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2014届高三数学冲刺高考真题训练3(文)


2014 届 高 三 数 学 冲 刺 高 考 真 题 训 练 3( 文 )
一.填空题(本大题满分 56 分) 1.已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A 2.不等式

B ? ?1, 2,3, 4? 则 m ? _________。

2? x ? 0 的解集是_________。 x?4
cos sin

? ?
6

3.行列式

sin cos

? ?
6 的值是____________。

6

6

4.若复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ? ___________。 5.将一个总数为 A 、 B 、 C 三层,其个体数之比为 5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为 100 的样本,则应从 C 中抽取___________个个体。 6. 已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , 且 PA ? 8 , 则该四棱椎的体积是____________。 7.圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? _________。 8. 动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等, 则点 P 的轨迹方程为_____。 9.函数 f ( x) ? log 3( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是__________。 10.从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 2 张,则“抽出的 2 张均为红桃”的概率 为____________(结果用最简分数表示) 。 11.2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园,20:00 停止入园。在 右边的框图中, S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道 的入园总人数, a 表示整点报道前 1 个小时内入园人数,则 空白的执行框内应填入_________。

n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 n 1 2 ? 中, 12.在 n 行 m 列矩阵 ? 3 4 5 ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?
记 位 于 第 i 行 第

j 列 的 数 为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) 。 当 n ? 9 时 ,

a1 ? a 2?2 a ? ? ? a ? ______ ? 9 。 1 3 3 9 ?
1

13. 在平面直角坐标系中, 双曲线 ? 的中心在原点, 它的一个焦点坐标为 ( 5,0) , e1 ? (2,1) 、 任取双曲线 ? 上的点 P , 若O P a ? e b e1 ? e2 ? (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。 ( a 、b ? R ) ,则 a 、 b 满足的一个等式是___________。 14.将直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 、 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 )围
*

2

成的三角形面积记为 Sn ,则 lim S n ? ____________。
n ??

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 15.满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ? x ? 0, ? ?y ? 0
(A)1. 16. “ x ? 2 k? ? (B)

[答]( C)

?
4

3 . 2

(C)2.

(D)3. [答](A )

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的

(A)充分不必要条件. (C)充分条件.

(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. [答](D)

17.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1) . (C) (1.25,1.75)

(B) (1,1.25) . (D) (1.75,2)

18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形. (C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.

2

19. (本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2

20. (本大题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面) . (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的,底面半径为 0.3 米的灯笼, 请作出用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等 因素) .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 ? 是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
*

3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x ? 1 比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b ? ab 比 a ? b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

( 3 )已知函数 f ( x ) 的定义域 D x x ? k? , k ? Z , x ? R .任取 x ? D , f ( x ) 等于

?

?

1 ? sin x 和 1 ? sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的奇
偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明) . 23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.

x2 y 2 已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , A(0, b) 、 B(0, ?b) 和 Q ( a, 0) 为 ? 的三 a b
个顶点. (1)若点 M 满足 AM ?

1 ( AQ ? AB) ,求点 M 的坐标; 2

( 2 )设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若

b2 k1 ? k2 ? ? 2 ,证明: E 为 CD 的中点; a
(3) 设点 P 在椭圆 ? 内且不在 x 轴上, 如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l , 使得 l 与椭圆 ?

a ? 10 ,b ? 5 ,点 P 的坐标是(-8, 的两个交点 P 1 、P 2 满足 PP 1 ? PP 2 ? PQ ?令
-1) ,若椭圆 ? 上的点 P 1、 P 2 满足 PP 1、P 2 的坐标. 1 ? PP 2 ? PQ ,求点 P

4

参考答案
一、填空题: 1. 【答案】2 解析:依题意 2 ? ( A

B) ,但 2 ? B ,从而 2 ? A ,所以 m ? 2

【命题立意】本题考查了集合的并集运算,属基础概念题. 【解题思路】∵ A

B ? ?1, 2,3, 4?, 而 2 ? B , ∴ 2 ? A ,即得 m ? 2 .

2. 【答案】 {x | ?4 ? x ? 2} 解析:由

2? x ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ? ?4 ? x ? 2 x?4 2? x x?2 ? 0 可得 ? 0 , 解之得 ?4 ? x ? 2 , x?4 x?4

【命题立意】本题考查了分式不等式的求解问题, 考查分类思想方法的应用. 【解题思路】由 ∴不等式

2? x ? 0 的解集是 {x | ?4 ? x ? 2} x?4

【易错点】分式不等式中字母系数为负时需要先变号为正, 否则解集将出现错误. 3. 【答案】

1 2

cos
解析:

?
6

sin cos

?
6

sin

?
6

?
6

? cos 2

?
6

? sin 2

?
6

? cos

?
3

?

1 2

【命题立意】本题考查了行列式及三角函数的二倍角公式, 属基础公式题型.

cos
【解题思路】

?
6

sin cos

?
6

sin
4. 【答案】 6 ? 2i

?
6

?
6

? cos 2

?
6

? sin 2

?
6

? cos 2 ?

?
6

?

1 . 2

解 析 : 因 为

z ? 1 ? 2i

, 所 以

| z |? 12 ? (?2) 2 ? 5

, 所 以

2 z? z ? | z ? | z ? 5z ? 1 ? 2 ? i 6 ? 2i ?

【命题立意】本题考查了复数的基本运算,属基础概念题型.

5

【解题思路】∵ z ? 1 ? 2i , ∴ z ? z ? z ? (1 ? 2i)(1 ? 2i) ? (1 ? 2i) ? 5 ?1 ? 2i ? 6 ? 2i . 5. 【答案】20 解析:总容量为 100,按比例分布,应从 C 中抽取 100 ?

2 ? 20 5?3? 2 2 ? 20 个. 5?3? 2

【命题立意】本题考查了统计初步中分层抽样问题, 考查统计思想. 【解题思路】由各个体数之比可得,C 中应当抽取的个数数为 100 ? 6. 【答案】96
2 解析:依题意 S ? 6 ? 36 ,高 h ? PA ? 8 ,所以 V ?

1 1 Sh ? 62 ? 8 ? 96 3 3

【命题立意】本题考查了四棱锥的体积计算问题,考查空间想象能力. 【解题思路】由题意可得 V四棱锥P ? ABCD ? 7. 【答案】3 解析:圆 C 即为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,其圆心 C (1, 2) ,由点到直线的距离公式可 得d ?

1 1 S正方形ABCD ? PA ? ? 62 ? 8 ? 96 . 3 3

| 3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 | 32 ? 42

?3

【命题立意】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离,考查数形结合思想. 【解题思路】圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心(1,2)到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的
2 2

距离 d ?

| 3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 | ? 3. 5
2

8. 【答案】 y ? 8x 解析:依题意可以 P 的轨迹是以 F (2, 0) 为焦点, x ? ?

p ? ?2 为准线的抛物线, 2

2 2 所以 P 的轨迹方程为 y ? 2 px ? 8x, P 的轨迹方程为 y ? 8x

【命题立意】本题考查了抛物线的标准方程及抛物线的概念, 考查函数与方程思想. 【解题思路】∵动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等, ∴点 P 的轨迹为抛物线, 其中 F(2,0)为焦点, 直线 x ? 2 ? 0 为准线, 即

p ? 2 ,解之得 2

p?4,
其中对应的抛物线的标准方程为 y ? 8x .
2

6

9. 【答案】 (0, ?2) 解析:方法一:求出反函数的解析式,由

y ? f ( x) ? log3 ( x ? 3) ? x ? 3 ? 3y ? x ? 3y ? 3
所以函数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数的解析式为 f ?1 ( x) ? 3x ? 3 , 令x ? 0, 可知与 y 轴的交点坐标是 (0, ?2) 。 方法二:反函数的图像与 y 轴的交点关于直线 y ? x 对称的点即为原函数的图像与 x 轴 的交点, 令 f (x) ? l o g ( 3 x3 ) ? 0? ? x?? 2 , 从而原函数与与 x 轴的交点为 (?2, 0) ,

所以反函数的图像与 y 轴的交点坐标是 (0, ?2) 【命题立意】本题考查了函数与反函数的关系,考查函数与方程思想及数形结合思想. 【解题思路】函数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 与 x 轴的交点坐标为 (?2, 0) , 即 f (?2) ? 0 , 则 f ?1 (0) ? ?2 , 即得点 (0, ?2) 在其反函数的图象上. 10. 【答案】

1 17
2

解析:基本事件总数为 n ? C52 ?

52 ? 51 ? 26 ? 51 ,红桃共 4 线,抽出的 2 张均为红 2 ?1

2 桃 的 事 件 数 为 m ? C13 ? 13? 6 , 所 以 “ 抽 出 的 2 张 均 为 红 桃 ” 的 概 率 为

P?

m 13 ? 6 1 ? ? n 26 ? 51 17

【命题立意】本题考查了古典概型的计算问题, 考查分析问题与解决实际问题的能力.
2 2 【解题思路】52 张中随机抽取 2 张共有 C52 种方法, 其中 2 张均为红桃共有 C13 种方法,
2 C13 1 ? . 2 C52 17

则“抽出的 2 张均为红桃”的概率为 P ? 11. 【答案】 S ? S ? a

解析:因为 S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数 所以显然是累加起来的求和,故空白的执行框内应填入: S ? S ? a 【命题立意】本题考查了算法的程序框图及算法流程图,考查算法思想的应用. 【解题思路】 S 的初始值为 0, 每个整点时输入的人数 a 的值均需要累加到 S 上, 则空白 的执行框内应填入 S ? S ? a .

7

【易错点】对变量的错误认识, 在赋值框中的表达式容易出现填 S ? T ? a 等错误. 12. 【答案】45 解析: 可知这个数列的每一行, 每一列, 每一斜行的和均为 1 ? 2 ? 时, a11 ? a22 ? a33 ???? ? a99 ? 1 ? 2 ?

?n, 从而当 n ? 9

? 9 ? 45

【命题立意】 本题考查了数阵与数列的通项与数列的求和问题, 考查归纳猜想能力及统 计能力. 【 解 题 思 路 】 由 矩 阵 可 得 ,

a11 ? a22 ? a33 ???? ? a99 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 45 .
13. 【答案】 ab ?

1 4

解析:设点 P( x0 , y0 ) ,则

x0 2 ? y0 2 ? 1 ,又由 OP ? ae1 ? be2 4
? x0 ? 2( a ? b) ? y0 ? a ? b

从而有 ( x0 , y0 ) ? a(2,1) ? b(2, ?1) ,所以 ?

代入

x0 2 ? y0 2 ? 1 ,得 (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 1 ? 4ab ? 1 4

【命题立意】本题考查了双曲线的几何性质及平面向量的基本定理,考查数形结合及数 据处理的能力. 【解题思路】设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2
b b 1 x 的斜率 ? , a a 2

由题意可得 a2 ? b2 ? c2 ? ( 5)2 ? 5 , 且渐近线 y ? 解之得 a ? 2, b ? 1 , 即双曲线方程为

x2 ? y 2 ? 1,任取双曲线上一点的坐标为 P (x, y ) , 4

? x ? 2 a? 2 b, x2 ? y2 ? 1 可 得 则 由 O P? a1e ? b 代入 (2 a ?2 , b ? a可 ) b得 ? 2 e? 4 , ? y ? a? b
(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 1,即得 ab ?
1 . 4

【题眼】 题中所给的向量关系实际上是曲线参数方程的另一种表示方式, 其通过向量展 示了另一类轨迹的求解方式,值得很好去品味.

8

14. 【答案】

1 2

解析:解析:依题意可知 l2 过点 A(1, 0) , l3 过点 C (0,1) ,又 l2 与 l3 的交点可由方程组

n ? x? ? nx ? y ? n ? 0 ? ? n ?1 ?? , ? ? x ? ny ? n ? 0 ? y ? n ? n ?1 ?

2.5

2

n n , ) ,从而围成的封闭图形即为 ?ABC ,又直线 l1 的方 如图所示,设其为点 B ( n ?1 n ?1
1.5

程为 x ? y ? 1 ? 0 ,点 B 到直线 l1 的距离

C 1
0.5

l3

B l2 A1
2

d?
3

n n ? ?1 n ?1 n ?1 12 ? 12
2

n ?1 n ?1 ,所以 ? 2

1

O
0.5

S?ABC

n ?1 1 1 n ? 1 1 n ?1 1 2 ? AC ? d ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 n ?1 2 n ?1

1

1 2 ? , 2 n ?1 1 2 1 )? 所以 lim S n ? lim( ? n ?? n ?? 2 n ?1 2 排版时请添加 x, y 轴
?ABC 的面积为 Sn ? S?ABC ?

1.5

2

【命题立意】 本题考查了数列的极限计算及数列的通项的求解问题, 考查极限思想及分 析问题与解决实际问题的能力. 【解题思路】由三条直线所围成的三角形 所表示的阴影部分如右图所示, 其面积 n 1
A( n n , ) n ?1 n ?1

y

1 1 1 n 1 1 Sn ? ?1? n ? ?1?1 ? ? (n ? 1) ? ? , 2 2 2 n ?1 2 n ?1 O 1 1 1 )? . ∴ lim S n ? lim( ? n ?? n ?? 2 n ?1 2

x 1 n

【易错点】考生将 Sn 求出后,不是立即求该值的极限,而是想象成数列的通项,想方没法 求该数列的前 n 项和,想去求该和的极限值,属审题不清错误. 二、选择题: 15. 【答案】C 解析:在直角坐标系内,作出线性区域,如图所示,
6 4 2 2 4 1 4

3

2

1

A

9

可以当直线过点 A(1,1) 时,有目标函数 z ? x ? y 的最大值是 2 排版时请添加 x, y 轴 【命题立意】本题考查了线性规划问题, 考查数形结合思想方法 的应用.

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 【解题思路】不等式组 ? ? x ? 0, ? ?y ? 0
所表示的可行域如右图所示, 当平行直线系 x ? y ? z 过点 A(1,1)时, 目标函数 z ? x ? y 取得最大值 zmax ? 1 ? 1 ? 2 , 故应选 16. 【答案】A 解 析 : x ? 2 k? ? C.

y 3
A(1,1)

1.5 O 1.5 3

x

?
4

?k ? Z ?

, 可 以 得 到 tan x ? 1 , 但 是 tan x ? 1 , 则 有

x ? k? ?

?
4

? k ? Z ? ,不一定有 x ? 2k? ? ? k ? Z ? 。所以是“充分不必要条件”
4

?

【命题立意】本题考查了三角函数的性质及充要条件, 考查逻辑推理能力. 【 解 题 思 路 】 当 x ? 2 k? ?

?
4

?k ? Z ?

时 ,

tan x ? 1 ; 当 tan x ? 1 时 ,

x ? k? ?

?
4

?k ? Z ? ,
?
4

∴“ x ? 2k? ? 17. 【答案】D

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的充分不必要条件,

故应选 A.

解析:设 f ( x) ? lg x ? x ? 2 ,则 f (2) ? lg 2 ? 2 ? 2 ? lg 2 ? 0 , 又 f (1.75) ? lg1.75 ? 1.75 ? 2 ? lg1.75 ? 0.25 ? lg
1 7 ? lg10 4 4

1 1 7 4 7 4 2401 7 7 4 ? 10 ,所以 ? 10 ,从而 f (1.75) ? l g ? lg10 4 ? 0 ,故选 D 又( ) ? 4 ? 4 4 256 4 4

【命题立意】 本题考查了函数的零点及二分法求方程的近似解问题, 考查二分法思想方 法的应用.

10

【解题思路】令 f ( x) ? lg x ? x ? 2 , 则由 f (1) ? lg1 ?1 ? 2 ? ?1 ? 0 ,

f (1.25) ? lg1.25 ? 1.25 ? 2 ? ?0.65309 ? 0 , f (1.75) ? lg1.75 ? 1.75 ? 2 ? ?0.00696 ? 0 , f (2) ? lg 2 ? 2 ? 2 ? lg 2 ? 0 , 可得函数 f ( x) 在区间(1.75,2)有一个零点,即方程
式 lg x ? x ? 2 的解 x0 属于区间(1.75,2), 故应选 D.

【易错点】上海市允许考生使用计算器, 但使用计算器的前提是将需要运算的代数式列 出,即建立固定的函数模型. 18. 【答案】C 解析:因为 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,所以 a : b : c ? 5 :11:13 不妨设 a ? 5k , b ? 11k , c ? 13k ,因为

a2 ? b2 ? (5k )2 ? (11k )2 ? 146k 2 ? 169k 2 ? (13k )2
所以是钝角三角形,选 C 【命题立意】 本题考查了解三角形及正余弦定理的应用, 考查灵活选择公式解决实际问 题的能力. 【解题思路】∵ sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 , ∴ a : b : c ? 5 :11:13 , ∴ a ? b ? c, A ? B ? C , 且 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 52 ? 112 ? 132 ? ?0, 2ab 2 ? 5 ?11
C.

∴△ ABC 的内角 C 为钝角,即△ ABC 一定是钝角三角形, 故应选

【题眼】利用正弦定理找出边角关系,分析最大的边长,利用余弦定理判断对应角的余弦 值,便可粗略判断该三角是锐角还是钝角三角形. 三、解答题 19.

19.原式 ? lg(sinx ? cos) ? lg(sinx ? cosx) ? lg(1 ? sin 2x ) (sinx ? cosx) 2 1 ? sin2x 1 ? sin 2x ? lg ?0 1 ? sin 2x ? lg ??8分 ??12分

?? 6分

11

log(cos x tan x ? 1 ? 2sin 2 x) ? log[ 2 cos( x ? )] ? log(1 ? sin 2 x) 4 ? log(sin x ? cos x) ? log(cos x ? sin x) ? log(1 ? sin 2 x) ? log(sin x ? cos x)2 ? log(1 ? sin 2 x) ? log1 ? 0
20. (1) 设圆柱的的高为 h,由题意可知 ,4(4r? 2h) ? 9.6

?

即2r ? h ? 1.2 S?2 π rh ?π r 2
?π r (2.4 ? 3r )
2

?? 2分 ?? 5分 ?? 7分
……8 分

?3 π[?(r ? 0.4) ? 0.16], 其中0 ? r ? 0.6

?当半径r ? 0.4(米)时, S max ? 0.48 π ? 1.51(平方米)
(2)由 r=0.3 及 2r+h=1.2,得圆柱的高 h=0.6(米)

……14 分 (1)圆柱体的高为 1.2 ? 2r ,故 S ? ? r ? 2? r (1.2 ? 2r ) ? ? (?3r ? 2.4r )
2 2

2 当 r ? 0.4 时, Smax ? 1.5080 ? 1.51(m ) ;

(2)略; 21. (1)当 n=`1 时, a1 ? S1 ? 1 ? 5a1 ? 85, 解得 a1 ? ?14, 则a 1 ? 1 ? ?15 . 当 n ? 2时, S n-1 ? (n - 1) ? 5a n -1 ? 85,
12

? a n ? S n ? S n ?1 ? 1 ? 5a n ? 5a n-1 ,
5 (a n -1 ? 1), …….4 分 6 5 ?{a n ? 1}是首项为 ? 15, 公比为 的等比数列 . …….6 分 6 5 n -1 (2) a n ? 1 ? ?15 ? ( ) , 6 5 5 ? S n ? n - 5[1 - 15 ? ( ) n -1 ] ? 85 ? n ? 75 ? ( ) n -1 ? 90, 6 6 5 n -1 由 S n ?1 ? S n 得n ? 1 ? 75 ? ( ) ? 90 …….9 分 6 ? 6a n ? 5a n -1 ? 1,即a n ? 1 ?
即 15 ? ( ) n ? 1, 解得n ? log

5 6

1 ? 14.85, 5 15
6

…….12 分

? 使得S n ?1 ? S n 成立的最小正整数 n ? 15
解: (1)由 Sn ? n ? 5an ? 85, n ? N * 可得: a1 ? S1 ? 1 ? 5a1 ? 85 ,即 a1 ? ?14 。 同时

…….14 分 (1)

Sn?1 ? (n ? 1) ? 5an?1 ? 85

(2)

从而由 (2) ? (1) 可得: an?1 ? 1 ? 5(an?1 ? an )

5 (an ? 1), n ? N * ,从而 {an ?1} 为等比数列,首项 a1 ?1 ? ?15 ,公比为 6 5 5 n ?1 5 n ?1 ,通项公式为 an ? 1 ? ?15*( ) ,从而 an ? ?15*( ) ? 1 6 6 6 5 n 5 n 1 (2) Sn?1 ? Sn 即 an?1 ? 0 , ?15*( ) ? 1 ? 0 , ( ) ? , 6 6 15
即: an ?1 ? 1 ? 解得 n ?

? log(15) ? 14.8532 ,从而 nmin ? 15 。 log(5) ? log(6)
2

2 22. (1)由题意得得|x ?1 |? 3 ,即-3< x ? 1 ? 3 ,解得-2<x<2.

? x的取值范围是 (?2,2)
(2)当 a.b 是不等的正数时,

…….3 分

a 3 ? b3 ? (a 2b ? ab2 ) ? (a ? b) 2 (a ? b) ? 0,
又 a 2b ? ab2 ? 2ab ab, 则a 3 ? b3 ? a 2 b ? ab2 ? 2ab ab ? 0

13

于是, a b ? ab ? 2ab ab ? a ? b ? 2ab ab ,
2 2 3 3

…….6 分

? a 2 b ? ab2比a 3 ? b3接近2ab ab.
(3) 由|1-sinx|<|1+sinx|得 1-sinx<1+sinx, 即 sinx>0,则 2kπ <x<2kπ +π (k∈Z)

…….8 分

同理,若|1+sinx|<|1-sinx|,则 2kπ +π <x<2kπ +2π (k∈Z) 于是,函数 f(x)的解析式是 F(x)= ?

2kπ ? x ? 2kπ ?π(k ? Z) ?1 ? sin x,   ? ? 2kπ ?π ? x ? 2kπ ? 2 π(k ? Z)? ?1 ? sinx,  

…….11 分

函数的大致图像如下:

1

π ?2 π? 3 2



?

π 2

O π 2

π

3 π 2

2 π

函数 f(x)最小正周期 T=π 该函数 f(x)是偶函数. 当 x=kπ +

…….12 分 ……13 分

π (k ? Z )时, 函数 f ( x )取得最小值 0. 2

函数 f(x)在 ? kπ, kπ ? ?(k ? Z )上单调递减 ; 2

? ?

π? ?

…….14 分

在 ?kπ ?

? ?

π ? , kπ ?π ?(k ? Z )上单调递增. 2 ?

…….16 分

2 (1)解:由题意可得 ( x ? 1) ? 0 ? 3 ? 0 2 即 x ? 1 ? 3 ,解得

?2 ? x ? 2

(2)证一:

(a 2b ? ab2 ) ? 2ab ab ? (a b ? b a )2 ? (a b ? b a )2 ? (a 2b ? ab 2 ) ? 2ab ab
而 (a3 ? b3 ) ? 2ab ab ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? (a 3 ? b3 ) ? 2ab ab
14
3 3 3 3

(a 2b ? ab 2 ) ? 2ab ab ? (a 3 ? b3 ) ? 2ab ab
从而 ? [(a b ? ab ) ? 2ab ab ] ? [(a ? b ) ? 2ab ab ]
2 2 3 3

? ?(a 3 ? b3 ? a 2b ? ab 2 ) ? ?( a ? b) 2 ( a ? b) ? 0
即 (a b ? ab ) ? 2ab ab ? (a ? b ) ? 2ab ab 命题得证。
2 2 3 3

证法二:等价于证明 (a b ? ab ) ? 2ab ab ? (a ? b ) ? 2ab ab ,
2 2 3 3

2 3 3 因为 a ? b, 所以( a2 b? ab ) ? 2 ab ab , 同理 ( a ? b )? 2

3 3 ,于是待 a b ? 2 ab ab























符 ,

号 于



可 是

, 等



形 价

为 于

(a2b ? ab2 ) ? 2ab ab ? (a3 ? b3 ) ? 2ab ab

(a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? 0 ? (a ? b)(a ? b)2 ? 0 ,因为 a ? b ,且都是整数,所以该
式显然成立。 (3)根据定义知道 sinx≠0,那么 sinx>0 时,f(x)=1-sinx,sinx<0 时,f(x)=1+sinx, 于是函数在 x∈(2kπ, π+2kπ) (k∈Z)时,sinx>0 时,f(x)=1-sinx;x∈(-π+2kπ, 2kπ) ( k ∈ Z ) 时 , sinx<0 时 , f ( x ) =1+sinx ,

f ( x) ?

?

1?sin x , x?(2 k? ,(2 k ?1)? ) 1?sin x , x?((2 k ?1)? ,(2 k ? 2)? )

? 1 ? sin x , x ? k?

1 f ( x) 为偶函数,最小正周期为 ? ,最小值为 0,在 (k? ,( k ? )? ), k ? Z 上单调递减, 2 1 在 ((k ? )? , ( k ? 1)? ), k ? Z 上单调递增。 2
23. (1)设点 M 的坐标为 ?x 0 , y 0 ?, 由题意可知

AQ ? (a ,?b), AB ? (0,?2b),

?

?

1 ? ? a 3b ? ? AM ? ( AQ? AB) ? ? ,? ? ? ?x0 , y 0 ? b ? 2 ?2 2 ?
?

?

…….4 分

?a b? ? 点M的坐标为 ? ,? ?. ?2 2?

?y ? k 1 x ? p, ? 2 (2) 由 ? x 2 y 2 得(b 2 ? a 2 k 1 ) x 2 ? 2a 2 k 1px ? a 2 p 2 ? a 2 b 2 ? 0 , ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
15

? a 2 k 1p b2p ? ? ? CD中点坐标为 ? , ? b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2 ? ?. 1 1 ? ?
? k1 ? k 2 ? ? b2 b2 , ? k ? ? . 2 a2 a 2 k1

…….7 分

? y ? k 1 x ? p, ? a 2 k 1p b2p ? 2 ? 得 l 与 l 的交点 E 的坐标为 ? , 由? b 1 2 ? b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2 1 1 ? ?y ? ? a 2 k x, 1 ?

? ? ?, ?

? l1与l 2的交点E为CD的中点 .
(3)设 OF 的斜率为 k 1 , 过F作斜率为k 2 ? ? 由 ( 2 )

…….10 分

b2 的直线叫椭圆于 P 1 .P 2 两点。 k 1a 2

?


? ?

,F



P PP PP 1. P 2的中点,四边形 1QP 2 是平行四边形,所以 1 ? PP 2 ? PQ,
直线 P 1P 2即为所求。 …….13 分

由 a=10,b=5 及点 P(-8,-1)得 PQ 中点为 S ?1,? ?, OS的斜率k OS ? ? .

? ?

1? 2?

1 2

52 1 1 过点S且斜率k ? ? 2 ? 的直线l的方程是y ? (x ? 2) . 2 10 ? k OS 2 …….15 分 记l与?的交点为P1. P2,则 PP 1 ? PP 2 ? PQ .
? x 2 y2 ? ? 1, ? ?100 25 解得P1 (8,3),P 2 (?6,?4) 由? 1 ? y ? (x ? 2), ? 2 ?
(1)解: AQ ? (a, ?b), AB ? (0, ?2b),? AM ? ( , ? b) 。 (2)证:设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则由
? ? ?

…….18 分

a 2

3 2

x y ? ? a12 ? b12 ?1 ? x22 y22 ? ?1 ? ? a2 b2
2 2

可 得

( x1 ? x )( )( y ?2y ) 1 y ? y2 2 x ?1x ) 2( y ? y 1 2 ? ?0 , 又 k1 ? 1 , 故 可 得 2 2 a b x1 ? x2
16

y1 ? y2 b2 1 ?? 2 x1 ? x2 a k1
y1 ? y2 b 1 y ? y2 而由题意知 k2 ? ? 2 ,所以 1 ? k2 ,即 2 ? k2 x1 ? x2 a k1 x1 ? x2 2 x ? x2 y1 ? y2 , ) 在直线 y ? k2 x 上,也即直线 l1 与 l2 的交点 E 为线 即线段 CD 的中点 ( 1 2 2
2

段 CD 的中点。 (3)椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, Q(10, 0) ,从而线段 PQ 的中点为 Q(1, ?0.5) , 100 25

若 PP 1 ? PP 2 ? PQ ,则 PPQP 1 2 为平行四边形,从而线段 PQ 与线段 PP 1 2 互相平分,故 直线 l 的斜率存在,可设为 k ,直线 l 为 y ? k ( x ? 1) ? 0.5 。

x1 y1 ? ? ?1 ? 100 25 ? x22 y22 设 P ( x , y ), P ( x , y ) ,则由 ? ? 100 ? 25 ?1
2 2
1 1 1 2 2 2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 100 25 x1 ? x2 y ? y2 1 x ?x 1 2 1 1 1 可得 k ? 1 ?? 1 2 ?? ?? ? ? x1 ? x2 4 y1 ? y2 4 y1 ? y2 4 ?0.5 2 2 1 所以直线 l 方程为 y ? x ? 1 。 2
可得 全卷分析: 【试卷亮点】 2010 上海卷试题多为教材中习题改编而来, 这些源于教材, 又不同于教材 的题目,其灵活性及创新性远远脱离教材.整份试卷展示了数学高考的理性思维,它要 求考生在问题解决中, 运用所学的基本知识和基本概念, 会进行演绎、 归纳和类比推理, 能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点,会正确而简明地表述推理过程. 【复习使用指导】尽管试题体现了一定的能力要求,但落脚点都在基础知识上,因此考 生在复习过程中仍然应当注重基础知识点的强化复习力度,特别是教材的习题及其改编 的资料中的试题.

17


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