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导数及其应用复习课件


第一章 导数及其应用复习
函数的瞬时变化率

导数概念 本 章 知 识 结 构

运动的瞬时速度 曲线的切线斜率

基本初等函数求导

导数

导数运算

导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的

速度
最优化问题

导数应用

1.函数的平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:( y

Y=f(x)

y ? x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O

B

2.函数的瞬时变化率

A x2-x1=△x x x1 x2

?x ? 0

lim

lim
?x ? 0

f ( x) f(x2 ) ? f ( x1 ) ? lim x ?x x2 ? x1 x f ( x) ' ? f ( x) 导数 x
2 1

分母是分子中两 个自变量的差.

例1已知f ?? x0 ? ? ?2, 求 lim
k ?0

1 ? ? f ? x0 ? k ? ? f ?x0 ? 2 ? ? ? _________ k

1 ? ? f ? x0 ? (? k ) ? ? f ? x0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? 解 : f ? x0 ? ? lim ? -2 , ? ?x ? ? k ? 1 2 ? ? ?x ? 0 - k 2 1 ? 1 ? ? ? f ? x0 ? k ? ? f ? x0 ? f ? x0 ? k ? ? f ? x0 ? 1 2 ? 2 ? ? ? ? lim ? ? lim 1 k 2 k ?0 k ?0 - k 2 1 1 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? ?? 2 ? ? 1 可将分母的系数直 2 2 接乘过去

练习 :?1? 若f ? ? x0 ? ? 2, 则lim
k ?0

f ? x0 ? k ? ? f ? x0 ? -1 ? _____ 2k

f ??x0 ? ? lim
k ?0

f ?x0 ? k ? ? f ?x0 ? ?2 ?k
f ?x0 ? ? f ?x0 ? h ? 2 ? _______ 2h

?2?若f ??x0 ? ? 4, 则 lim
h ?0

f ??x0 ? ? lim
h ?0

f ?x0 ? ? f ?x0 ? h ? ?4 h

3.导数的概念:
1.导数的定义:对函数y=f(x),在点x=x0处给自变量
x以增量△x,函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)-f(x0), 若极限 lim ?y ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 存在,则此极限称为
?x ?0

?x

?x ? 0

?x

f(x)在点x=x0处的导数,记为f /(x0),或y| x ? x

0

2.导数的几何意义: 函数y=f(x)在点x0处的导数f /(x0)就是曲线在(x0,f(x0))处的 切线的斜率,所以曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 y?y0=f /(x0)· (x-x0).

3.导数的物理意义:物体作直线运动时,路程s关于时间t

的函数为:s=s(t),那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数,
即v(t)=s /(t). 加速度a=v/ (t),加速度a=s// (t)

例2.已经曲线C:y=x3-x+2和点A(1,2) 求在点A处的切线方程?

解:f/(x)=3x2-1, ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为: y-2=2(x-1), 即 y=2x

例2.已经曲线C:y=x3-x+2和点(1,2),求在点A 处的切线方程? 变式:求过点A的切线方程?
解:设切点为P(x0,x03-x0+2), k= f/(x0)= 3 x02-1, ∴切线方程为 y- ( x03-x0+2)=(3 x02-1)(x-x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2-( x03-x0+2)=( 3 x02-1)(1-x0) 1 化简得(x0-1)2(2 x0+1)=0, 解得x0=1或x0=- 2 ①当x0=1时,所求的切线方程为:y-2=2(x-1),即y=2x
1 y-2= - (x-1),即x+4y-9=0 4

1 ②当x0=- 时,所求的切线方程为: 2

点评:①在A点的切线,A为切点 ②过A 点的切线,A可能是切点也可能不是切点, 求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线
变式: 求曲线 f ? x ? ? x ? 3x ? 2x 过原点的切线方程.
3 2
3 2 2 设切点为A x0 , x0 ? 3 x0 ? 2 x0 , k ? f ?? x0 ? ? 3 x0 ? 6 x0 ? 2

3 2 ? 过?0,0 ? ? x0 ? 3 x0 ? 2 x0 3 0 3 0

3 2 2 ? 切线为y ? x0 ? 3 x0 ? 2 x0 ? 3 x0 ? 6 x0 ? 2 ? x ? x0 ? 2 0

?

?

? ? ? ?3 x

?

? 6 x0 ? 2 x0

?

?

3 3 x ? 2 x ? x0 ? 0或x0 ? 2
所求曲线的切线方程为y=2x与

1 y?? x 4

4公式①.基本初等函数的导数公式
(1)常函数:(C)/ ? 0, (c为常数); (2)幂函数 : (xn)/ ? nxn?1 (3)三角函数 ( :1 ) (sin (4)对数函数的导数:

x)? ? cos x
(3)(tanx)/ =?

(2) (cos x)? ? ? sin x
1 (1) (ln x )? ? . x
x
x

1 (2) (log a x)? ? . x ln a
乘以lna

(5)指数函数的导数:
x ? (1) (e ) ? e .

(2) (a )? ? a ln a(a ? 0, a ? 1).
x

axlna 与( x a )? ? _______ axa-1 易混的是: (a x )? ? _______

3xln3 3x2 例 (3x )? ? ________, ( x 3 )? ? _________
常用的还有: ? 1 ?1? ?1? ? ? ? ? 2 x ?x?

? 2?

? x? ? 2

?

1 x

②.导数的运算法则
(1)函数的和或差的导数

u ? f ?x ?, v ? g ?x ?

(u±v)/=u/±v/.
(2)函数的积的导数

(uv)/=u/v+uv/.
(3)函数的商的导数 (

特例:(Cu)/ =Cu/ (C为常数)

u)/ = v

u ' v ? uv ' 2 v

(v≠0)。

5.导数与单调性 一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b) 内单调递增;

2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b) 内单调递减。

y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o

a

b

x

o a

b

x
返回

如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常函数.

6.极值点与极值
函数y ? f ?x ?在x ? a点, 若f ?x ? ? 0,
'

y

g

a
g

x
1

x
0
2

x
3

x
4

bx

大 a的左侧f ' ?x ? ? 0, 右侧f ' ?x ? ? 0, 则a叫极 __值点, f ?a ?叫极大 __值.
小 小值 a的左侧f ' ?x ? ? 0, 右侧f ' ?x ? ? 0, 则a叫极__ 值点, f ?a ?叫极__ 极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值 统称为极值. 注意:1,极值点 指 x的值. 极值 指 y 的值. 必要不充分 __条件. 3. f ' ?x0 ? ? 0是x0为极值点的 __________ 4.极大值不一定大于极小值.

2.x0是极值点 , 满足f ' ?x0 ? ? 0, x0两侧f ' ?x0 ?异号.

7.函数的最大(小)值与导数
1.存在性定理:在闭区间[a,b]上连续函数f(x)在[a,b] 上必有最大值与最小值. 2.求最大(小)值的方法:函数f(x)在闭区间[a,b]上最 值求法:

① 求出f(x)在(a,b)内的极值;
② 将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中较大的一个是 最大值,较小的一个是最小值. a
g

y

g

x
1

x
0

2

x
3

x
4

bx

最值与极值的区别与联系
1.最值是整个定义域内最大(小)值,而极值只是在极 值点附近最大(小)的值.
2.极值可以有多个,最值若有则只能有一个. 3.极值只能在区间内取得,而最值可以在区间端点取得. 4.有极值未必有最值,有最值也未必有极值. 5.极值有可能是最值,但最值只要不在端点处必定是极值.

8.复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导 数间关系为:

? y?x ? y? u ? ux ;
例如: 求y=(2x+3)2 的导数 y=u2 , u=2x+3

y/x =y/u .u/x =2u.2=2(2x+3)=4x+6

复合函数求导

1.已知函数f ?x ?在R上满足f ?x ? ? 2 f ?2 ? x ? ? x 2 ? 8x ? 8, y=2x-1 _ 则曲线y ? f ?x ?在点?1, f ?1??处的切线方程是 __________

例 3(05 山东 19)已知 x ? 1 是函数

f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1的一个极值点,
3 2

其中 m, n ? R, m ? 0 , ( I)求 m 与 n 的关系表达式; ( II)求 f ( x ) 的单调区间;

解 :(I) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点 , 所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 所以 n ? 3m ? 6 .

(II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

2 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ? ,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

x
f ?( x )
f ( x)

2? ? ?? ,1 ? ? ? m? ?
?

1?
0

2 m

? 2 ? ?1 ? ,1? ? m ?

1

?1, ???
?

?

0 极大值

极小值

2? 2 ? ? ? 故由上表知 ,当 m ? 0 时 , f ( x ) 在 ? ??,1 ? ? 单调递减 ,在 ?1 ? ,1? 单调递增 , m? ? ? m ?
在 (1, ??) 上单调递减.

变式:(2005北京)已知函数f ? x ? ? ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? a

?1? 求f ? x ?的单调递减区间. ? 2 ? 若f ? x ? 在区间?-2,2? 上的最大值为20,求它在该
区间上的最小值

?1?减区间是?- ?,-1?, ?3,??? ?2?最小值是- 7

【函数的极值和最值问题】
3

例 6(05 北京 15)已知函数 f ? x ? ? ?x ? 3x ? 9x ? a .
2

(Ⅰ )求 f ? x ? 的单调递减区间;
解: (Ⅰ)f ? ? x ? ? ?3x2 ? 6x ? 9 .令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或

x ? 3 ,所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? , ?3, ??? .

例 6 已知函数 f ? x ? ? ?x ? 3x ? 9x ? a .
3 2

(Ⅱ ) 若 f ? x ? 在区间 ?2, 2 上的最大值为 20,求它在该区 间上的最小值.
(Ⅱ)当 x ?? ?2, 2? 时

?

?

x
f ? ? x?

?2

? ?2, ?1?
?

?1

? ?1, 2?
?

2

0
极小

f ? x?

2?a

22 ? a

因为 f ? ?2? ? 2 ? a , f ? 2? ? 22 ? a ,所以 f ? 2? ? f ? ?2? .

22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2 .
故 f ? x ? ? ?x ? 3x ? 9x ? 2 ,因此 f ? ?1? ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7 ,
3 2

即函数 f ? x ? 在区间 ?2, 2 上的最小值为 ?7 .

?

?

例 7 ( 06 北 京 16 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 点 x0 处 取 得极大值 5 ,其导函数 y ? f ?( x) 的图 象经过点 (1,0) , (2, 0) ,如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.

y

O

1

2

x

解法一 :( Ⅰ )由图象可知 ,在 ? ??,1? 上 f ? ? x ? ? 0 , 在 ?1, 2 ? 上

f ? ? x ? ? 0 ,在 ? 2, ??? 上 f ? ? x ? ? 0 , 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极
大值,所以 x0 ? 1 .

(Ⅱ)f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由 f ? ?1? ? 0, f ? ? 2? ? 0, f ?1? ? 5 ,

?3a ? 2b ? c ? 0, ? 得 ?12 a ? 4b ? c ? 0, 解得 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 . ? a ? b ? c ? 5. ?
解法二: (Ⅰ)同解法一. ( Ⅱ ) 设 f ? ? x ? ? m ? x ?1?? x ? 2? ? mx2 ? 3mx ? 2m , 又

f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ,所以
m 3 m 3 3 2 a ? , b ? ? m, c ? 2m . f ? x ? ? x ? x ? 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f ?1? ? 5 ,即 ? ? 2m ? 5 ,得 m ? 6 . 3 2
所以 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 .

说明:
1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域, 解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符 号来判断函数的单调区间. 2.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x) 时在闭区 间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.

3.注意在某一区间内 f / (x) >(<)0只是函数f(x)在该区间 上为增 (减)函数的充分不必要条件.


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