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2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破19 概率、随机变量及其分布列


必考问题 19

概率、随机变量及其分布列

(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排 一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客 数(人) 结算时间 (分钟/人)
[来源:Z|xx|k.Com]

1至4件

5至8

件 30

9 至 12 件 25

13 至 16 件

17 件及以上 10

x

y

1

1.5

2

2.5

3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;

(2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾 客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.(注:将频率视为概率) 答案:解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20.该超市所有顾 客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体 的一个容量为 100 的简单随机样本,将频率视为概率得

P(X=1)=

15 3 30 3 25 1 20 1 = ,P(X=1.5)= = ,P(X=2)= = ,P(X=2.5)= = ,P(X 100 20 100 10 100 4 100 5

10 1 =3)= = . 100 10 X 的分布列为

X P
X 的数学期望为

1 3 20

1.5 3 10

2 1 4

2.5 1 5
[来源:Zxxk.Com]

3 1 10

E(X)=1× +1.5× +2× +2.5× +3× =1.9.
(2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”,Xi(i=1,2)为该顾客前面 第 i 位顾客的结算时间,则

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

P(A)=P(X1=1 且 X2=1)+P(X1=1 且 X2=1.5)+P(X1=1.5 且 X2=1).
由于各顾客的结算相互独立,且 X1,X2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P(A)=P(X1=1)×P(X2 =1)+ P(X1=1)×P(X2=1.5)+ P(X1=1.5)×P(X2=1)=

3 3 × + 20 20

3 3 3 3 9 × + × = . 20 10 10 20 80 9 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 . 80

结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型, 主要以解答题的方式考查离散型随 机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用.

本部分复习要从整体上,知识的相关关系上进行.离散型随机变量问题的核心是概率计 算,而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心,在解题中要充分分析事件之间 的关系.

必备知识 ?互斥事件有一个发生的概率 若 A、B 是互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)+P(A )=1. ?相互独立事件与 n 次独立重复试验 (1)若 A1,A2,?,An 是相互独立事件,则 P(A1·A2·?·An)=P(A1)·P(A2)·?·P(An). (2)如果在一次试验中事件 A 发生的概率为 p,事件 A 不发生的概率为 1-p,那么在 n 次 独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率为:

Pn(k)=Ckpk(1-p)n-k. n
?离散型随机变量的分布列、期望与方差 (1)主干知识:随机变量的可能取值,分布列,期望,方差,二项分布,超几何分布,正 态分布. (2)基本公式:①E(ξ )=x1p1+x2p2+?+xnpn+?; ②D(ξ )=(x1-E(ξ )) p1+(x2-E(ξ )) p2+?+(xn-E(ξ )) pn+?; ③E(aξ +b)=aE(ξ )+b,D(aξ +b)=a D(ξ ); ④二项分布:ξ ~B(n,p),则 P(ξ =k)=Cnp (1-p) ?正态分布 (1)若 X 服从参数为 μ 和 σ 的正态分布,则可表示为 X~N(μ ,σ ). (2)N(μ ,σ )的分布密度曲线关于直线 x=μ 对称,该曲线与 x 轴所围成的图形 的面积 为 1. (3)当 X~N(μ ,σ )时,0 .683=P(μ -σ <X≤μ +σ ),0.954=P(μ -2σ <X≤μ + 2σ ),0.997=P(μ -3σ <X≤μ +3σ ).
2 2 2 2 2 2 2 2

k k

n-k

,E(ξ )=np,D(ξ )=np(1-p).

以上三个概率值具有重要的应用,要熟记,不可混用. 必备方法 1.在解含有相互独立事件的概率题时,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的 和,其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积,这两个事情做好了,问题 的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了,如果某些相互独立事件 符合独立重复试验概型,就把这部分归结为用独立重复试验概型,用独立重复试验概型的概 率计算公式解答. 2.相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来 的,我们在解题时就 要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型,这就要根据问题的具 体情况去分析,对照常见的概率模型,把不影响问题本质的因素去除,抓住问题的本质. 3.求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:先根据随机变量的意义,确定随机 变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列, 根据数学期望和方差的公式计算.

互斥事件与相互独立事件的概率 互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的分布列、期望、方差往往起工具性作用, 试题多来源于生活,考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力. 【例 1】? (2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间 互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间/分 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. [审题视点] 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

[听课记录] [审题视点] (1)第三个顾客恰好等待 4 分钟的情况有三种可能:第一个顾客需 1 分钟, 第二个顾客需 3 分钟; 第一个顾客需 3 分钟, 第二个顾客需 1 分钟; 两个顾客都需要 2 分钟. (2) ①找出第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 X 的所有可能取值,其取值分别为 0,1,2;②求出 分布列,得出期望,本问最难的是分布列的求解. 解 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1 +0.4×0.4=0.22. (2)法一 X 所有可能的取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P(X=0)= P(Y>2)=0.5;

X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超
过 1 分钟, 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y =2)=0.1×0.9+0.4=0.49;

X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,
所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为

X P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
法二 X 的所有可能取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5;

X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,
所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;

P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49;
所以 X 的分布列为

X P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51 .
在概率的计算中,一般是根据随机事件的含义,把随机事件分成几个互斥事件 的和,每个小的事件再分为几个相互独立事件的乘积,然后根据相应的概率公式进行计算. 【突破训练 1】 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利, 比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独 立.已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局. (1)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率. 解 记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜,i=3,4,5,

Bj 表示事件:第 j 局乙获胜,j=3,4.
(1)记 A 表示事件:再赛 2 局结束比赛.

A=A3·A4+B3·B4.
由于各局比赛结果相互独立,故

P(A)=P(A3·A4+B3·B4)=P(A3·A4)+P(B3·B4)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52. (2)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利. 因前 2 局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲 先胜 2 局,从而 B=A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5, 由于各局比赛结果相互独立,故
[来源:Z&xx&k.Com]

P(B)=P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648. 独立重复试验与二项分布 以实际生活或生产为背景来考查二项分布是高考的“永久”热点,难点是透过问题的实 际背景发现 n 次独立重复试验模型及二项分布,准确把握独立重复试验的特点是解答二项分 布问题的关键. 【例 2】? (2012·天津)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供 参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个 游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|.求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E(ξ ). [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)利用二项分布的概率公式求解;(2)利用二项分布和互斥事件的概率公式 求解;(3)建立概率分布表,利用期望的定义式求解数学期望. 解 1 2 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .设 3 3

i?1?i?2?4-i “这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则 P(Ai)=C4? ? ? ? . ?3? ?3?

(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率

P(A2)=C2? ?2·? ?2= . 4 3 3
(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B=A3 ∪A4.由于 A3 与 A4 互斥,故

?1? ? ?

?2? ? ?

8 27

P(B)=P(A3)+P(A4)=C3? ?3? ?+C4? ?4= . 4 4 ?3? ?3? ?3? 9
1 所以,这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9 (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 P(ξ =0)=P(A2)= 8 , 27

?1? ?2?

?1?

1

P(ξ =2)=P(A1)+P(A3)= ,P(ξ =4)=P(A0)+P(A4)= .
所以 ξ 的分布列是 ξ 0 8 27 2 40 81 4 17 81

40 81

17 81

P

8 40 17 148 ∴ξ 的期望 E(ξ )=0× +2× +4× = . 27 81 81 81 (1)判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点:①是否为 n 次独立重复 试验;②随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数. (2)在 n 次独立重复试验中, 恰好发生 k 次的概率 P(X=k)=Cnp (1-p)
k k n-k

, =0,1,2, k ?,

n.
【突破训练 2】 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大 1 学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得 2 两个“支持”,则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持”给予 5 万元的资助;若未 能获得“支持”,则不予资助,求: (1)该公司的资助总额为零的概率; (2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率. 解

?1?6 1 (1)设 A 表示“资助总额为零”这个事件,则 P(A)=? ? = . ?2? 64

?1?6 ?1?6 ?1?6 11 (2)设 B 表示“资助总额超过 15 万元”这个事件, P(B)=15×? ? +6×? ? +? ? = . 则 2? ? ?2? ?2? 32

离散型随机变量的分布列、期望 与方差 以考生比较熟悉的实际应用问题为背景,综合排列组合、概率公式、互斥事件、独立事 件及独立重复事件等基础知识,考查对随机变量的识别及概率计算的能力. 【例 3】? (2012·新课标全国)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求 量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学 期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明 理由. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)根据日需求量分类求出函数解析式;(2)(ⅰ)根据当天的需求量,写出相 应的利润,列出分布列,求出数学期望和方差.(ⅱ)比较两种情况的方差或数学期望即可. 解 (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80.当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80.

所以 y 关于 n 的函数解析式为

y=?

?10n-80,n<16, ? ? ?80,n≥16

(n∈N).

(2)(ⅰ)X 可能的取值为 60,70,80, 并且 P(X=60)=0.1, (X=70)=0.2, (X=80)=0.7. P P

X 的分布列为 X P X 的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
(ⅱ)答案一: 60 0.1 70 0.2 80 0.7

花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为

Y P Y 的数学期望为

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54
=112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即 购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小.另 外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为

Y P Y 的数学期望为

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的 具体事件,然后综合应用各类求概率公式求概率. (2)求随机变量期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分 布,则可直接使用公式法求解. 【突破训练 3】 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保 险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望. 解 记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险;

B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买.
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

(2)D= C ,P(D)=1 -P(C)=1-0.8=0.2,

X~B(100,0.2),即 X 服从二项分布,
所以期望 E(X)=100×0.2=20.
[来源:Zxxk.Com]

二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合” 一般地,由 n 次试验构成,且每次试验相互独立完成,每次试验的结果仅有两种对立的 状态,即 A 与 A ,每次试验中 P(A)=p>0.我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验,也称 为伯努利试验. n 次独立重复试验中, 在 每次试验事件 A 发生的概率均为 p(0<p<1), P(A) 即 =p,P( A )=1-p=q.由于试验的独立性,n 次试验中,事件 A 在某指定的 k 次发生,而在 其余 n-k 次不发生的概率为 p q
k n-k

.而在 n 次试验中, 事件 A 恰好发生 k(0≤k≤n)次的概率为

Pn(k)=Ckpkqn-k,k=0,1,2,?,n.它恰好是(q+p)n 的二项展开式中的第 k+1 项. n
【示例】? (2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B, 1 系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ ,求 ξ 的概率分 布列及数学期望 E(ξ ). [满分解答] (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C, 那么 1-P( C )=1- 49 1 = ,解得 p= .(4 分) 50 5 1 0? 1 ?3 (2)由题意,P(ξ =0)=C3? ? = , 10? 1 000 ? 1 ·p 10

P(ξ =1)=C1? ?2·?1- ?= 3 10 10 P(ξ =2)=C2 ·?1- ?2= 3 10
1 10

?1? ? ?

? ?

1?

27

? 1 000



? ?

1?

?

243 , 1 000

P(ξ =3)=C3?1- ?3= 3 10

? ?

1?

?

729 .(8 分) 1 000

所以,随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ 0 1 2 3

P

1 1 000

27 1 000

243 1 000

729 1 000

故随机变量 ξ 的数学期望:

E(ξ )=0×
(12 分)

1 27 243 729 27 +1× +2× +3× = . 1 000 1 000 1 000 1 000 10

老师叮咛: 对于? 1?

, 依据题意及相互对立的两个事件的概率间的关系列出相关的方程, 2? ,根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列,进

通过解方程得出结论;对于?

而利用期望的定义公式通过计算得出期望值. 【试一试】 某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确 得 100 分,回答不正确得-100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答 正确与否相互之间没有影响. (1)求这名同学回答这三个问题的总得分 ξ 的概率分布和数学期望. (2)求这名同学总得分不为负分(即 ξ ≥0)的概率. 解 (1)ξ 的可能取值为-300,-100,100,300.

P(ξ =-300)=0.23=0.008, P(ξ =-100)=3×0.22×0.8=0.096, P(ξ =100)=3×0.2×0.82=0.384, P(ξ =300)=0.83=0.512.
所以 ξ 的概率分布为 ξ -300 0.008 -100 0.096 100 0.384 300 0.512

P

根据 ξ 的概率分布,可得 ξ 的期望

Eξ =(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180.
(2)这名同学总得分不为负分的概率为

P(ξ ≥0)=0.384+0.512=0.896.


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