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福建省师大附中2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


福建师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试卷 高二数学(理科)必修 5
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在 答卷纸上,考试结束后只交答案 卷. 第I卷 共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.已知 a , b ? R ,下列结论成立的是 A.若 a ? b ,则 ac ? bc C.若 a ? b ? 0 ,则 B.若 a ? b , c ? d ,则 ac ? bd
n n ? D.若 a ? b ,则 a ? b ( n ? ? , n ? 2 )

1 1 ? a b

2.下列函数中,最小值为 2 2 的是 A. y ?

x2 ? 3 ?

2 x ?3
2

B. y ? x ?

2 x
2 ( x ? 0 且 x ? 1) lg x

C. y ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) sin x

D. y ? lg x ?

3.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S S4 ? 3 ,则 6 ? S2 S4
C.

A.2

B.

7 3

8 3

D.3

4.设 Sn 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 a1 ? a5 ? a9 ? 6 ,则 S9 的值为 A.54
2

B.45
2

C.27

D.18

5. 若关于 x 方程 x ? (m ?1) x ? m ? 2 ? 0 的一个实根小于 ?1 , 另一个实根大于 1 , 则实数 m 的取值范围是 A. (? 2, 2) B. (?2, 0) C. (?2,1) D. (0,1)

6.已知 a ? 0, b ? 0 ,若不等式 A. 10 B. 9

2 1 m ? ? 恒成立,则实数 m 的最大值是 a b 2a ? b
C.8 D. 7

-1-

7. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 a sin A ? c sin C ? 则角 C 的大小为

?

2a ? b sin B ,

?

? ? ? C. D. 2 4 3 8.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 5 ? S 6 且 S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结论错误 的是 ..
A.

3 ? 4

B.

A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值 C.公差 d ? 0

B. a7 ? 0 D. S 9 ? S 5
2 2

9.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b tan A ? a tanB ,则△ABC 的形 状是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

? x? y?2?0 ? 10.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的唯一 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
最优解是(1,3 ),则实数 a 的取值范围为 A. (??, ?1) B. (0,1) C. (1, ??) D. [1, ??)

11.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? 60? , b ? 4 3 ,为使此三 角形有两个,则 a 满足的条件是 A. 6 ? a ? 4 3 B. 0 ? a ? 6 C. 0 ? a ? 4 3 D. a ? 4 3 或 a ? 6

12.设数列 {an } 是集合 {3s ? 3t | 0 ? s ? t, 且 s, t ? Z } 中所有的数从小到大排列成的数列,即

a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…. 将数列 {an } 中各项按照上小下大,
左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表: 4 10 28 … 则 a200 的值为 A. 3 ? 3
9 19

12 30 36

… B. 3 ? 3
10 19

C. 3 ? 3
9

20

D. 3 ? 3
10

20

第Ⅱ卷

共 90 分

-2-

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 mx 2 ? nx ? 1 ? 0 的 解 集 为 {x | x ? 于 .

1 1 , 或x ? } , 则 m ? n 等 3 2

14.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30O 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75O 的方向上,仰角为
30O ,则此山的高度 CD ?

m.

第 14 题图

15.在 ?ABC 中,D 为边 BC 的中点, AB ? 2, AC ? 1, ?BAD ? 30? ,则 AD ?
?

.

16. 已知数列 {xn } 满足 xn?2 ?| xn?1 ? xn | (n ? N ) , 若 x1 ? 1, x2 ? a(a ? 1, a ? 0) , 且 xn?3 ? xn 对于任意正整数 n 均成立,则数列 {xn } 的前 2015 项和 S 2015 的值为 的数字表示) 三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ? .(用具体

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

18. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a ? 3 , cos A ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.
-3-

? 6 ,B ? A ? . 2 3

19. (本小题满分 12 分) 某小型餐馆一天中要购买 A, B 两种蔬菜,A, B 蔬菜每公斤的单价分别为 2 元和 3 元. 根 据需要, A 蔬菜至少要买 6 公斤, B 蔬菜至少要买 4 公斤,而且一天中购买这两种蔬菜 的总费用不能超过 60 元.如果这两种蔬菜加工后全部卖出, A, B 两种蔬菜加工后每公 斤的利润分别为 2 元和 1 元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少 元?

20.(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC, ? ABD 面积是 ? ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1, DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

21.(本小题满分 12 分) 某企业为解决困难职工的住房问题,决定分批建设保障性住房供给困难职工,首批计划 用 100 万元购买一块土地,该土地可以建造每层 1000 平方米的楼房一幢,楼房的每平 方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元, 已知建筑第 1 层楼房时,每平方米的建筑费用为 920 元.为了使该幢楼房每平方米的平 均费用最低(费用包括建筑费用和购地费用) ,应把楼房建成几层?此时平均费用为每 平方米多少万元? 22. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? , an ? 0 ,其前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? 2 (Ⅰ)设 bn ?
n?1

,其中 n ? N* .

an ,证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2n

(Ⅱ)设 cn ? bn ? 2?n , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Tn <3 ; (Ⅲ)设 dn ? 4 ? (?1)
n n?1

,试确定 ? 的值,使得对任 ? ? 2b ( ? 为非零整数, n ? N* )
n

意 n ? N* ,都有 d n ?1 ? d n 成立.

-4-

福建省师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试 高二数学(理科)必修 5 参考答案 一、选择题:1-12:CBBADB BDDCAC 2 二、填空题: , 3 4 1344 13. ?1 14. 100 6 15. 16. 2 , 6 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,∵ a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ∴?

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3, d ? 2 ?2a1 ? 10d ? 26

……… 2 分

∴ an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , Sn ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ? 1 , ∴ bn ?

n(3 ? 2n ? 1) ? n2 ? 2n .……… 6 分 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?( ? ) ,……… 8 分 2 an ? 1 (2n ? 1) ? 1 4 n(n ? 1) 4 n n ? 1
2

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ??? ? ? .……… 10 分 ) ? (1 ? )? 4 2 2 3 n n ?1 4 n ? 1 4(n ? 1)

18.解: (Ⅰ)∵ cos A ?

6 3

∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 3

……… 1 分

∵B ? A?

?
2

∴ sin B ? sin( A ?

?
2

) ? cos A ?

6 ……… 3 分 3

a sin B ? 由正弦定理得 b ? sin A

3?

6 3 ? 3 2 ……… 5 分 3 3

(Ⅱ) sin C ? sin( A ? B) ? sin(2 A ? ∴ S?ABC ?

?
2

) ? cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ?

1 ……… 8 分 3

1 1 1 3 2 ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? ……… 10 分 2 2 3 2

19.解:设 A 蔬菜购买的公斤数 x,B 蔬菜购买的公斤数 y,餐馆加工这两种蔬菜利润为 z 元. x、y 则之间的满足的不等式组为: z=2x+y ……… 4 分 ……… 3 分

-5-

画出的平面区域如图.

……… 7 分 ∵y=﹣2x+z ∴z 表示过可行域内点斜率为﹣2 的一组平行线在 y 轴上的截距. 联立 解得 即 B(24,4) ……… 9 分

∴当直线过点 B(24,4)时,在 y 轴上的截距最大, 即 zmax=2×2 4+4=52 ……… 11 分 答:餐馆应购买 A 蔬菜 24 公斤,B 蔬菜 4 公斤,加工后利润最大为 52 元.……… 12 分 20.解:(Ⅰ) S ?ABD ?

S ?ACD

1 AB ? AD ? sin ?BAD 2 1 ? AC ? AD ? sin ?CAD 2

? S?ABD ? 2S?ACD , ?BAD ? ?CAD
? AB ? 2 AC ……… 2 分 sin ?B AC 1 ? ? 由正弦定理可知 sin ?C AB 2

……… 4 分

(II ) ? BD : DC ? S?ABD : S?ACD ? 2 :1, DC ?

2 2

? BD ? 2

…… … 6 分

设 AC ? x ,则 AB ? 2 x 在 ?ABD 与 ?ACD 中,由余弦定理可知

cos ?ADB ?

AD2 ? BD2 ? AB 2 3 ? 4 x 2 ? 2 AD ? BD ? 2 2

3 ? x2 AD 2 ? CD 2 ? AC 2 2 cos ?ADC ? ? ……… 8 分 2 AD ? CD 2

? ?ADB ? ?ADC ? ? ,? cos ?ADB ? ? cos ?ADC ……… 10 分
3 ? x2 3 ? 4 x2 ??2 ,解得 x ? 1 2 2 2
即 AC ? 1 ……… 12 分

21. 解:设建筑楼房为 x 层,该楼房每平方米的平均费用为 f ( x ) 万元,由题意知
-6-

建筑第 1 层楼房建筑费用为:920×1000=920000(元)=92(万元) 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:20×1000=20000(元)=2(万元) 建筑 x 层楼时,该楼房总费用为

92 x ?

x( x ? 1) ? 2 ? 100 ? x 2 ? 91x ? 100 (x∈N*)…… 6 分(不给定义域扣 1 分) 2

则 f ( x) ?

x 2 ? 91x ? 100 x 1 91 ? ? ? 1000 x 1000 10 x 1000

?2
当且仅当 10x=

x 1 91 2 91 111 ? ? ? ? ? 1000 10 x 1000 100 1000 1000
11 分

……… 10 分

,即 x=10 时,等号成立;………

答:了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼房建成 10 层,此时平均费用为每 平方米 0.111 万元. ……… 12 分 22. (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 4 ,∴ a1 ? 4 ……… 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2 ∴ an ? 2an?1 ? 2 ,……… 3 分
n n?1

1分

? 2an?1 ? 2n ,



an an ?1 ? ? 1, 2 n 2 n ?1

∴ bn ? bn?1 ? 1 (常数) ,……… 4 分 又 b1 ?

a1 ? 2 ,∴ ?bn ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列, bn ? n ? 1.……… 5 分 2
cn ? bn ? 2? n ? (n ? 1) ?

(Ⅱ)

1 2n 2 3 n ?1 Tn ? ? 2 ? ? ? n , 2 2 2 1 2 3 n n ?1 Tn ? ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,……… 6 分 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 相减得 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 n ?1 3 1 n ?1 2 ? 1? 2 ? n ?1 ? ? n ? n ?1 ,……… 7 分 1 2 2 2 2 1? 2 2 n ?1 n?3 ∴ Tn ? 3 ? n ? n ? 3 ? n ? 3 . ……… 9 分 2 2 2

-7-

(Ⅲ) 由 d n ?1 ? d n 得

……… 11 分 ……… 12 分 ……… 13 分 ……… 14 分

-8-


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