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2.3等差数列的前n项和教学设计


2.3 等差数列前 n 项和教学设计
石嘴山市第三中学 一、指导思想与理论依据 学习是学生积极主动地建构知识的过程,因此,应该让学生在具体问题情 境中经历知识的形成和发展,让学生利用自己原有认知结构中相关的知识与经 验,自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。基于数学学科自身抽象和严 谨的特点,在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题,解决问题,培养学 生的动手、动脑能力。 本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。采用探究活动为主的教学方 法,借助教材和教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知 识,培养学生的探究思维能力。因此,我在此堂课的教学中借助梯形面积拼接 演示等差数列的前 n 项和公式,帮助理解,启迪思路,更加形象地揭示研究对象 的性质和关系,也在教学中展示了数学的对称美。 二、教材分析 本节课的教学内容是人教版数学必修 5 第二章第三节列前 n 项和(第一课 时),主要内容是等差数列前 n 项和的推导过程和简单应用。 本节对“等差数列前 n 项和”的推导,是在学生已掌握等差数列的通项性 质以及高斯算法等相关知识的基础上进行。对本节的研究,为以后学习数列求 和提供了一种重要的思想方法——倒序相加法,也为高三运用数学归纳法证明 数列型的不等式奠定良好的基础,具有承上启下的重要作用。 等差数列在现实生活中比较常见,等差数列求和就成为我们在实际生活中 经常遇到的一类问题。因此,等差数列求和公式的推导,是由现实情境引入数 刘金瑞

列求和的模型,再用模型解决一些实际问题,使学生能掌握“倒序相加”这一 重要数学方法。通过探索等差数列前 n 项和,培养学生观察、猜想、类比、归 纳的学习思想,加强和提高学生解决问题的能力。要求学生理解等差数列前 n 项和的求和过程,掌握公式并能用公式解决一些实际题。 三、学情分析 本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,这为倒序相 加法的教学提供了基础。学生已有了函数知识,因此在教学中渗透函数思想。 大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识,并且知道此算法原理,但在高 斯算法中数列 1,2,3,……,100 只是一个特殊的等差数列,对于一般的等差 数列的求和方法和公式学生还是一无所知。如何从首尾配对法引出倒序相加法, 这是学生学习的障碍,同时,学生学习抽象理论知识存在为难的情绪。 对学生学习的障碍和困难,本节采用情境导入、激发兴趣,由特殊到一般 的推导方法,通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识,为学生积极思考、自 主探究搭建了理想的平台,让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。 帮助学生突破难点 四、教学方式与手段 探究式、类比、归纳式的教学方法,讲练结合法 本节通过多媒体演示让学生直观的感受倒序相加法思想,同时 ppt 结合导 学案让学生在动脑的同时动手练习,加深学生对本节内容的理解 五、教学目标 1、类比高斯算法,探求等差数列前 n 项和公式,理解公式的推导方法;

2、能较熟练地应用等差数列前 n 项和公式解决相关问题; 3、经历公式的推导过程,体会层层深入的探索方式,体验从特殊到一般、 具体到抽象的研究方法,学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力; 4、通过我国古代的数学实例,渗透数学文化思想,让学生了解数学史中等 差数列的发展,引发学生用所学知识对前人的解法进行思考与探究;通过有关 内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活又服务于生活的实 用性,引导学生要善于观察生活,体会数学的实用价值,并学会用数学知识解 决实际问题。 六、教学重点与难点 1、教学重点:等差数列前 n 项和公式的推导和应用 2、教学难点:等差数列前 n 项和公式的推导思路的获得 3、重、难点解决的方法策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用数形结 合、类比归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究、分析、整理出推导公式 的思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,并通过例题后的反馈 练习和教师的点拨引导,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点。 七、教学环节及时间分配
复习巩固 (2 分钟) 情境导入 (2 分钟) 公式探究 (13 分钟) 公式理解 (5 分钟)

归纳总结 (1 分钟)

反馈练习 (5 分钟)

例题讲解 (12 分钟)

(2 分钟)

八、教学过程 教学内容与问题 前面学习了等差数列,请 同学们回忆一下数列的概念 复 及性质 1.等差数列概念_____通 习 项公式 a _______=________ 巩 2.等差数列 { a } 中,若 固 m ? n ? p ? q ( m , n , p , q 为常 数)则____________ ;一般 ____ ___ ___...___
n

师生互动 师:提问学生等差 数列的概念与性质

设置意图

n

生:复习等差数列 定义与性质,填写在 导学案上。订正是否 正确。

巩固复习上 节内容,同时 为本节学习等 差数列求和做 好准备

师:利用多媒体, 展示泰姬陵的图片, 并截取出三角形宝石 图案,引导学生观察 宝石数目变化情况。 情 境 导 入 活动预设: 能得到的信息:从 上到下,宝石数目以 1 为公差依次递增, 构成等差数列。 泰姬陵坐落于印度古都阿 格,她宏伟壮观,纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷,成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角 需要解决的问题: 100 层中究竟共有多 少颗宝石? 生:欣赏观察并尝 试解决问题 1.

教师先用多 媒体展示彩图 呈现的问题, 使学生进入问 题情境,激发 学生的兴趣, 并使学生体会 数学来源于生 产生活。

以问题的提 出作为引入方 式,使学生带 着问题学习新 课,更有目的 性。

形图案,以相同大小的圆宝 石镶饰而成,共有 100 层 (见图) ,奢靡之程度,可 见一斑。 问题 1:你知道这个图案一 共花了多少宝石吗? 师:引导学生讲述 高斯算法 1787 年已被高斯解决,小高 生:高斯算法 斯上小学四年级时,一次数 1+100=101,2+99=101 ,…,50+51=101, 学老师布置了一道数学习 所以原式=50× (1+101)=5050 题:把从 1 到 100 的自然数 此数列的求和方法在 加起来,和是多少?年仅 10 公 岁的小高斯略一思索就得到 式 答案:5050,这使老师非常 探 吃惊。 究 问题 2:高斯是采用了什么 师:引导学生思考 高斯算法的技巧性 生:第 k 项+倒数 第 k 项=101 通过高斯算 法,循序渐进 的让学生发现 规律,首尾组 合的思想揭示 了等差数列 “角标和相 等,对应的项 和相等”的特 征,为等差数 列前 n 项和公 式的推导的 “倒序相加 法”做好铺 垫。 进一步通过数 学家高斯解决 问题的方法, 培养学生大胆 猜想的能力。 学习数学的积 极性。

师:再次引导学生 思考问题 4,发现规 方法来巧妙地计算出答案的 律 生:发现 呢? 51+50=101,… 99+2=101 问题 3:第 k 项+倒数第 k 项 师:书写对应相加 1+2+3+…+99+100=s =? 100+99+98+…+2+1=s 生:结合图形发现 问题 4:1+100,2+99,3+98, 左侧是 100 个 101 相 加,右侧是 2s 依次往下写第 51 项+? =101,…第 99 项+?=101

生:用类比思想解决 1+2+3+4+…..+n= ? 师:引导学生发现问 题本质提出第 k 项+ 倒数第 k 项=首项+末 项 生:发现计算规律, 问题 5:1+2+3+4+…..+n=? 并总结归纳 师:板书倒序相加法

让学生用类 比,归纳的思 想总结出求和 方法,从而突 破本节课重难 点。

公 式 探 究 给出等差数列前 n 项和的定 义

生:利用倒序相加法 推导出等差数列前 n 项和公式,并叙述过 程 师:板书等差数列 {an}的前 n 项和公式 培养学生积极 思考的能力和 解决问题的多 种途径。

问题 6:如何求解等差数列 前 n 项和

生:推导前 n 项和公 式的另一种表达形 式,并回答 师:板书

问题 7:由公式(1)及 能得到前 n 项和公式的其他 形式吗? 师:提示将通项公式 带入前 n 项和定义 式中还有另一种求和 公式推导思路 生:课后思考

通过推导过 程,让学生理 解等差数列前 n 项和公式

1.教师用结合 ppt 梯形的面 积,引导学生对比 2 个公式 理解。

师:引导学生理解公 式 生:学生观察图片, 叙述对公式的理解。

公 2.引导学生找出他们反映了 式 等差数列的性质。同时,给 理 出 2 个简单的(知三求二) 的练习 解 问题 8:对比 2 个公式,分 别找出公式中的变量 练习 1



师:引导发现 2 个公 式中共有 5 个变量, 可以知三求二 生:学生独立完成练 习,书写在导学案 中。 师:指导学生正确选 择公式

让学生体会数 形结合思想, 加深学生对公 式的理解与记 忆。同时再次 体会倒序相加 的思想. 学生刚学完 式,直接解决 课本例题 1 跨 度太大,因此 设置了这样一 个直接应用公 式的题加深学 生对公式理 解,对公式 sn,an,a1,n,d 能在已知其中 3 个量时,正 确选择公式, 求出其余的 量。

例 题 讲 解

例 1.2000 年 11 月 14 日教 育部下发了《关于在中小学 实施“校校通” 工程的通 知。某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标: 从 2001 年起用十年时间, 在全市中小学建成不同标准 的校园网。据测算,2001 年 该市用于“校校通”工程经 费为 500 万元。为了保证工 程的顺利实施,计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元。那么从 2001 年起的 未来 10 年内,该市“校校 通”工程中的总投入是多 少?

师:引导学生分析题 意,掌握解决实际问 题的方法。 (1)找关键句; (2)选择模型 生:分析题意,建立 等差数列的模型,并 找出其中已知条件及 求解问题,然后选用 合适的公式求解,同 时在导学案中数学答 题过程 师:展示完整的解题 过程,强调答题步骤 的规范性。

帮助学生发现 实际问题中的 等差关系,培 养学生从实际 问题中抽象出 数学模型的能 力。 规范学生答题 过程

练习 2 我国数列求和的起源很早, 在《张丘建算经》中:今有 女子不善织布,逐日所织以 同数递减,初日织五尺,末 日织一尺,计织三十日,问 共织几何? 解法:并初、末织布数,半 之,余以乘织讫日数,即 得。 运用的等差数列的求和公式

师:简单介绍我国数 列问题的历史,引导 学生思考回答。 生:读题,分析题 意,找出相关的量, 并作出解答

通过我国历史 上的等差数列 求 和,让学生感 受历史,渗透 数学文化思 想。

例 2.已知一个数列{ }的前 10 项和是 310,前 20 项和 是 1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前 n 项和公 式吗?

师:引导学生分析题 意,解决问题,鼓励 学生用多种方法求解 生:思考求解例题 2 的方法,解题结束后 反思总结如何解决这 类题。

让学生体会方 程的思想,建 立等差数列与 解方程之间的 联系。

练习 3


加深学生对 生:独立完成练习 3、 (知 3 求 2) (一位学生板演,其 的理解,同时 他学生在导学案中完 让再次体会方 成) 程思想求解数 列

给出 4 道练习 反 馈 练
求 求 求

生:快速完成练习, 检验学生学习 师:检查学习效果 效果




1.引导学生归纳总结本节课 所学习的主要内容. 归 2.课后作业: 教材 46 页:习题 2.3A 组。 纳 第2题 总 3.课后思考: 结 等差数列的前 n 项和与函数 有什么关系?

生:总结回答本节 所学的知识点本环节 由学生自主归纳、总 结本节课所学习的主 要内容 师:加以补充说 明.同时,留下课后 作业与思考 生:课后完成作 业、思考、

1. 总结本节知 识,加深对知 识的记忆。 2.给学生留 下思考题,为 下节课的学习 做准备

2.3 等差数列的前 n 项和 板 1.倒序相加法 书 2.等差数列{an}的前 n 项和公式 设 计 3.知三求二 方程思想 例题 2 例题 1

九、设计特点 1.根据教学内容和学生的学习状况、认知特点,本课采用“探究——发现” , “讲练结合”教学模式.引导学生在进行探究,在师生互动交流中,发现等差 数列前 n 项和的推导方法,教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导,学 生的学法突出探究与发现,通过创设情景激发兴趣,在与教师的互动交流中, 获得本节课的知识与方法。 2.本节课充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学生学习数 学和解决问题的强有力工具,使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中 去。同时,课件与导学案结和,让学生动脑思考,动手计算。形成学生主动参 与,自主探究的课堂气氛。

3.本节在情境导入设计中,利用文化古迹导入,提升了学生学习的兴趣,公式 探究问题设置由特殊到一般引导过程,引导学生发现本质规律第 k 项和倒数第 k 项相加和等于首项与末项和,从而引出倒序相加法 4.在对公式理解中,将两个公式与梯形面积公式建立联系,帮助学生理解记忆 求和公式,并能从梯形面积的角度认识公式,提高学生类比化归,数形结合的能 力,认识过程中再次强调倒序相加的思想方法。 5.例题设置注重培养学生能力。例题 1 通过实际问题培养学生建模能力,让学 生感受数学的实用性。练习 2 是我国古代数学家对数列求和的发放,属于拓展 类题型,让学生感受数学文化史的同时,理解求和公式。例题 2 的设置目的是 建立等差数列前 n 项和与解方程的联系,让学生体会方程的思想。练习 3 巩固 练习方程思想,同时加深学生对之知三求二的理解。同时,讲练结合让学生一 直参与课堂,增加听课效果。 十、教学反思 本节在情境导入设计中,利用文化古迹导入,提升了学生学习的兴趣,公 式探究问题设置由特殊到一般引导,引导学生发现本质规律第 k 项和倒数第 k 项相加和等于首项与末项和,从而引出倒序相加法,在教学过程中,通过教师 层层引导,学生自主探究,尤其借助图形的直观性,使学生理解“倒序想加法” 思路,从而掌握的等差数列求和公式。经历公式的推导过程,学生体验了从特 殊到一般的研究方法,学会了观察、归纳、反思。例题的设置,注重能力培养, 通过讲练结合,使应用公式的同时增强了自身分析解决问题的能力。本节课的 不足之处在于由于设计量和时间分配关系,在实际教学中,未完成反馈练习这 一环节。


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