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高一数学必修4模块期末试题


模块期末 期末试题 高一数学必修 4 模块期末试题

时间:120 分钟

满分:150 分

选择题, 第 I 卷(选择题 共 50 分)
选择题( 小题,每小题5 一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50 分) 1. sin 390 = (
0

)

A.

2.下列区间中,使函数 y = sin x 为增函数的是( A. [0, π ] B. [

1 2

B. ? )

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

π 3π
2 , 2

]

C. [ ?

π π
)

3.下列函数中,最小正周期为 A. y = sin x

π
2

, ] 2 2

D. [π , 2π ]

的是(

B. y = sin x cos x

C. y = tan

v v v b = (3,1) , 且 a ⊥ b , 则 x 等于 ( ) A.-1 B.-9 C.9 D.1 1 1 1 8 8 5.已知 sin α + cos α = ,则 sin 2α = ( ) A. B. ? C. D. ? 3 2 2 9 9 2π 6.要得到 y = sin(2 x ? ) 的图像, 需要将函数 y = sin 2 x 的图像( ) 3 2π 2π π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 3 r r3 r r r r r r 7.已知 a , b 满足: | a |= 3 , | b |= 2 , | a + b |= 4 ,则 | a ? b |= ( ) A. 3 B. 5 C.3 D.10 uuu v uuuv 8.已知 P (2, ?1) , P2 (0,5) 且点 P 在 P P2 的延长线上, | P P |= 2 | PP2 | , 则点 P 的坐标为 ( ) 1 1 1 4 2 A. (2, ?7) B. ( , 3) C. ( , 3) D. ( ?2,11) 3 3 2 π 1 π 9.已知 tan(α + β ) = , tan( β ? ) = , 则 tan(α + ) 的值为 ( ) 5 4 4 4 1 22 3 13 A. B. C. D. 6 13 22 18
4.已知 a = ( x, 3) ,

v

x 2

D. y = cos 4 x

10.函数 y = sin(ωx + ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ω 可以取的一组值是(

) y

A. ω = C. ω =

π
2

, ?= , ?=

π
4

π
4

π
4

6 π 5π D. ω = , ? = 4 4

B. ω =

π
3

, ?=

π

O

1

2

3

第 II 卷(非选择题, 共 60 分) 非选择题
小题, 把答案填在题中横线上) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 填空题( 11.已知扇形的圆心角为 120 ,半径为 3 ,则扇形的面积是 12.已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为 13.函数 y =
0

x

sin x 的定义域是

.

14. 给出下列五个命题: ①函数 y = 2sin(2 x ?

π
3

) 的一条对称轴是 x =

5π π ;②函数 y = tan x 的图象关于点( ,0)对称; 12 2

③正弦函数在第一象限为增函数;④若 sin(2 x1 ?

π

) = sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 = kπ ,其中 k ∈ Z 4 4

π

以上四个命题中正确的有 (填写正确命题前面的序号) 解答题( 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 12 分) (1)已知 cos a = -

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4 sin α ? 2 cos α (2)已知 tan α = 3 ,计算 的值 5 cos α + 3 sin α

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 16(本题满分 12 分)已知 α 为第三象限角, f (α ) = . tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(1)化简 f

(α )

(2)若 cos(α ?

3π 1 ) = ,求 f (α ) 的值 2 5

17(本小题满分 14 分) 已知向量 a , b 的夹角为 60 , 且 | a |= 2 , | b |= 1 ,
o

v

v

v

v

v v
(1) 求 a b ;

(2) 求 | a + b | .

v v

18(本小题满分 14 分) 已知 a = (1, 2) , b = (?3,2) ,当 k 为何值时,

r

(1) k a + b 与 a ? 3b 垂直? (2) k a + b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 19(本小题满分 14 分) 某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ≤ t ≤ 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:

r

r

r

r

r r

r

r

t y

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

经过长期观测, y = f (t ) 可近似的看成是函数 y = A sin ωt + b (1)根据以上数据,求出 y = f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港? 20(本小题满分 14 分) 已知 a = ( 3 sin x, m + cos x) , b = (cos x, ?m + cos x) , 且 f ( x ) = a b (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 当 x ∈ ? ?

r

r

v v

? π π? 时, f ( x ) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x ) 的最大值, 并求出相应的 x 的值. , ? 6 3? ?

参考答案:
一、ACDAD DDDCC 二、11. 3π 12. (0, 9)
2 2

13. [2kπ , 2kπ + π ] k ∈ Z

14. ①④

三、15.解: (1)∵ cos α + sin α = 1 , α 为第三象限角 ∴ sin α = ? 1 ? cos (2)显然 cos α ≠ 0 ∴
2

α = ? 1 ? (? ) 2 = ?

4 5

3 5

4sin α ? 2 cos α 4sin α ? 2 cos α 4 tan α ? 2 4 × 3 ? 2 5 cos α = = = = 5cos α + 3sin α 5 cos α + 3sin α 5 + 3 tan α 5 + 3 × 3 7 cos α

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 16.解: (1) f (α ) = tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(? cos α )(sin α )(? tan α ) (? tan α ) sin α = ? cos α =
(2)∵ cos(α ?

3π 1 )= 2 5 1 ∴ ? sin α = 5
又 α 为第三象限角

从而 sin α = ?

1 5

∴ cos α = ? 1 ? sin α = ?
2

2 6 5

即 f (α ) 的值为 ?

2 6 5

17.解: (1) a b =| a || b |cos 60 = 2 × 1×
o

v v

v v

1 =1 2

(2) | a + b |2 = ( a + b) 2

v v

v v

v2 v v v2 = a ? 2a b + b = 4 ? 2 ×1 + 1 =3 v v 所以 | a + b |= 3

18.解: k a + b = k (1, 2) + ( ?3, 2) = ( k ? 3, 2k + 2)

r

r

r r a ? 3b = (1, 2) ? 3(?3, 2) = (10, ?4)
(1) ( ka + b ) ⊥ ( a ? 3b ) , 得 (k a + b ) ( a ? 3b ) = 10( k ? 3) ? 4(2k + 2) = 2k ? 38 = 0, k = 19 (2) ( ka + b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4( k ? 3) = 10(2k + 2), k = ? 此时 k a + b = ( ?

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1 3

r

r

10 4 1 , ) = ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

19.解: (1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, h = 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T = 故 f (t ) = 3sin



2π t + 10 9

ω

= 9 ,ω =

2π , 9

13 + 7 13 ? 7 = 10 , A = =3 2 2

(0 ≤ t ≤ 24)

(2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ≥ 11.5 ,即 3sin ∴ sin

2π 1 t≥ 9 2 又 0 ≤ t ≤ 24
当 k = 0 时,

2π t + 10 ≥ 11.5 9 π 2π 5π 3 15 2 kπ + ≤ t≤ + 2 kπ 解得: 9k + ≤ t ≤ + 9k k ∈ Z 6 9 6 4 4

3 3 3 3 3 3 ≤ t ≤ 3 ;当 k = 1 时, 9 ≤ t ≤ 12 ;当 k = 2 时, 18 ≤ t ≤ 21 4 4 4 4 4 4

故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3 : 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18 : 45 ? 21: 45) 20.解: (1) f ( x ) = a b = ( 3 sin x, m + cos x ) (cos x, ? m + cos x ) 即 f ( x) = (2) f ( x ) =

v v

3 sin x cos x + cos 2 x ? m 2

3 sin 2 x 1 + cos 2 x + ? m2 2 2

π 1 = sin(2 x + ) + ? m 2 6 2
由 x ∈ ??

π ? π 5π ? π ? 1 ? ? π π? , ? , ∴ 2 x + ∈ ? ? , ? , ∴ sin(2 x + ) ∈ ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 3?

1 1 ∴? + ? m 2 = ?4 , ∴ m = ±2 2 2 1 1 π π π ∴ f ( x)max = 1 + ? 2 = ? , 此时 2 x + = , x = . 2 2 6 2 6


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