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高一数学下册期末质量检测试题1


成都外国语学校下期期末考试 高一数学试卷
命题人:黎梅

注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷( 选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。 3、答题前,请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上, 并使用 2B 铅笔填涂。 4、考试结束后,请考生将答题卷交回。
[来源:学。科。网]

/>第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在 答题卷上) 1、若直线 ax ? y ?1 ? 0 与直线 4 x ? ay ? 5 ? 0 平行,则 a ? ( (A) 0 (D) ?2 2、不等式 ? 的解集是( (A) ? ??,3?
1 x 1 3

) (C) 2

( B ) ?2

) (C) ? ??,0? ? ?3, ??? (D)

(B) ?3,???

? 0,3?
3、 tan15? ? tan 30? ? tan15? tan 30? ? ( (A) ?1
2 2

) (C) ?
2 2

(B)1

(D)

4、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得劣弧所对的圆心角为( (A)
? 2

) (D)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

5、 直线 tx ? y ? t ? 1 ? 0?t ? R? 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系为 ( ) (A)相交 (D)以上都有可能 6、已知数列 ?an ?为等差数列,且 a3 ? a6 ? a9 ? 4? ,数列 ?bn ? 为等比数列, 且 b5b6b7 ? 8 ,则 cos ? (A)
3 2
1 2
? a6 ? ? 的值为( ? b6 ?

(B)相切

(C)相离

) (C)?
3 2

(B)?

1 2

(D)

7、 在 ?ABC 中, ?B ?
b 的值是(

?
3

,三边长 a , b , c 成等差数列,且 ac ? 6 ,则

) (B) 3
C

(A) 2 (D) 2 6

(C) 6

8、关于 x 的方程 x 2 ? x cos A cos B ? cos 2

2

? 0 有一个根为 1, A, B, C 分别

为 ?ABC 的三内角,则 ?ABC 一定是(



(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D) 钝 角 三 角 形 9、关于 x 的实系数方程 x2 ? ax ? 2b ? 0 的一根在区间 [0,1] 上,另一根在 区间 [1, 2] 上,则 2a ? 3b 的最大值为:( (A) 3 (B) 5 ) (C) 8

(D) 9 10、直线 l 到点 A(1,1) 和 B(?2,3) 的距离分别是1 和 2 ,则符合条件的直线
l 的条数是: (

) (B) 2 (C) 3

(A) 1 (D) 4

11、已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an ,使得
am an ? 4a1 ,则
1 4 ? 的最小值为( m n



(A)

3 2

(B)

5 3

(C)

25 6

(D)

4 3

12、已知正整数按如下规律组成数对: (1,1)(1,2)(2,1)(1,3) , , , , (2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(1,4)??,则第 60 个 , , , , , 数对是( ) (B) (5,7) (C) (2,10)

(A) (10,1) (D)(7,5)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在 答题卷上) 13、 sin 44? cos 14? ? cos 44? cos 76? = 14、数列 ?an? 的前 n 项和满足 S n ? an ? 3 ,则通项公式 an ?
?x ? y ?1 ? 0 ? 15、 已知 O 是坐标原点, A(?2,1) , 点 若点 M ( x, y) 为平面区域 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
3 2

上的一个动点,则 OA ? OM 的最大值为 16、给出如下四个结论: ①存在 ? ? (0, ) 使 sin a ? cos a ?
2

??? ???? ? ?

?

1 3

②存在区间( a , b ) ,当 x ? (a,b) 时, y ? cos x 为减函数而 y ? sin x < 0 ③ y ? tan x 在其定义域内为增函数 ④ y ? cos 2 x ? sin( ? x) 既有最大值和最小值,又是偶函数 ⑤ y ? sin | 2 x ?
?
6 2 | 最小正周期为 π

?

其中正确结论的序号是 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 ) 17 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数

f ( x) = sin2 x + 2sin x cos x + 3cos2 x + m(x R)的最大值为 2 - 1 。

(1)求 m 的值;

(2)求 f ( x) 的周期和单调递增区间。

18、 (本小题满分 12 分)已知两个定点 O(0,0)、A(3,0),动点 P 满 足:
| OP | 1 ? . | AP | 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 A 作轨迹 C 的切线,求此切线的方程.

19、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 B ? , b ? 10,sin C ?
4

?

5 . 5

(1)求 a , c 的值; (2)记边 AB 上的中点为 D ,求 CD 的长。

20、 (本小题满分 12 分)某矿山车队有 4 辆载重量为10 t 的甲型卡车 和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员。此车队每天至少 要运 360 t 矿石至冶炼厂。已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙 型卡车每辆每天可往返 8 次。甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元,乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元,请问每天派出甲型车 与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低?

21 、 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 (
2) x2 ? y 2 ?12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0, 且斜率为 k 的直线 l 与圆

Q 相交于不同的两点 A, B .

(1)求 k 的取值范围; (2) 是否存在常数 k , 使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在, k 的 求 值;如果不存在,请说明理由.
??? ??? ? ?

??? ?

22

、 (

本 小







14





已 知





{a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 , 4 4

设 bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N*) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn 。
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn ; (3)若 cn ? m 2 ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范 围。
1 4

成都外国语学校 2011—2012 学年度下期期末考试 高一数学试卷
命题人:黎 梅

注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷( 选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。 3、答题前,请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上, 并使用 2B 铅笔填涂。 4、考试结束后,请考生将答题卷交回。
[来源:学。科。网]

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在 机读卡上) 1、直线 x ? 1 ? 0 的倾斜角为( )A ? (A) 90 ( B ) 45? ( C ) 135? (D) 0? 2、不等式 ? 的解集是(
1 1 x 3 (A)??,3? ?

)D (C)0,3? ? (D)

(B)3,??? ?

? ??,0? ? ?3, ???
3、设数列1, 3, 6, 10, 15,? ,则 6 是这个数列的( )C (A)第 6 项 (B)第 7 项 (C)第 8 项 (D)第 9 项 4、 tan15? ? tan 30? ? tan15? tan 30? ? ( )B (A) ?1 (D) (B)1 (C) ?
2 2

2 2 5、圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 4 的公共弦为(

)A

(A)x ? 2 y ? 0 (B)x ? 2 y ? 0 (C)x ? 2 y ? 8 ? 0 (D) 不存在 6、若直线 ax ? y ?1 ? 0 与直线 4 x ? ay ? 5 ? 0 平行,则 a ? ( )D (A) 0 ( B ) ?2 (C) 2 (D) ?2 7、已知数列 ?an ?为等差数列,且 a3 ? a6 ? a9 ? 4? ,数列 ?bn ? 为等比数列, 且 b5b6b7 ? 8 ,则 cos ? (A) (D)
3 2
1 2
? a6 ? b6 ? ? 的值为( ?

)B
1 2

(B) ?

(C) ?

3 2

8、在 ?ABC 中, A ? , b ? 2 ,其面积 S ? 2 3 ,则 ?ABC 的外接圆的直径
3

?

为(

)D (A) 8 (B)
4 3 3

(C)

8 3 3

(D) 4 9、关于 x 的不等式 x2 ? ax ? a ? 0 在 x ??0, 2? 时恒成立,则实数 a 的取值

范围为(

)A
4 ( B ) ? 0, ? ? ? ? 3?

( A ) (??, 0) (D) ? , ?? ? ? ?
4 ?3 ?

4 ( C ) ?0, ? ? ? ? 3?

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y 10、 已知实数 x, y 满足:?2 x ? y ? 3 ? 0 , z ?x ? 的最大值为 9 , m ? 且 则 ? x ? my ? 1 ? 0 ?

(

)C ( A ) ?2 (D) 2
1 2

( B ) ?1

(C)1

11、在 ?ABC 中, tan A ? , cos B ? 短边的长为 (


3 10 ,若 ?ABC 最长边的长为 5 ,则最 10

)C (B)
5 2 2

( A ) 10

(C) 5 )B ( C ) 22012

(D) 3 5 12、在数列 {an } 中, a1 ? 4, an?1 ? an ? 22n?1 ,则 a2012 ? ( ( A ) 22010 ( B ) 22011 (D) 22013

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在 题中横线上) 13、圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 1的位置关系为 。 外切 14、求和: Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3? 4 ??n ?? n ?1? 为 。
n ? n ? 1?? n ? 2 ? 3

? 15 、 已 知 正 数 x, y 满 足 : x ? y ? x y7 , 则 x ? 2 y 的 最 小 值 为 。5 2 16、①不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集为 ? 2,3? ,则 b ? c ? ?11 ;对

②已知 tan ?? ? ? ? ? , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ? 0, ? ? ,则 2? ? ? ? ;错
4

1 2

1 7

?

③ 若 角 A , 角 B 为 钝 角 ?ABC 的 两 锐 角 , 则 有 s i A? n sB i? n A c o ;对 c o s ? sB

? 2? ⑤直线 x ? y ? 1 ? 0 关于点 P ?3,2? 的对称直线为: x ? y ? 3 ? 0 ;对

1 ④在等比数列 ?an ? 中, a3 ? 4, S3 ? 12 ,则通项公式 an ? ? ? ? 。错 ? ?

n ?5

以上说法正确的是 号)①③⑤

。 (填上你认为正确的序

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤。 ) ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 17 、 在
B? 5 1 0 , s i n。 C? 4 5 (I)求边 a , c 的值; ,b ?

?

(II)记边 AB 上的中点为 D ,求 CD 的长。 解: (I) a ? 3 2, c ? 2 (II) CD ? 13 18、已知圆 C 过点 M (1,1) 、 N (5,1) , 且圆心在直线 y ? x ? 2 上。 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)求过点 P(1, 4) 且与圆 C 相切的直线方程。 2 2 解: (1) ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 4 ; (2) x ? 1 或 5x ? 12 y ? 53 ? 0 19 、 已 知 函 数 f ( x) = sin2 x + 2sin x cos x + 3cos2 x + m(x R) 的 最 大 值 为
2 - 1。

(1)求 m 的值; (2)求 f ( x) 的周期和单调递增区间。
骣 p 解: (1) f ( x) = 2 sin ?2 x + ÷+ 2 + m , m = - 3 ÷ ? ÷ ? 桫 4

(2)周期: T = p ,递增区间为: 犏 -

轾 3p p + kp , + kp 犏8 8 臌

20、某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的 乙型卡车,有 9 名驾驶员。此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼 厂。已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往 返 8 次。甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元,乙型卡车每辆每 天的成本费为 160 元,请问每天派出甲型车与乙型车各多少辆, 车队所花成本费最低?
y

解:设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆,车 队所花成本费为 z 元,那么

7 5x+4y=30

x+y=9 o 4 x

?x ? y ? 9 ?10 ? 6 x ? 6 ? 8 y ? 360 ? ? ? x ? 4, x ? N ? y ? 7, y ? N ? z ? 252 x ? 160 y

作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图: 作出直线 l0 : 252x ? 160 y ? 0 ,把直线 l 向右上方平移,使其经过可行域 上的整点,且使在 y 轴上的截距最小,观察图形,可见当直线 252 x ? 160 y ? z 经过点 ? 2,5? 时,满足上述要求 此时, z ? 252 x ? 160 y 取得最小值,即 x ? 2, y ? 5 时, zmin ? 1304 答:每天派出甲型车 2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低。 21、在平面直角坐标系内有两个定点 A, B 和动点 P , A, B 坐标分别为
A? ?1,0? , B ?1,0? ,动点 P 满足
AP BP ? 2 ,动点 P 的轨迹为曲线 C , 2

曲线 C 关于直线 y ? x 的对称曲线为曲线 C ' ,直线 y ? x ? m ? 3 与曲 线 C ' 交于 M , N 两点, O 是坐标原点, ?MNO 的面积为 7 。 (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的值。 解 : 1 ) 设 P 点 坐 标 为 (x, y) , 则 (
(x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 ,
( x ? 1) 2 ? y 2 ( x ? 1) ? y
2 2

?

2 ,化简得 2

所以曲线 C 的方程为 (x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 ; (2)曲线 C 是以 (?3,0) 为圆心, 2 2 为半径的圆 ,曲线 C ' 也应 该是一个半径为 2 2 的圆, 点 (?3,0) 关于直线 y ? x 的对称点的坐标为 (0,?3) ,所以曲线
C ' 的方程为 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 8 ,
? 该 圆 的 圆 心 (0,?3) 到 直 线 y ? x ? m3 的 距 离 d 为

d?

| 0 ? (?3) ? m ? 3 | 12 ? (?1) 2

?

|m| 2



? 1 1 m2 ? m2 S?MNO ? ? d ? MN ? ? d ? 2 8 ? d 2 ? ? 8 ? ? 7 ?? 2 2 2 ? 2 ?

?

m2 m2 ? 1 ,或 ? 7 ,所以, m ? ? 2 ,或 m ? ? 14 。 2 2

22、 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , ? n, 点? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 cn ?
?

Sn ? ? N ?n ? n?

*

? 在直线 3x ? y ?1 ? 0 上。

(2)记 bn ? an ? 2n?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。
m 4 , M n 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,求使得 M n ? 对所 9 an an?1

有的 n ? N * 都成立的最小正整数 m 。
Sn 2 解: (1)由题意得, n ? 3n ? 1 ,即 Sn ? 3n ?n ,故 ?an ? 是等差数列, 且 a1 ? 2, d ? 6

an ? 2 ? 6(n ?1) ? 6n ? 4 ? 2 ?3n ? 2?

(2) bn ? an ? 2n?1 ? 2 ?3n ? 2? ? 2n?1 ? ?3n ? 2? ? 2n
Tn ? 1? 21 ? 4 ? 22 ? ?? ?3n ? 2? ? 2n ? 0 2Tn ? 0 ?1? 22 ? 4 ? 23 ??? ?3n ? 2? ? 2n?1
??Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? 2n ? ? ? 3n ? 2 ? ? 2n ?1 ? 3 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? ? ? 3n ? 2 ? ? 2 n ?1 ? 4

?Tn ? ?5 ? 3n? ? 2n?1 ?10 ,从而 Tn ? ?3n ? 5? ? 2n?1 ?10

(3) cn ?

4 4 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an an?1 4 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? M n ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 3 ?? 1 4 ? ? 4 7 ? ? 3n ? 2 3n ? 1 ? ? 3 ? 3n ? 1 ? m 1 ? 又 M n ? 恒成立, m ? 10M n ? 3 ?1 ? 则 所以 m ? 3 ? ? 恒成立, 9 ? 3n ? 1 ?

补充: 20、 某化工企业 2012 年底投入 100 万元, 购入一套污水处理设备. 该 设备每年的运转费用是 0.5 万元, 此外每年都要花费一定的维护 费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护 费都比上一年增加 2 万元. (Ⅰ) 求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y(万元) ; (Ⅱ)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后

需要重新更换新的污水处理设备? 解: (Ⅰ) y ?
100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x 100 ? 1. 5 ( x ? 0 ) 即y ? x? ; x

(不注明定义域不扣分, 或将定义域写成 x ? N * 也行) 由均值 不等式得: (Ⅱ y ? x ? )
100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 (万元) x x 100 当且仅当 x ? ,即 x ? 10 时取到等号. x

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备. 22 、 已 知 数 列 {a n }是首项为 a1 ? , 公比 q ? 的等比数列
bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn 。
4

1 4

1 4

, 设

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn ; (3)若 cn ? m 2 ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范 围。 解: (1)由题意知, a n ? ( ) n (n ? N *)
4 4

1 4

1 4 ?bn ? 3log 1 an ? 2 ? 3n ? 2, b1 ? 3log 1 a1 ? 2 ? 1

?bn?1 ? bn ? ?3(n ?1) ? 2? ? ?3n ? 2? ? (3n ?1) ? (3n ? 2) ? 3

∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列 (2)由(1)知, a n ? ( ) n , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 4




1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4

两式相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1
?1? ? ? ?4?
2

3 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4



1 ? 3? 4
n ?1

? ? 1 ?n ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?4? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ( 1 ) n?1 ? ? 1 4 1? 4
n ?1



1 1 ?1? ? ? 4?? ? 4 4 ?4?

?1? ? (3n ? 2) ? ? ? ?4?

1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4 2 12 n ? 8 1 n ?1 ? Sn ? ? ? ( ) (n ? N *) 3 3 4 ?



3
1 1 ? c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4 1 n ?1 ? 9(1 ? n) ? ( ) , (n ? N *) 4 1 ∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ? 4



当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ∴当 n=1 时, cn 取最大值是
1 4 1 4

又 cn ? m 2 ? m ? 1对一切正整数 n恒成立
1 1 ? m2 ? m ?1 ? , m 2 ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 4 4 22、定义:若数列 ?An ?满足 An?1 ? An 2 ,则称数列 ?An ?为“平方递推数

列” 。已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,点 (an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? 2x 2 ? 2x 的图像上,其中 n 为正整数。 (Ⅰ)证明:数列 ?2an ? 1?是“平方递推数列” ,且数列 ?lg(2an ? 1)? 为等比数列。 (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn ,即 Tn ? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)?(2an ? 1) ,求数列 ?an ? 的通项及 Tn 关于 n 的 表达式。 (Ⅲ)记 bn ? log2a ?1 Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项之和 S n ,并求使
n

Sn ? 2008 的 n 的最小值。


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高一下册数学期末检测卷(一)

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高一数学下册期末质量检测试题1

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