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导数测试题A4


导数测试题

1. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

9x ( x ? 0 ) , (Ⅰ)试确定 f ( x ) 的单调区 x ? x ?1
2

间 , 并证明你的结论 ;(Ⅱ)若 0 ? x ? 1 时 , 不等式 f ( x) ? m(m ? 2) 恒成立 , 求实数

/>m 的取值范围 .
【答案】(Ⅱ) m ? 3或m ? ?1 【解析】 (Ⅰ) 当 x ? 0 时 , f ?( x) ?

9(1 ? x2 ) , ( x 2 ? x ? 1)2

令 f ?( x) ?

9(1 ? x 2 ) 9(1 ? x 2 ) ? 0 ? x ? 1 可得 ; 令 ? 0 f ( x ) ? ? 0 可得 x ? 1 . ( x 2 ? x ? 1)2 ( x 2 ? x ? 1)2
9x ( x ? 0 ) 在区间 (0,1]上是增函数 ; 在区间 [1, ?? ) 上是减函 x ? x ?1
2

∴ 函数 f ( x) ?
数 .

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得,函数函数 f ( x) ?

9x ( x ? 0 )在区间 (0,1] 上是增函数 , x ? x ?1 9x 9 ? ?3 . ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? x ?1 3
2

∵不等式 f ( x) ? m(m ? 2) 恒成立

,

∴ 3 ? m(m ? 2)

, 解之得 m ? 3或m ? ?1

2.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,求 f ( x ) 的单调区间。

【答案】略 【解析】略 3.已知函数 f ( x) ? e
kx

? 2 x ( k 为非零常数).

(Ⅰ)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 f ( x)

? 1 恒成立,求 k 的值;

(Ⅲ)对于 f ( x) 增区间内的三个实数 x1 , x2 , x3 (其中 x1 ? x2 ? x3 ), 证明:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) . ? x2 ? x1 x3 ? x 2

kx 【答案】 (Ⅰ) 2 ? 2 ln 2 (Ⅱ) k ? 2 (Ⅲ)由已知得: , f ? ? x2 ? ? ke 2 ? 2 ? 0?k ? 0

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x2 ? x1 ? 0,

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? kekx2 ? 2 ? x2 ? x1

? ekx 2 ? ekx1 ? k ? x2 ? x1 ? ekx2 ? 1 ? ek ? x1?x 2 ? ? k ? x2 ? x1 ?

? ek ? x1 ? x2 ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 0 . 设 h ? x ? ? ex ? x ?1, x ? k ? x1 ? x2 ? ? 0

h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 , ? h ? x ? 在 ? ??,0? 内 是 减 函 数 , ?h ? x ? ? h ? 0? ? 0 , 即
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? x2 ? x1
同 理

f ? ? x2 ? ?

f ? x3 ? ? f ? x2 ? x3 ? x2





f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1 x3 ? x 2
【解析】 试题分析: (Ⅰ)由 f ? x ? ? e ? 2x ,得 f ? ? x ? ? e ? 2 ,
x x

1分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 , f ? ? x ? ? 0 知 f ? x ? 在 ? ??,ln 2? 单调递减; 当 x ? ln 2 , f ? ? x ? ? 0 知 f ? x ? 在 ? ln 2, ??? 单调递增; 故 f ? x ? 的最小值为 f ? ln 2? ? 2 ? 2ln 2 . 4分

kx (Ⅱ) f ? ? x ? ? ke ? 2 ,当 k ? 0 时, f ? ? x ? 恒小于零, f ? x ? 单调递减.

当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 1 ,不符合题意. 对于 k ? 0 ,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 当x?

5分

1 2 ln k k

1 2 1 2? ? ln 时, f ? ? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 在 ? ??, ln ? 单调递减; k k k k? ? 1 2 ?1 2 ? ln 时, f ? ? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 在 ? ln , ?? ? 单调递增; k k ?k k ?

当x?

于是 f ? x ? 的最小值为 f ? 只需

?1 2? 2 2 2 ln ? ? ? ln . ?k k? k k k

7分

2 2 2 ? ln ? 1 成立即可,构造函数 g ? x ? ? x ? x ln x ? x ? 0? . k k k

∵ g? ? x ? ? ? ln x ,∴ g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 则 g ? x ? ? g ?1? ? 1 ,仅当 x ? 1 时取得最大值,故 (Ⅲ)由已知得: , f ? ? x2 ? ? ke
kx2

2 ? 1? k ? 2 k

9分

? 2 ? 0 ?k ? 0

试卷第 2 页,总 22 页

x2 ? x1 ? 0,

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? kekx2 ? 2 ? x2 ? x1

? ekx 2 ? ekx1 ? k ? x2 ? x1 ? ekx2 ? 1 ? ek ? x1?x 2 ? ? k ? x2 ? x1 ?

? ek ? x1 ? x2 ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 0 . 设 h ? x ? ? ex ? x ?1, x ? k ? x1 ? x2 ? ? 0

h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 , ? h ? x ? 在 ? ??,0? 内 是 减 函 数 , ?h ? x ? ? h ? 0? ? 0 , 即
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? x2 ? x1
同 理

f ? ? x2 ? ?

f ? x3 ? ? f ? x2 ? x3 ? x2





f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1 x3 ? x 2
考点:函数单调性最值 点评:求函数最值要结合函数的单调区间确定最值点位置,第二问中不等式恒成立求参 数范围常采用分离参数法转化为求函数最值问题, 第三问将证明不等式转化为求函数最 值 4.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x2 (ax ? 3) ,其中 a 为常数. (1)当 x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 在区间 (?1, 0) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? 0 时,若 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x), x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) a ? 2 ; (2) a ? ?2 ; (3) 0 ? a ? 【解析】
3 2 2 试题分析:(1) 本小题首先由 f ?x? ? ax ? 3x 可得 f ??x ? ? 3ax ? 6 x ? 3x?ax ? 2?,

6 . 5

因为 x ? 1 是是函数 y ? f ( x) 的一个极值点,所以 f ??1? ? 0 ? a ? 2 ; (2) 本小题首先利用导数的公式和法则求得 f ??x ? ? 3ax ? 6 x ? 3x?ax ? 2?, 根据函数
2

y ? f ( x) 在区间 (?1, 0) 上是增函数,讨论参数 a 的不同取值对单调性的影响;
( 3 ) 本 小 题 首 先 求 得 g ?x? ? ax ? ?3a ? 3?x ? 6 x, x ? ?0,2? , 然 后 求 得 导 数
3 2

然后讨论单调性, 求最值即可. g ??x? ? 3ax2 ? 2?3a ? 3?x ? 6 ? 3 ax2 ? 2?a ? 1?x ? 2 , 试题解析: (1)由 f ?x? ? ax ? 3x 可得 f ??x ? ? 3ax ? 6 x ? 3x?ax ? 2?
3 2 2

?

?

因为 x ? 1 是是函数 y ? f ( x) 的一个极值点,

试卷第 3 页,总 22 页

所以 f ??1? ? 0 ? a ? 2 (2)①当 a ? 0 时, f ?x ? ? ?3x 2 在区间 (?1,0) 上是增函数, 所以 a ? 0 符合题意 ②当 a ? 0 时, f ??x ? ? 3x? x ?

? ?

2 2? ? ,令 f ?? x ? ? 0 ? x1 ? 0, x 2 ? a a?

当 a ? 0 时,对任意的 x ? ?? 1,0? , f ??x ? ? 0 ,所以 a ? 0 符合题意 当 a ? 0 时, x ? ?

2 ?2 ? ,0 ? 时, f ??x? ? 0 ,所以 ? ?1 ,即 ? 2 ? a ? 0 符合题意 a ?a ?

综上所述,实数 a 的取值范围为 a ? ?2 (3)当 a ? 0 时, g ?x? ? ax3 ? ?3a ? 3?x 2 ? 6 x, x ? ?0,2? 所以 g ??x? ? 3ax2 ? 2?3a ? 3?x ? 6 ? 3 ax2 ? 2?a ? 1?x ? 2 令 g ??x ? ? 0 ,即 ax2 ? 2?a ? 1?x ? 2 ? 0 显然 ? ? 4a 2 ? 4 ? 0 设方程 ??? 的两个实根分别为 x1 , x 2 ,则 x1 ? x 2 ? ? 不妨设 x1 ? 0 ? x2 当 0 ? x2 ? 2 时, g ?x2 ? 为极小值 所以 g ?x ? 在 ?0,2? 上的最大值只能是 g ?0? 或 g ?2? 当 x2 ? 2 时,由于 g ?x ? 在 ?0,2? 上是递减函数,所以最大值为 g ?0? 所以 g ?x ? 在 ?0,2? 上的最大值只能是 g ?0? 或 g ?2? 由已知 g ?x ? 在 x ? 0 处取得最大值,所以 g ?0? ? g ?2? 即 0 ? 20 a ? 24 ,解得 a ?

?

?

???

2 ?0 a

6 5 6 5

又因为 a ? 0 ,所以实数 a 的取值范围为 0 ? a ?

考点:1.导数公式与法则;2.函数的单调性;3.等价转化. 5.已知 m ? R ,函数 f ( x) ? mx ? (1)求 g ( x) 的极值; (2)若 y ? f ( x) ? g ( x) 在 [1, ??) 上为单调递增函数,求 m 的取值范围;

m ?1 1 ? ln x, g ( x) ? ? ln x . x x

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(3)设 h( x ) ?

2e ,若在 ?1, e? ( e 是自然对数的底数)上至少存在一个 x0 ,使得 x

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的取值范围。
【答案】 (1) g ( x)极小值 ? g (1) ? 1, 无极大值(2) [1, ??) (3) ( 【解析】 试题分析: (1)由题意, x ? 0 , g ?( x) ? ?
1 1 x ?1 ? ? 2 , x2 x x
4e , ??) e ?1
2

∴当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 所以, g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数, 故 值. (2)∵f ( x) ? g ( x) ? mx ?

g ( x)极小值 ? g (1) ? 1,

无 ?4 分





mx2 ? 2 x ? m m [ f ( x) ? g ( x)]? ? , ? 2ln x ,∴ x2 x

由于 f ( x) ? g ( x) 在 [1, ??) 内为单调增函数,所以 mx 2 ? 2 x ? m ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, 即 m?
2x 2x 在 [1, ??) 上 恒 成 立 , 故 m ? ( )max ? 1 , 所 以 m 的 取 值 范 围 是 1 ? x2 1 ? x2 [1, ??) .???????9 分

(3)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ? 当 m ? 0 时, 由 x ? ?1, e? 得,mx ? 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) . 当 m ? 0 时, F ?( x) ? m ?

m 2e ? 2ln x ? , x x

m ? 0 ,?2ln x ? 2e ? 0 , 所以在 ?1, e? 上不存在一个 x 0 , x x

m 2 2e mx2 ? 2x ? m ? 2e ? ? ? , x2 x x2 x2

2 因为 x ? ?1, e? ,所以 2e ? 2x ? 0 , mx ? m ? 0 ,

所以 F ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, 故 F ( x) 在 ?1, e? 上单调递增, F ( x)max ? F (e) ? me ?

m ?4, e
m ? 4 ? 0, e

所以要在 ?1, e? 上存在一个 x 0 ,使得 F ( x) ? 0 ,必须且只需 me ? 解
(



m?

4e e ?1
2





m













4e , ??) . e2 ? 1

?14 分

另法:(Ⅲ)当 x ? 1 时, f (1) ? g (1) ? h(1) . 当 x ? (1, e] 时,由 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,得 m ?
2e ? 2 x ln x , x2 ? 1

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令 G ( x) ?

(?2 x 2 ? 2) ln x ? (2 x 2 ? 4ex ? 2) 2e ? 2 x ln x ? G ( x ) ? ?0, ,则 ( x 2 ? 1) 2 x2 ? 1

所以 G ( x) 在 (1, e] 上递减, G( x)min ? G(e) ?

4e . e ?1
2

综上,要在 ?1, e? 上存在一个 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) ,必须且只需 m ?

4e . e ?1
2

考点:本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,利用导数判断函数的单调性,解决 有关方程的综合问题. 点评:纵观历年高考试题,利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式,是高考 热点,是解答题中的必考题目,在复习中必须加强研究,进行专题训练,熟练掌握利用 导数判断函数单调区间的方法,总结函数单调性应用的题型、解法,并通过加大训练强 度提高解题能力. 6.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ax ? ln x .
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ?x ? 的单调区间和极大值点; (Ⅱ) 已知 a ? 0 , 若函数 y ? f ?x ?的图象总在直线 y ? ?

1 的下方, 求 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)记 f ? ? x ? 为函数 f ?x ? 的导函数.若 a ? 1 ,试问:在区间 ?1,10? 上是否存在 k ( k

? 100 ) 个正数 x1 , x 2 , x3 ? x k , 使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? ? x3 ? ?
立?请证明你的结论. 【答案】 (Ⅰ)单调增区间为 ? 0,

? f ? ? xk ? ? 2012 成

? ? ?

? 2 ? 2? ? ,极大值点 x ? 2 ? ,单调减区间为 ? , ?? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?

(Ⅱ) ? ? ?,?

? ?

1? ?. 2?

(Ⅲ)在区间 ?1,10? 上不存在使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? ? x3 ? ? 的 k ( k ? 100 )个正数 x1 , x 2 , x3 ? x k .

? f ? ? xk ? ? 2012 成立

【解析】 ( 1 ) 当 a ? ?1 时,求 出 f ? x ? ? ? x ? ln x 的导函数,令 f
2

/

?x? ? 0 ,列表

研究其单调性和极值; (2)只要求出 y ? f ?x ?的最大值小于 ?

1 即可,求出函数 y ? f ?x ? 的导数,研究单调 2

性可得到 y ? f ?x ? 的最大值就是其极大值,解不等式得 a 的取值范围;

1 1 , 要研究 f ? ? x ? ? 2 x ? 的单调性, x x 1 / / 记 g ?x? ? f ?x? ,其中 x ? ?1,10? . g ? ? x ? ? 2 ? 2 ? 0 ,即 y ? f ?x ? 在 ?1,10? 上为增函 x
2 (3)a ? 1 时, f ? x ? ? x ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ?

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1 201 201 / ? ,所以,对任意的 x ? ?1,10? ,总有 f ? x ? ? , 10 10 10 201 / / / / / k ? 2010 。故不存在 k 。 . f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ... ? f ? xk ? ? k ? f ?10 ? ? 10
数.又 f
/

?10 ? ? 2 ? 10 ?

解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ? x ? ln x , f
2

/

?x ? ? ?2 x ? 1 ? ? 2 x
x

2

?1

x

,x ? 0

令f

/

?x? ? 0 得到 x ? ?

2 ,列表如下: 2

x
f ?? x ? f ?x ?

? 2? ? 0, ? ? 2 ? ? ?

2 2


? 2 ? ? ? ? 2 ,?? ? ? ?





? ? 极大值 f ? 2 ? ? 2 ? ? ?

所以 f ?x ? 的单调增区间为 ? 0,

? ? ?

? 2 ? 2? ? ,单调减区间为 ? ,?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

极大值点 x ?

2 2
2

1 ? ? 2a ? x 2 ? ? 2a ? , x (Ⅱ) f ? ? x ? ? 2ax ? 1 ? 2ax ? 1 ? ? x x x

? 0,a ? 0.

令f

/

?x? ? 0 ,则 x ?

?
/

1 . 2a
? ? 时, 1 ,?? ? ? 2a ?

1 ? 时, f 当 x?? ? 0, ? ? ? ? 2a ?

?x? ? 0 ;当 x ? ? ? ?
?

f

/

?x ? ? 0 .

故x? ?

1 为函数 f ?x ? 的唯一极大值点, 2a
? ? ? 1 ? 1 ? ? = ? 1 ? 1 ln? ? ? ?. 2a ? 2 2 2 a ? ? ?

所以 f ?x ? 的最大值为 f ? ?

由题意有 ?

1 1 1 ? 1 ? 1 ? ln? ? ? ? ? ,解得 a ? ? . 2 2 2 ? 2a ? 2

所以 a 的取值范围为 ? ? ?,? (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 2 x ?

? ?

1? ?. 2?
记 g ?x ? ? f
/

1 . x

?x? ,其中 x ? ?1,10? .

试卷第 7 页,总 22 页

1 ? 0 ,∴ y ? g ?x ? 在 ?1,10? 上为增函数, x2 1 201 / ? 即 y ? f / ?x ? 在 ?1,10? 上为增函数.又 f ?10 ? ? 2 ? 10 ? , 10 10 201 / 所以,对任意的 x ? ?1,10? ,总有 f ? x ? ? . 10 201 / / / / / k, 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ... ? f ? xk ? ? k ? f ?10 ? ? 10 201 k ? 2010 . 又因为 k ? 100 ,所以 10
∵当 x ? ?1,10? 时, g ? ? x ? ? 2 ? 故在区间 ?1,10? 上不存在使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? ? x3 ? ? ( k ? 100 )个正数 x1 , x 2 , x3 ? x k . 7. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

? f ? ? xk ? ? 2012 成立的 k

1 2 x ? (a ? 3) x ? ln x. 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的最小值;
2 (Ⅱ)方程 f ( x) ? ( ? a ) x ? (a ? 2) x ? 2 ln x 有两个不同的实数解,求实数 a 的取值

1 2

范围; (Ⅲ)在函数 f ( x) 的图象上是否存在不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 线段 AB 的中点的 横坐标为 x0 , 有 f ' ( x0 ) ?

y1 ? y2 成立?若存在, 请求出 x0 的值; 若不存在, 说明理由. x1 ? x2

【答案】 (Ⅰ) a ? 1. ; (Ⅱ) 0 ? a ? 1 ; (Ⅲ)见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)若函数 f ( x) 是定义域上的单调函数,则 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0 ,本
/ /

题 中 f ( x) ? x ? a ? 3 ?
/

1 ( x ? 0 )若 . 函 数 f ( x) 在 (0, ??) 上 递 增 , 则 f / ( x ) ? 0 对 x
1 x

x ? 0 恒 成 立 , 即 a ? ?( x ? ) ? 3 对 x ? 0 恒 成 立 , 而 当 x ? 0 时 ,

1 ?( x ? ) ? 3 ? ? 2 ? 3 ?? 1? . 1. 若 函 数 f ( x) 在 (0, ??) 上 递 减 , 则 f / ( x ) ? 0对 a x
x ? 0 恒成立, 即 a ? ?( x ? ) ? 3 对 x ? 0 恒成立, 这是不可能的. 综上,a ? 1.

1 x

a的

最小值为 1; (Ⅱ) 函数有两个零点, 可转化为两个函数有 2 个交点, 本题中由 f ( x) ? 0

f ( x) ? (a ? ) x 2 ? (a ? 得 2) x ? ln x ? ax 2 ? x ? a ? 可

1 2

ln x ? x x2



试卷第 8 页,总 22 页

?1 ? 2 ? ? 1? x ? 2 x ? ln x ? x ? 1 ? x ? 2 ln x ln x ? x r ? x? ? ? r ' x ? ? ,得 1 ? x ? 2 ln x ? ? ?x ? 2 x x4 x3
=0 的根为 1,所以 当 0 ? x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调递增,当 x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调 递减,所以 r ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 r ?1? ? 1,又 x ? 0 时,r ( x) ? 0 ,又 x ? ?? 时, 所以要使 y ? r ( x) ? 0 ,

ln x ? x 与 y ? a 有两个不同的交点, 则有 0 ? a ? 1 ; (Ⅲ) x2
2t ? 2 即可推出矛盾 t ?1

假设存在,构造函数 u(t ) ? ln t ?
/

试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? x ? a ? 3 ?

1 ( x ? 0). x
1 )? 3对 x

若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上递增,则 f / ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?( x ?

x ? 0 恒成立,而当 x ? 0 时, ?( x ? ) ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1. ? a ? 1.

1 x

若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上递减,则 f / ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?( x ?

1 )? 3对 x

x ? 0 恒成立,这是不可能的. 综上, a ? 1. a 的最小值为 1. 1 2 ln x ? x 2 (Ⅱ)解 1、由 f ( x) ? (a ? ) x ? (a ? 2) x ? ln x ? ax ? x ? a ? 2 x2

?1 ? 2 ? ? 1? x ? 2 x ? ln x ? x ? 1 ? x ? 2 ln x ln x ? x x ? ? r '? x? ? ? ? 令 r ? x? ? 2 x x4 x3
得 1 ? x ? 2 ln x =0 的根为 1,所以 当 0 ? x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调递增,当 x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调 递减, 所以 r ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 r ?1? ? 1,又 x ? 0 时, r ( x) ? 0 ,又 x ? ?? 时,

r ( x) ? 0 ,
所以要使 y ?

ln x ? x 与 y ? a 有两个不同的交点,则有 0 ? a ? 1 x2

(Ⅲ)假设存在,不妨设 0 ? x1 ? x2 .

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1 2 1 2 x ? (a ? 3) x1 ? ln x1 ? x2 ? (a ? 3) x2 ? ln x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 1 2 k? ? x1 ? x2 x1 ? x2

x1 x2 ? x0 ? (a ? 3) ? . x1 ? x2 ln

f / ( x0 ) ? x0 ? (a ? 3) ?
ln

1 . x0

x x x1 2 1 ?2 ln 1 x x x x 2 1 / 2 2 若 k ? f ( x0 ), 则 ,即 ln 1 ? 2 . (*) ? ? ,即 x1 x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0 ?1 x2

令t ?

x1 2t ? 2 , u(t ) ? ln t ? (0 ? t ?1) , x2 t ?1

则 u ?(t ) ?

(t ? 1)2 >0.∴ u (t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, ∴ u (t ) ? u (1) ? 0 , t (t ? 1)2
/

∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴ k ? f ( x0 ). 因此,满足条件的 x0 不存在. 考点:函数、导数、不等式的综合问题 8.设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln(x ? 1) ,其中 a ? 0 (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 x ? 0 时,证明不等式:

x ? ln( x ? 1) ? x ; 1? x ax ? 1 ( a ? 0) , x ?1

【答案】 解: (1 ) 由已知得函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,??) , 且 f ' ( x) ?

f ' ( x) ? 0 ,解得 x ?

1 a

当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f ( x)

1 ( ?1, ) a


1 a
0 极小值

1 ( ,?? ) a
+ ↗

由上表可知,当 x ? ( ?1, ) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ( ?1, ) 内单调递减, 当 x ? ( ,?? ) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ( ,?? ) 内单调递增,

1 a

1 a

1 a

1 a

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所以,函数 f ( x) 的单调减区间是 ( ?1, ) ,函数 f ( x) 的单调增区间是 ( ,?? ) (2)设 ? ( x) ? ln( x ? 1) ?

1 a

1 a

x , x ? [0, ?) 1? x

对 ? ( x) 求导,得: ? ' ( x) ?

1 1 x ? ? 2 x ? 1 (1 ? x) (1 ? x) 2

当 x ? 0 时, ? ' ( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0,??) 内是增函数。所以 ? ( x) 在 [0,??) 上是增 函数。 当 x ? 0 时, ? ( x) ? ? ( x) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? 同理可证 ln( x ? 1) ? x,? 【解析】略 9.已知函数 f ( x) ? x2 ? 4ln x , g ( x) ? ? x 2 ? 3x ; (1)求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) ? 2 g ( x) ? m ? 0 有唯一解,求 m 的取值范围; (3)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 与 g ( x) 在 (a, a ? 1) 上均为增函数,若存在求出 a 的 范围,若不存在请说明理由 【答案】 (1) y ? ?2 x ? 3 (2) m ? 5 或 m ? 8 ? 4 ln 2 (3)不存在实数 a

x x ? 0,? ? ln( x ? 1) 1? x 1? x

x ? ln( x ? 1) <x 1? x

【解析】本试题主要考查了导数的概念和导数的运算,以及导数的几何意义的运用,并 利用导数研究函数的单调性和函数的零点问题的综合运用试题。 (1)先求解导数,利用点斜式写出切线方程。
2 2 (2)原方程等价于 ? x ? 4ln x ? 6 x ? m ,令 h( x) ? ? x ? 4ln x ? 6 x

则函数 y ? h( x) 与 y ? m 在 x 轴右侧有唯一交点。转化为图像与图像的交点来处理。 (3)分别分析函数的单调区间,然后结合结论,判定都是单调增函数时的参数的取值 范围 解: (1) y ? ?2 x ? 3 ; ?????3 分

2 2 (2)原方程等价于 ? x ? 4ln x ? 6 x ? m ,令 h( x) ? ? x ? 4ln x ? 6 x

则函数 y ? h( x) 与 y ? m 在 x 轴右侧有唯一交点。

4 ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ( x ? 2)( x ? 1) ? h ( x) ? ?2 x ? ? 6 ? ? ?2 x x x
当 0 ? x ? 1 或 x ? 2 时 h?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 2 时 h?( x) ? 0

h( x) 在 (0,1),(2, ??) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增。
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x ? 1 时有极小值 5 , x ? 2 时有极大值 8 ? 4 ln 2
当 f ( x) ? 2 g ( x) ? m ? 0 有唯一解时 m ? 5 或 m ? 8 ? 4 ln 2 (3) f ?( x) ? 2 x ? 当x? ?????8 分

4 ( x ? 2)( x ? 2) ,x ?0 ?2 x x

2 时 f ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 2 时 f ?( x) ? 0

f ( x) 在 (0, 2) 上单调递减,在 ( 2, ??) 上单调递增。

3 3 g ( x) 在 ( , ??) 上单调递减,在 (??, ) 上单调递增。 2 2 3 f ( x) 与 g ( x) 在 ( 2, ) 上单调递增, 使得 f ( x) 与 g ( x) 在 (a, a ? 1) 上均为增函数则 2

? a? 2 ? 满足 ? 3 ,不等式组无解,故不存在实数 a ?a ? 1 ? ? 2
10 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

1 3 a?2 2 x ? x ? 2ax ? 3, 3 2

g (a ) ?

1 3 a ? 5a ? 7 , 6

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若函数 f ( x ) 在[ ? 2,0]上不单调,且 x ? [?2, 0] 时,不等式 f ( x) ? g (a) 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x ) 单调递增区间是: (??, ?1),(2, ??) (2)a 的取值范围是(1,2) 【解析】 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2 x ? 3 定义域为 R, f '( x) ? x2 ? x ? 2 3 2

? ( x ? 2)( x ? 1) ??????????????????????????2 分
令 f '( x) ? 0得x ? ?1或x ? 2 ????????????????????4 分 ∴ f ( x ) 单调递增区间是: (??, ?1),(2, ??) ??????????????5 分 (2)∵ f '( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? ( x ? a)( x ? 2)
2

令 f '( x) ? 0 得 x ? 2或x ? ?a ∵ f ( x ) 在区间 [?2, 0] 上不单调 ∴ ?a ? (?2,0) ? 0 ? a ? 2 ????????????????????6 分

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又∵在 (?2, ?a) 上, f '( x) ? 0 ,在 (?a, 0) 上 f '( x) ? 0 ∴ f ( x ) 在 [?2, 0] 上有唯一的极大值点 x ? ?a ∴ f ( x ) 在 [?2, 0] 上的最大值为 f (?a) ???????????????? 8 分∴当

x ?[?2, 0] 时,不等式 f ( x) ? g (a) 恒成立,等价于 f (?a) ? g (a)
3 ∴? a ?

1 3

a?2 2 ? a ? 2a 2 ? 3 ? g ( a ) 2

即 a 2 ? 5a ? 4 ? 0 ? 1 ? a ? 4 ???????????????????11 分 综上 a 的取值范围是(1,2) 11.已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1, x ? (0, ??) , g ( x) ? x3 ? ax . (1)求 f ( x ) 的最大值; (2) 若对 ?x1 ? (0, ??) , 总存在 x2 ?[1, 2] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 求 a 的取值范围; 12 分

1 2 n e ? ( )n ? . n n n e ?1 【答案】 (1)0; (2) a ? 4 ; (3)证明过程详见解析.
n n (3)证明不等式: ( ) ? ( ) ?

【解析】 试题分析:本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查思维能力、创新 意识,考查分类讨论思想、转化思想.第一问,是导数的应用,利用导数判断函数的单 调区间求函数最值;第二问,虽然是恒成立问题,但经过分析可以转化成求 f ( x)max 和

g ( x)max ,通过讨论确定每段区间上函数的单调性和最值;第三问,先通过观察凑出所
要证明的表达式的形式,再利用等比数列的前 n 项和公式求和,最后通过放缩法得到结 论. 试题解析: (1)∵ f ( x) ? ln x ? x ? 1 ( x ? 0 ) ∴ f ?( x ) ?
1 x ?1? 1? x x
' ' ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 , x ? 1 时 f ( x) ? 0

∴ f ( x) ? f (1) ? 0

∴ f ( x ) 的最大值为 0

(2) ?x1 ? (0,? ?) , ?x2 ? [1,2] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,等价于 f ( x)max ? g ( x)max 由(1)知 f ( x) max ? 0 ,当 a ? 0 时, g ( x) ? x ? ax 在 x ? [1, 2) 时恒为正,满足题意.
3

当 a ? 0 时, g?( x ) ? 3 x 2 ? a ,令 g?( x ) ? 0 解得 x ? ? ∴ g ( x) 在 (??, ?

a 3

a a a a ) 及 ( , ??) 上单调递增,在 (? , ) 上单调递减, 3 3 3 3

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a , ∴ 8 ? 2a ? 0 ∴ a ? 4 ∴ ? 1 即 0 ? a ? 3 时 , g ( x)m a x? g ( 2 ) ? 8 ? a 2 3

0 ? a ? 3,
若1 ?

a a a ? 2 即 3 ? a ? 12 时, g ( x) 在 [1, ] , [ , 2] , 3 3 3

而 g (1) ? 1 ? a ? 0 , g (2) ? 8 ? 2a 在 ( 3,4] 为正,在 (4,12) 为负, ∴3 ? a ? 4, 当

a ? 2 而 a ? 12 时 g (1) ? 0, g (2) ? 0 不合题意, 3
a ? 4.
(x ? 0)

综上 a 的取值范围为

(3)由(1)知 f ( x) ? 0 即 ln x ? x ? 1 取x?

k n

∴ ln

k k k?n ? ?1? n n n

∴ n ln

k k ? k ? n 即 ( )n ? ek ?n n n

n n ( ) k ? e1? n ? e 2? n ? ? ? ? ? e n ? n ∴( ) ? ( ) ? ??? ?

1 n

2 n

n n

e1? n ? e n ? n ? e e1? n ? e e ? e1? n e . ? ? ? 1? e 1? e e ?1 e ?1 考点:1.利用导数求最值;2.恒成立问题;3.等比数列的前 n 项和公式;4.放缩法. ?

12. (本小题 14 分) 已知函 数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; ( Ⅲ ) 设 g ( x) ? x ? 2 x ? 2 , 若 对 任 意 x1 ? (0, ??) , 均 存 在 x2 ??0,1? , 使 得
2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围。

f ?(


? x) 1 x


?







(



)







2 分) 2,????????????????????( x? ( 0 )

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 .?????????????(4 分)
1 ax ? 1 ? ( x ? 0) .????????????????????(5 分) x x ①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) .???????????????(6 分)

(Ⅱ) f '( x) ? a ?

1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a
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1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) .???(8 分) a a

(Ⅲ)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max .??????????????????? (9 分) (10 分) g ( x)max ? 2 ????????????????????????????? 由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例: 存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 , 故不符合题意.)???????? (11 分)
1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a

故 f ( x ) 的极大值即为最大值,f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(? a) , ???? (13 分) ?a

1 . ??????????????????????????? (14 分) e3

【解析】略 13. (本小题满分 14 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 2 ax ? ln x . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a ,使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等的实数根?若存在,求出 a 的 取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】 (Ⅰ) 0; (Ⅱ) ?函数f ( x)在(0, (Ⅲ) (0,e ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,函数 f ( x ) ?
3

a a )内单调递减;在( , ? ?)内单调递增 ; a a

1 2 x ? ln x .对函数 f ( x) 求导,并求出 f '(1) 2

即为曲线 y ? f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率.

1 ax 2 ? 1 ,x ? 0 ,对 a 进行讨论,即可得到导函数 f '( x) 的 (Ⅱ)由 f ?( x) ? ax ? ? x x
值的正负.由此得到函数 f ( x ) 的单调性.

? ?) 上单调递减,方程 (Ⅲ)由(Ⅱ)可得,当当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,

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f ( x) ? 2 不可能有两个不等的实数根;所以当 a ? 0 时,根据函数的单调性,原题意等
价于等价于函数 f ( x) 的极小值 f (

a ) ? 2 .由此可解得结论. a
1 ,x ? 0 x
? k ? f ?(1) ? 0
3分

试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ?( x) ? x ?

所以曲线 y= f (x)在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率为 0. (2) f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? 1 ? ,x ? 0 x x

4分

当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, ? ?) 上单调递减; 当 a ? 0时,令f ?( x) ? 0, 解得x ?

6分

a . a

a a 当x ? (0, )时,f ?( x) ? 0;当x ? ( , ? ?)时,f ?( x) ? 0 . a a a a ?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在( , ? ?)内单调递增 a a
(3)存在 a ? (0,e ) ,使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等的实数根.
3

8分

9分

理由如下:

? ?) 上单调递减,方程 f ( x) ? 2 不可能 由(1)可知当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,
有两个不等的实数根; 由( 2 )得, 函数f ( x)在(0, 11 分

a a 使得方程 )内单调递减,在( , ? ?)内单调递增, a a a ) ? 2 ,即 a

f ( x) ? 2 有 两 个 不 等 的 实 数 根 , 等 价 于 函 数 f ( x) 的 极 小 值 f (

f(

a 1 1 ) ? ? ln a ? 2 ,解得 0 ? a ? e 3 a 2 2
3

所以 a 的取值范围是 (0,e ) 考点:1.导数的几何意义.2.函数的单调性.3.函数的极值最值. 14.已知函数 f ( x) ? (2 ? a)(x ? 1) ? 2 ln x . ( a 为常数)

14 分

(1)当 a ? 0 时,①求 f ? x ? 的单调增区间;②试比较 f ( m) 与 f (

1 ) 的大小; m

( 2 ) g( x) ? ex ? x ?1 ,若对任意给定的 x0 ? ? 0,1? ,在 ? 0, e 上总存在两个不同的

?

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xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.
【答案】 (1) ① f ( x) 的增区间 (1,??) ; ②当 m ? (0,1) 时,f ( m) ? f ( 时, f ( m) ? f (

1 ); 当 m ?, 1 (? ? ) m

1 1 4?e? ? ) ;当 m ? 1 时, f ( m) ? f ( ) ; (2) 当 a ? ? ??, ? 时,在 ? 0, e? m m 1? e ? ?

上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立. 【解析】

2 ,进而由 f ' ( x) ? 0 ( x ? 0) 即可求 x 1 2 出函数 f ( x) 的单调增区间;②求出 h( m) ? f ( m) ? f ( ) ? 2m ? ? 4 ln m ,进而通 m m
' 试题分析: (1)当 a ? 0 时,①先求出 f ( x) ? 2 ?

过导数确定函数 h( m) 在 (0, ??) 单调递增且 h(1) ? 0 ,进而分 0 ? m ? 1, m ? 1, m ? 1三 种情况,判断 h( m) 的正负即判断 f ( m), f (

1 ) 的大小; (2)先通过导数确定函数 g ( x) m

在区间 ? 0,1? 上是增函数,得到 2 ? g ( x) ? e ,进而检验当 a ? 2 时,是否满足条件,讨 论 当 a ? 2 时 , 由 要 使 对 任 意 给 定 的 x0 ? ? 0,1? , 在 ? 0, e 上 总 存 在 两 个 不 同 的

?

2 xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立可知函数 f ( x) 在 ? 0, e? 不单调,得到 a ? 2 ? , e 2 2 , ( ) , e] 时,f ' ( x) ? 0 , 进而确定: 当0 时,f ' ( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递减, 当( 2?a 2?a

2 ? )?2 2 ?f( ? 2及 函 数 f ( x) 单 调 递 增 , 进 而 由 条 件 得 到 ? 2 ? a ,即 a?2 ln 2?a ? ? f (e ) ? e
2 2 , a ? ( ??, 2 ? ) , 2?a e 2 2 , 2 ? 时 ) , a?2 l n ? 恒 2 成 立 , 由 由 导 数 的 知 识 确 定 a?( ? ? e 2?a 4?e ,从而就确定了 a 的取值范围. (2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? e 得到 a ? 1? e 2 ' 试题解析: (1)当 a ? 0 时,① f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2ln x( x ? 0) ,则 f ( x) ? 2 ? x
(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? e 成立,进而通过构造函数 h(a ) ? a ? 2 ln x ? (1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的增区间 (1,??)

1 2 1 2 ) ? ? 2 ? 2 ln ? ? 2 ? 2 ln m m m m m 1 2 记 h( m) ? f ( m) ? f ( ) ? 2m ? ? 4 ln m m m
② f (m) ? 2m ? 2 ? 2ln m f (

h ' ( m) ? 2 ?

2 4 2m2 ? 4m ? 2 2(m ? 1)2 ? ? ? ?0 m2 m m2 m2

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所以 h( m) 在 (0, ??) 上单调递增,又 h(1) ? 0 所以 (0,1) 时 h(m) ? 0 , (1, ??) 时 h(m) ? 0 所以

1 ) m 1 当 m ? (1, ??) 时, f ( m) ? f ( ) m 1 当 m ? 1 时, f ( m) ? f ( ) m
当 m ? (0,1) 时, f ( m) ? f ( (2)∵ g ' ( x) ? e x ?1 ,当 x ? ? 0,1? , g ' ( x) ? 0 ,∴函数 g ( x) 在区间 ? 0,1? 上是增函 数 .∴ g (0) ? g ( x) ? g (1) 即 2 ? g ( x) ? e 当 a ? 2 时, f ( x) ? ?2ln x ,不符题意

2 (2 ? a) x ? 2 ? x x 2 2 ? e即a ? 2 ? ① 由题意有 f ( x ) 在 ? 0, e? 上不单调所以 0 ? 2?a e 2 2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,当 ( , e] 时 f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 先减后增 当 (0, 2?a 2?a
' 当 a ? 2 时, f ( x) ?? 2 ? a ?

2 ? )?2 ?f( 所以 ? 2 ? a ? ? f (e ) ? e
2 ?2② (2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? e ③ 2?a 2 2 , a ? ( ??, 2 ? ) 令 h(a ) ? a ? 2 ln 2?a e 2 2 2 2 2(1 ? t ) ? t , t ? (0, e) ,所以 h(a) ? r (t ) ? 2 ? ? 2 ln t , r ?(t ) ? 2 ? ? 令 2?a t t t t2
所以 a ? 2 ln 所以 t ? (0,1) , r (t ) 单调递增; t ? (1, ??) , r (t ) 单调递减,所以 r (t ) ? r (1) ? 0 ? 2 所以对任意的 a ? (??, 2 ? ) , h(a) ? 2 由③得 a ?

2 e

4?e ④ 1? e

由 ① ④ 当 a ? ? ??, 成立. f(x x) i )? g( 0

? ?

4?e? ,使得 ? 时 , 在 ? 0, e? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 xi (i ? 1, 2 ) 1? e ?

考点:1.函数的单调性与导数;2.函数的最值与导数. 15.已知函数, g ( x) ?

x , f ( x) ? g ( x) ? ax ln x
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(1)求函数 g ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 在 ?1, ?? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 ' (3)若 ?x1, x2 ? ? ?e , e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(a ? 0) 成立,求实数 a 取值范围.

?

【答案】 (1)函数 g ( x) 的单调递减区间是 ? 0,1? , ?1, e ? ,递增区间是 ? e, ??? 。 (2) a 的最小值为 (3) a ? 【解析】

1 。 4

1 1 ? 2。 2 4e
2分

x ? ax 试题分析:函数 g ( x), f ( x) 的定义域为 ? 0,1? ? ?1, ??? ,且 f ( x ) ? ln x

(1)函数 g ( x ) ?
'

ln x ? x ?

1 x ? ln x ? 1 2 (ln x) (ln x) 2
' '

当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ( x) ? 0 所以函数 g ( x) 的单调递减区间是 ? 0,1? , ?1, e ? ,递增区间是 ? e, ??? .5 分

ln x ? 1 ' ? a ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立 (2)因为 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上为减函数,故 f ( x) ? 2 (ln x)
所以当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ( x)max ? 0 又 f ( x) ?
'

ln x ? 1 1 2 1 1 1 2 1 ? a ? ?( ) ? ? a ? ?( ? ) ? ?a 2 (ln x) ln x ln x ln x 2 4

1 1 1 ? ,即 x ? e2 时, f ' ( x ) max ? ? a ln x 2 4 1 1 1 所以 ? a ? 0, 于是 a ? ,故 a 的最小值为 4 4 4
故当

.8 分

2 ' (3)命题“若 ?x1, x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 成立”等价于 2 ' “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ( x)min ? f ( x)max ? a ”

1 1 ? a ,所以 f ' ( x ) max ? a ? 4 4 1 2 问题等价于: “当 x ? ? 9分 ? e, e ? ? 时,有 f ( x) min ? 4 ” 1 2 (i)当 a ? 时,由(2) f ( x ) 在 ? ? e, e ? ? 上为减函数 4
' 2 由(2) ,当 x ? ? ? e, e ? ? 时, f ( x ) max ?

则 f ( x) min ? f (e ) ?
2

e2 1 1 1 ? ae2 ? ,故 a ? ? 2 2 4e 2 4
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(ii)当 0 ? a ?
'

1 1 1 1 ' e, e 2 ? ? )2 ? ? a 在 ? 时,由于 f ( x) ? ?( ? ? 上为增函数 4 ln x 2 4

1 ? ? ' ' 2 故 f ( x) 的值域为 ? ? f (e), f (e ) ? ? ,即 ? ?a, ? a ? ? 4 ?
由 f ( x) 的单调性值域知
'

? 唯一 x0 ? ? e, e 2 ? ,使 f ' ( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? ? e, x0 ? 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数;当 x ? x0 , e 2 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为
' '

?

?

增函数;所以, f ( x)min ? f ( x0 ) ?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? ? e, e 2 ? ln x0 4

所以, a ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾,不合题意 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 1 1 ? 2 2 4e
12 分

综上, a ?

考点:利用导数研究函数的单调性、极值,不等式恒成立问题。 点评: 难题, 利用导数研究函数的单调性、 极值, 是导数应用的基本问题, 主要依据 “在 给定区间,导函数值非负,函数为增函数;导函数值非正,函数为减函数” 。确定函数 的极值,遵循“求导数,求驻点,研究单调性,求极值” 。不等式恒成立问题,往往通 过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解决。本题的难点在于利用转化思想的灵活 应用。 16.已知函数 f ( x) ? px ?

p ? 2 ln x . x

(1)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (3)设函数 g ( x ) ?

2e ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立,求 x

实数 p 的取值范围. 【答案】 (1) y ? 2 x ? 2 ; (2)实数 p 的取值范围是 [1, ? ?) ; (3)实数 p 的取值范围

? 4e ? ? 2 ,? ?? . ? e ?1 ?
【解析】 试题分析: (1)求 f ? x ? 的导数,找出 (1, f (1)) 处的导数即切线的斜率,由点斜式列出 直线的方程即可; (2)求出函数的定义域,在定义域内利用导数与函数增减性的关系, 转化为恒成立问题进行求解即可;(3)讨论 g ? x ? 在定义域上的最值,分情况讨论 f ? x ? 的增减性,进而解决 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 存在成立的问题即可.

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(1)当 p ? 2 时,函数 f ( x) ? 2 x ?

2 ? 2 ln x , f (1) ? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0 x

f ?( x) ? 2 ?

2 2 ? ,曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 x2 x
3分

从而曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 2 (2) f ?( x) ? p ?

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? x2 x x2

令 h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,要使 f ( x ) 在定义域 (0, ? ?) 内是增函数,只需 h( x) ? 0 在

(0, ? ?) 内恒成立
由 题 意 p ? 0 , h( x) ? px2 ? 2 x ? p 的 图 象 为 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 对 称 轴 方 程 为

x?

1 ? (0, ? ?) p 1 , p
只需 p ?

∴ h( x) min ? p ?

1 ≥ 0 ,即 p ≥1 时, h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 p
7分

∴ f ( x ) 在 (0, ? ?) 内为增函数,正实数 p 的取值范围是 [1, ? ?) (3)∵ g ( x ) ?

2e 在 ?1, e? 上是减函数 x

∴ x ? e 时, g ( x)min ? 2 ; x ? 1 时, g ( x)max ? 2e ,即 g ( x) ?? 2,2e? ①当 p ? 0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,其图象为开口向下的抛物线,对称轴 x ? 轴的左侧,且 h(0) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? ?1, e? 内是减函数 当 p ? 0 时, h( x) ? ?2 x ,因为 x ? ?1, e? ,所以 h( x) ? 0 , f ?( x) ? ? 此时, f ( x ) 在 x ? ?1, e? 内是减函数 故当 p ≤ 0 时, f ( x ) 在 ?1, e? 上单调递减 ? f ( x)max ? f (1) ? 0 ? 2 ,不合题意 ② 当

1 在y p

2x ?0 x2

0 ? p ?1







1 x ? ?1, e? ? x ? ≥ 0 x







1? 1 ? f ( x) ? p ? x ? ? ? 2ln x ≤ x ? ? 2ln x x? x ?
又由(Ⅱ)知当 p ? 1 时, f ( x ) 在 ?1, e? 上是增函数 ∴x?

1 1 1 ? 2 ln x ≤ e ? ? 2 ln e ? e ? ? 2 ? 2 ,不合题意 x e e
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12 分

③当 p ≥1 时,由(Ⅱ)知 f ( x ) 在 ?1, e? 上是增函数, f (1) ? 0 ? 2 又 g ( x) 在 ?1, e? 上是减函数,故只需 f ( x)max ? g ( x)min , x ? 1, e 而 f ( x)max ? f (e) ? p ? e ? ? ? 2ln e , g ( x)min ? 2

? ?

? ?

1? e?

即 p ? e ? ? ? 2ln e ? 2 ,解得 p ?

? ?

1? e?

4e e ?1
2

所以实数 p 的取值范围是 ?

? 4e ? ,? ?? 2 ? e ?1 ?

15 分.

考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性与导数;3.二次函数的图像与性质;4.分 类讨论的思想.

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