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高考专题突破五圆锥曲线(无解析)


圆锥曲线
x2 y2 1.若双曲线 2- =1 的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则该双曲线的实 a 3 轴长为( )

A.1 B.2 C.3 D.6 → → 2.设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则OA· OB等于( 3 3 A. B.- C.3 D.-3 4 4 x2 y2 3.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2, a b 若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是( A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1 ) )

x2 y2 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭 a b 16 9 圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________. x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)与抛物线 y2=2px (p>0)有相同的焦点 F,P,Q 是椭圆与抛物 a b x2 y2 线的交点,若 PQ 经过焦点 F,则椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为____________. a b

题型一 求圆锥曲线的标准方程 x2 y2 例 1 (2015· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0 )的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近 a b 线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 9 13 x2 C. -y2=1 3 x2 y2 B. - =1 13 9 y2 D.x2- =1 3 )

x2 y2 3 1.1 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直 a b 2 2 3 线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 题型二 圆锥曲线的几何性质

例2 A. 7 3

x2 y2 (1)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( a b 5 4 5 B. C. D. 4 3 3

)

x2 y2 (2)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF1| a b 9 +|PF2|=3b,|PF1|· |PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( 4 4 5 9 A. B. C. D.3 3 3 4 2.1 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与 圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. 题型三 最值问题 例3 (2014· 山东)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点, )

过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B, 交 x 轴的正半轴于点 D, 且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. y2 3.1 已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6).当△APF 8 周长最小时,该三角形的面积为________. 答案 12 6 题型四 定值、定点问题 例 4 已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个 交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m ? (2)若 l 过点? ? 3 ,m?,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能, 求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. x2 y2 3 4.1 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3. a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图所示,A、B、D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x

轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值.

x2 y2 5.1 如图,O 为坐标原点,双曲线 C1: 2- 2=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2: a1 b1 y2 x2 2 3 + 2=1(a2>b2>0)均过点 P( , 1), 且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦 a2 b 3 2 2 点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; → → → (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|? 证明你的结论.

综合练习
1.若直线 l:y= 近线平行. (1)求双曲线的方程; (2)若过点 B(0,b)且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M,N,MN 的垂直平分 线为 m,求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A,B 两点. → → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA· OB的值; → → (2)如果OA· OB=-4,证明:直线 l 必过一定点,并求出该定点. x2 y2 x2 y2 3.已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)与双曲线 + =1 (1<v<4)有公共焦点,过椭圆 C 的 a b 4-v 1-v 右顶点 B 任意作直线 l,设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 R(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同 的两点 M、N,且△OMN 的面积最大?若存在,求出点 R 的坐标及对应的△OMN 的面积; 若不存在,请说明理由. 3x 2 3 x2 y2 - 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线的一条渐 3 3 a b

4.已知抛物线 C:y2=2px(p>0),点 A,B 在抛物线 C 上. (1)若直线 AB 过点(2p,0),且|AB|=4p,求过 A,B,O(O 为坐标原点)三点的圆的方程; π (2)设直线 OA,OB 的倾斜角分别为 α,β 且 α+β= ,问直线 AB 是否会过某一定点?若是, 4 求出这一定点的坐标;若不是,请说明理由.

5.已知平面上的动点 R(x,y)及两定点 A(-2,0),B(2,0),直线 RA,RB 的斜率分别为 k1,k2, 3 且 k1k2=- ,设动点 R 的轨迹为曲线 C. 4 (1)求曲线 C 的方程; (2)四边形 MNPQ 的四个顶点均在曲线 C 上,且 MQ∥NP,MQ⊥x,若直线 MN 和直线 QP 交于点 S(4,0). 问:四边形 MNPQ 两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理 由.

3 x2 y2 6. 已知直线 l: y=x+1, 圆 O: x2+y2= , 直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) 2 a b 的短轴长相等,椭圆的离心率 e= (1)求椭圆 C 的方程; 1? (2)过点 M? B 两点, 试问: 在坐标平面上是否存在一个定点 T, ?0,-3?的直线 l′交椭圆于 A, 使得无论 l′如何转动,以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在,求出点 T 坐标;若不存在, 请说明理由. 2 . 2


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