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2.2.1对数与对数运算 导学案


2.2.1 对数与对数运算
2.掌握对数式与指数式的关系。

导学案

教学目标 :1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系; 教学重点 教学难点
对数的定义及对数式与指数式的互化 对数概念的理解及对数式与指数式的互化

一、学生自学,教师巡导 1. 对数的概念.
x 一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数.

记作 ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2. 对数与指数的关系.
b 一般地,如果(a>0, a≠1)的 b 次幂等于 N ,就是 a ? N ,那么数 b 叫做以 a

为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,
ab ? N ?

3. 常用对数. 我们通常将以 为底的对数叫做常用对数,并把常用对数 log10 N 简记为 ; log10 3.5 简记作 .

例如: log10 5 简记作

4. 自然对数. 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以 e 为底的对数叫自 然对数,并把自然对数 loge N 简记作 例如: loge 3 简记作 ; loge 10 简记作 .

5.是不是所有的实数都有对数? loga N ? b 中的 N 可以取哪些值? 负数与零是否有对数?为什么?

6.指数式化为对数式:
(1)

21 ? 2,

31 ? 3

51 ? 5

1 1 ( )1 ? 2 2
。为什么?

通过以上对数式,你发现的结果是

1

(2)

20 ? 1

30 ? 1

50 ? 1

1 ( )0 ? 1 2

通过以上对数式,你发现的结果是

。为什么?

?

(3).把对数式 loga N ? loga N 化为指数式

(提示:第二个对数看成

一个数) 把指数式 a n ? a n 化为对数式 二.学生展示,教师精导
例 1.将下列指数式写成对数式:对数式写成指数式。 (教材 P63 例题 1 基础上补充) (1) 5 ? 625
4

(同上)

(2) 2

?6

?

1 64

(3) 3 ? 27
a

(4)( ) ? 5.73
m

1 3

(5)log 1 16 ? ?4 ; (6)log2 128 ? 7 ; (7)lg 0.01 ? ?2 ; (8)ln10 ? 2.303 .
2

(做一做) :教材 P64 练习 1、2

例 2.求下列各式中的 x 的值: (教材 P63 例题 2) (1) log 64 x ? ?

2 ; (2) logx 8 ? 6 3

(3) lg100 ? x

(4) ? ln e ? x
2

(做一做) :教材 P64 练习 3、4

?

例 3.计算: ⑴ log9 27 ,⑵ log4 3 81,⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,⑷ log3 4 625. 5
2

?

?

解: (1)解法一:设 x ? log9 27

则 9 x ? 27,

32 x ? 33 , ∴ x ?

3 2

(按照范例,求解(2) 、 (3) (4)题)

三、边练边清,巩固提升 1.把下列各题的指数式写成对数式: (1) 4 2 =16; (2) 30 =1; (3) 4 x =2; (4) 2 x =0.5;

(5) 5 4 =625;

(6) 3 ?2

1 =9;

1 (7) ( ) ? 2 =16. 4

2.把下列各题的对数式写成指数式: (1)x= log5 27 ; (2)x= log8 7 (3)x= log4 3 (4)x= log 7
1 3

(5) log2 16 =4;

(6) log1 27 =-3;
3

(7) log 3 x =6;

(8) logx 64 =-6;

(9) log2 128 =7;

(10) log3 27 =a.

3.求下列各式中 x 的值: (1) log8 x =
? 2 3; 3 (2) logx 27 = 4 ;
3

1 (3) log4 x = 2 ;

(4) log2 (log5 x) =1

(5) log3 (lg x) =0.

(6) log5 (log10 x) =1.

4.以下四个命题中,属于真命题的是(



1 (1) 若l 若 log25 x = 2 ,则 x=5 (3) 若o o g 5 x =3,则 x=15 (2) lg 1 (4)若 log5 x =-3,则 x= 125

x

5 =0,则 x= 5

A.(2) (3) 5.(1)求 log8 4 的值;

B.(1) (3)

C.(2) (4)

D.(3) (4)

(2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n 的值.

四.总结提炼,提出问题

南州中学高一年级数学学科导学案(累计课时
班级 姓名 组号 学案评价



4

教学目标 :
1. 通过具体实例引入,推导对数的运算性质 2. 准确运用对数的运算性质进行运算、化简、求值 3. 初步掌握化简求值的技能 教学重点: 对数运算性质与对数知识的应用。 教学难点: 对数运算性质的推导与应用

一、学生自学,教师巡导
1.复习 (1)对数的定义 其中 a ? log a N ?b
王新敞
奎屯 新疆

与 N?

王新敞
奎屯

新疆

(2) .指数式与对数式的互化 (3).重要公式: ①负数与零没有对数; ③对数恒等式 a
loga N

② loga 1 ? 0 , loga a ? 1

王新敞
奎屯

新疆

?N

王新敞
奎屯

新疆

2.积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N M loga ? loga M ? loga N N loga M n ? nloga M(n ? R)

(1) (2) (3)
由对数的定义可以得:M= a ,N= a .
p?q p q

证明⑴:设 loga M=p, loga N=q. ∴ MN= a
p

a q = a p?q

∴loga MN= loga a

∴loga MN=p+q ,

即证得

loga MN= loga M + loga N.
仿照证明(1)请写出(2)和(3)的证明 证明⑵:

证明⑶:

注意:①有时逆向运用公式:如 log10 5 ? log10 2 ? ②真数的取值范围必须是

=



log2 (?3)(?5) ? log2 (?3) ? log2 (?5) 是否成立?
5

log10 (?10) 2 ? 2 log10 (?10) 是否成立?

二.学生展示,教师精导
例1. 教材 P65 例题 3。并做 P68 练习 1

变式练习:用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式: (1) loga ?xyz ? =

(2)loga

x2 y ? z x3 y
3

(3) loga

z

?

(4) loga

x y3 z

=

例 2.教材 P65 例题 4.并做 P68 练习 2、3 (1) log2 (47 *25 ) (2) lg 5 100

逆用公式: (3) log2 6 ? log2 3

(4)lg2+lg5

变式练习:计算(1) 2log5 10 ? log5 0.25

(2) log 2

7 1 ? log 2 12 ? log 2 42 48 2

6

(3) (lg5) 2 ? lg 2 ? lg 50;

(4) lg14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg18. 3

三、边练边清,巩固提升
1. 下列等式成立的是( ) . A. log2 (3 ? 5) ? log2 3 ? log 2 5 C. log2 (3 ? 5) ? log2 3 ? log2 5 2. 如果 lg x ? lg a ? 3 lg b ? 5 lg c ,那么( A.x=a+3b-c B. x ? B. log2 (?10)2 ? 2log2 (?10) D. log2 (?5)3 ? ? log2 53

). C. x ?

3ab 5c

ab3 c5

D.x=a+b3-c3

4. 计算(1) lg

3 1 5 ? lg ? 5 2 3



(2) log9 3 ? log9 27 ?



5. 计算(1) lg2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 ;

(2)

lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 . lg1.2

(3) lg14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg18 ; 3

(4) (lg5) ? lg 2 ? lg 5 .
2

7

6.已知 lg 2 ? 0.3010, lg 3 ? 0.4771, 求 lg 108 .

四.总结提炼,提出问题

南州中学高一年级数学学科导学案(累计课时
班级 姓名 组号 学案评价



教学目标 :
8

1.了解对数的换底公式及其推导; 2.能应用对数的相关公式进行化简、求值、证明; 3.运用对数的知识解决实际问题. 教学重点:对数的换底公式。 教学难点:对数的换底公式及其推导

一、学生自学,教师巡导
1.复习: 对数的运算法则 如果 a>0,a ? 1,M>0, N>0 有:

loga (MN ) ?

, log a

M ? N



loga M n ?
2.换底公式



(1) .对数的换底公式: loga N ? 证明:设 loga N = x , 则 对①两边取以 b 为底的对数得: 从而得: x ?

logb N ; logb a
①(化为指数式)

?
logb N . logb a

(用性质 3)

∴ loga N ?

(2) .对数的倒数公式: loga b ?

1 ; (请用换底公式证明之) logb a

(3) .请用换底公式证明: logam N ?
n

n m

loga N ;

3.自学 P66 例题 5

P67 例题 6

感受对数知识在科学研究中的作用

二.学生展示,教师精导
例 1. 计算. (1) lg 20 ? log100 25; (2)

51?log0.2 3 ;

(3)

log27 16 . log3 4

9

变式练习 1 学生完成 P68 练习 4 已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b,用 a, b 表示 log 42 56.

变式练习 2

三、边练边清,巩固提升

1.下列指数式与对数式互化中错误的一组是 A.e0 ? 1 与 ln1 ? 0 C. log3 9 ? 2 与 9 2 ? 3
? 1 2
1

B.8 3 ? 与 log 8 ? ? D. log7 7 ? 1 与 71 ? 7 ) D.
1 3 3

?

1

1 2

1 2

1 3

2.如果 log7[log3(log2x) ]=0,那么 x 等于( A. 3. 5
log 5 ( ? a ) 2

1 3

B.

1 2 3

C.

1 2 2

(a≠0)化简得结果是( B.a2

) C.|a| D.a

A.-a

4.已知 ab=M (a>0, b>0, M≠1), 且 logM b=x,则 logM a=( ) 。 A.1-x B.1+x ) 。 C.lg b-lg a D.
1 logb a

C.

1 x

D.x-1

5.若 b≠1,则 loga b 等于( A.-logb a B.
lg a lg b

10

6.

log8 9 的值为( log 2 3

) 。 B.
1 2

A.2

C. 3
2

D. 2
3

a 2 7.已知 lga,lgb 是方程 2x -4x+1 = 0 的两个根,则(lg b ) 的值是
2

( ). (A).4 (B).3
a b

(C).2
c

(D).1

8.设 a,b,c∈R,且 3 = 4 = 6 ,则( ).
1 1 1 (A). c = a + b 1 2 2 (C). c = a + b
9.若 logx ( 2 +1)=-1, 则 x= 。 。

2 2 1 (B). c = a + b 2 1 2 (D). c = a + b

10.对数式 log( a?2) (5 ? a) 中实数 a 的取值范围是
2

11.若 x 1 ,x 2 是方程 lg x +(lg3+lg2)+lg3· lg2 = 0 的两根,则 x 1 x 2 的值 12.已知 log18 9=a,18b =5:用 a, b 表示 log36 45。

13.计算: (1) log2.56.25+lg

1 1? log 2 3 +ln e + 2 100

(2)lg25+lg2lg50+(lg2)2

11

14.已知 log 2 [ log 1 ( log 2 x)] = log 3 [ log 1 ( log 3 y)] = log 5 [ log 1 ( log 5 z)] = 0,试比较 x、y、
2 3
5

z 的大小.

四.总结提炼,提出问题

12


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