(x)为增函数; 证明:任取x1,x2 ,且 x1 ? x2 . 2 ? 2 f(x1)-f(x2)= x2 x1 2 ?1 2 ?1 x1 x2 x1 x2 2 ? (2 ? 2 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? x2 ? x2 . x1 x (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 1 ? 1) ∵ y=2x在R上是增函数,且x1<x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 , x1 x2 x1 x2 即2 ? 2 ? 0. 又2 ? 1 ? 0, 2 ? 1 ? 0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 故 对于a 取任意实数,f(x) 为增函数.

2 . (1)试证明 x 2 ?1

例3.设a是实数, f ( x ) ? a ?

a的值,使f(x)为奇函数.

2 . (2)试确定 x 2 ?1

解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),

即a?

2 2 ), ? ? ( a ? ?x x 2 ?1 2 ?1 x ? 2a ? 2 ? 2 x ? x 2 1? 2 2 ?1 x 2 ? 2 ? 2 ? 2. ? 1 ? 2x
利用 f(0)= 0

∴ a = 1.

为奇函数,则a=__ 2 , b=_____. 1
f (0) ? 0 ? b ? 1;

x -2 已知定义域为R的函数 f ( x ) ? x ?1 ? b 2 ?a

f ( ?1) ? ? f (1) ? a ? 2.

说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的 图象的关系,并画出它们的示意图.

(1) y ? 2
y

?x

(2) y ? ?2
(x,y)和(-y x,-y) 关于原点对称!

x

(3) y ? ?2
y

?x

o

x

o

x

o

x

(x,y)和(x,y)关于y轴对 称!

(x,y)和(x,-y)关 于x轴对称!

(1) y ? 2
y
(0,1)

?x

(2) y ? ?2
y
(0,1)

x

(3) y ? ?2
y
(0,1)

?x

o

x

o

x

o

x

(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 ; (2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴

对称

对称;

(3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原 点 对称.

2、函数y=a|x|-1(a>0且a≠1)的图象必过点( C ) 1 A. (1,0) B. (0,1) C. (±1,1) D. (0, ) a 分析:y=ax y=ax-1 y=a|x|-1

3、函数y=a|x|-1(a>0且a≠1)的图象恒在y=1的上方 (-∞,-1) ∪(1,+∞) ,则x的取值范围是________ 分析:y=ax y=ax-1 y=a|x|-1

[-1,+∞) 4、函数y=2|x+1|的单调增区间是_______ 分析:y=2x y=2|x| y=2|x+1|

常用变换方法有三种: 平移变换; 对称变换;伸缩变换.

平 移 变 换

由 y=f(x) 的图象变换得 y=f(x+a)+b 的图象.

y=f(x)

沿 x 轴向左平移 (a>0) 或 向右平移 (a<0) |a| 个单位 沿 y 轴向上平移 (b>0) 或 向下平移 (b<0) |b| 个单位

y=f(x+a); y=f(x+a)+b.

对 ① y=f(x) 与 y=f(-x) 称 ② y=f(x) 与 y= -f(x) 变 换 ③ y=f(x) 与 y= -f(-x) ④ y=f(x) 与 y=f(|x|) ⑤ y=f(x) 与 y=|f(x)|

关于 y 轴对称

图 象 变 换 法

关于 x 轴对称
关于原点对称 保留 y 轴右边图象, 去掉左边图象, 再 作关于 y 轴的对称图象. 保留 x 轴上方图象, 将 x 轴下方图象翻 折上去.


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