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甘肃兰州一中2014—2015学年度高二上学期期中考试数学试题


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甘肃兰州一中 2014—2015 学年度上学期期中考试

高二数学试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 100 分,考试时间 100 分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷(选择题,共 48 分) 一、选择题(本

大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上 . ) ......... 1.在△ ABC 中,a= 2 3 ,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于 A.30° B.60° C.60°或 120° D. 30°或 150° ( ) ( )

2.等比数列 ? an ? 中, a 2 ? 9, a5 ? 243, 则 ? an ? 的前 4 项和为 A. 81 B.120 C.168 D.192 3.在△ ABC 中,由已知条件解三角形,下列条件中有两解的是 A.b=20,A=45° ,C=80° B.a=30,c=28,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120°





4.设 ? an ? 是由正数组成的等比数列,且 a5 a6 ? 81 ,则 log 3 a1 ? log 3 a2 ? L ? log 3 a10 的 值是 A.20 ( B.10 C.5 D.2 或 4 )

5. 下列条件: ① ab ? 0 , ② ab ? 0 ,③ a ? 0, b ? 0 , ④ a ? 0, b ? 0 , 能使不等式 成立的条件个数是 A. 3 ( B. 2 C. 1 D. 0 )

b a ? ?2 a b

6.设数列 {an } 是等差数列, 若 a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99, 以 S n 表示 {an } 的前 n 项和,则使 S n 达到最大值的 n 是 A. 21 B. 20 C. 19 7.设 a > 1 > b > - 1 ,则下列不等式中恒成立的是 A. D. 18 ( D. a > b 2 ( ) ) ( )

1 1 < a b

B.

1 1 > a b

C. a 2 > 2b

8.在数列 {an } 中, an ?1 ? an ? 2 ? an , a1 ? 2, a2 ? 5 ,则 a2014 的值是

A. 3 B. ?5 C. ?2 D. 5 9.为测量一座塔的高度,在一座与塔相距 20 米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为 30? ,测得 塔基的俯角为 45? ,那么塔的高度是( )米. ( )

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A. 20(1 ?

3 ) 3

B. 20(1 ?

3 ) 2

C. 20(1 ? 3)

D. 30 ( )

10.在 ?ABC 中,若 b 2 sin 2 C ? c 2 sin 2 B ? 2bc cos B cos C ,则 ?ABC 是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
2

11. 等差数列 {an }前 n 项和 S n , 若m > 1, 且 am- 1 + am+ 1 - am = 0 ,S 2 m- 1 = 38 , 则m 等 于 A. 38 ( B. 10 C. 20 D. 9 )

?3 x ? y ? 6 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 x ? 0 ? ? ?y ? 0
12,则 A.

2 3 ? 的最小值为 a b
B. 25 C.





25 6

25 3

D. 5

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,将答案写在答题卡上 . ) .........

?2 x ? y ? 2 ? 13.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?



14.在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,前 99 项的和 S99 ? 56 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? ??? ? a98 ? .. 15.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn= an+1-an (n∈ N*).若 b3=-2,b10=12,则 a8= . 16. 在△ ABC 中, ∠ ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ ABC 内一点,∠ BPC=90°.若∠ APB=150°, 则 tan∠ PBA= 17. (本小题 8 分) 已知等差数列前三项为 a, 4,3a ,前 n 项的和为 S n , S k ? 2550 . (1)求 a 及 k 的值; (2)求证 .

三、 解答题(本大题共 4 小题,共 36 分)

1 1 1 ? ?L ? ? 1. S1 S2 Sn

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18. (本小题 8 分) 在 △ ABC 中, tan A ? (1)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5
(2)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

19. (本小题 10 分) 在 V ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知向量 m m ? (cos A, cos B ), n 向量 ? (a, 2c ? b),

m ? (cos A, cos B), n ? (a, 2c ? b), 且 m//n.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求 V ABC 面积的最大值.

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20. (本小题 10 分) 已知数列 {an }的前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 2 的等差中项,数列 {bn }中, b1 = 2 , 点 P (bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. (1)求 a1 和 a 2 的值; (2)求数列 {an }, {bn } 的通项 an 和 bn ; (3) 设 c n ? a n ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

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参考答案
第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)
题 号 答 案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 C 9 A 1 0 D 1 B 1 2 A 1

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
4 3 3

13.

18

14.

16

15.

3

16.

三、 解答题(本大题共 4 小题,共 36 分)
17. (本小题 8 分) 已知等差数列前三项为 a, 4,3a ,前 n 项的和为 S n , S k ? 2550 . (1)求 a 及 k 的值; (2)求证

1 1 1 ? ?L ? ? 1. S1 S2 Sn

解 : 设 该 等 差 数 列 为 ?an ? , 则 a1 ? a, a2 ? 4, a3 ? 3a , 由 已 知 有 a ? 3a ? 2 ? 4 , 解 得

a1 ? a ? 2 , 公 差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 将 S k = 2550 代 入 公 式 S k ? ka1 ?

k ? 50, k ? ?51 (舍去) .......................4 分 ? a ? 2, k ? 50 . n(n ? 1) 1 1 1 1 (2)由 S n ? na1 ? d ,得 S n ? n(n ? 1) , ? ? ? 2 S n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?L ? ? ?L ? = n( n ? 1) S1 S 2 S n 1? 2 2 ? 3 1 1 1 1 1 = (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 =1 ? .......................8 分 ?1 n ?1

k (k ? 1) d ,得 2

18. (本小题 8 分)

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在 △ ABC 中, tan A ? (1)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5
(2)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

解: (1)∵ C ? ? ? ( A ? B) ,

1 3 ? 4 5 ? ?1 . ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又∵ 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (2)∵ C ? ?, 4 ? AB 边最大,即 AB ? 17 ? 又 tan A ? tan B ,A ,B ? (0 , ) , ? 所以 ?A 最小, BC 边为最小边. sin A 1 ? ? , ? tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
17 . 17 AB BC AB sin A 由 得: BC ? ? ? 2. sin C sin A sin C 所以,最小边 BC ? 2 .
得 sin A ?

.......................4 分

.......................8 分

19. (本小题 10 分) 在 V ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知向量 m m ? (cos A, cos B ), n 向量 ? (a, 2c ? b),

m ? (cos A, cos B), n ? (a, 2c ? b), 且 m//n.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求 V ABC 面积的最大值. 解: (1) 因为 m//n.,所以, a cos B ? (2c ? b) cos A ? 0 ,由正弦定理,得:

sin A cos B ? (2sin C ? sin B) cos A ? 0 ,

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所以 sin A cos B ? 2sin C cos A ? sin B cos A ? 0 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , 所以,sin(A+B)=2sinCcosA 又 A+B+C= ? ,所以,sinC=2sinCcosA,因为 0<C< ? ,所以 sinC>0, 所以 cosA=

1 ? ,又 0<A< ? ,所以 A= . 2 3

.......................4 分

(2)由余弦定理,得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,所以 16= b 2 ? c 2 ? bc ? bc ,所以 bc≤16, 当且仅当 b=c=4 时,上式取“=”, 所以,△ ABC 面积为 S=

1 bc sin A ≤4 3 , 2
......................10 分

所以△ ABC 面积的最大值为 4 3 . 20. (本小题 10 分)

已知数列 {an }的前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 2 的等差中项,数列 {bn }中, b1 = 2 , 点 P (bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. (1)求 a1 和 a 2 的值; (2)求数列 {an }, {bn } 的通项 an 和 bn ; (3) 设 c n ? a n ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 解: (1)由 2a n ? S n ? 2 得: 2a1 ? S1 ? 2 ; 2a1 ? a1 ? 2 ; a1 ? 2 ; 由 2a n ? S n ? 2 得: 2a2 ? S 2 ? 2 ; 2a2 ? a1 ? a2 ? 2 ; a 2 ? 4 ; .......................2 分 (2)由 2a n ? S n ? 2 ┅ ① 得 2a n ?1 ? S n ?1 ? 2 ┅ ② ; (n ? 2) 将两式相减得: 2a n ? 2a n ?1 ? S n ? S n ?1 ; 2a n ? 2a n ?1 ? a n ; a n ? 2a n ?1 ( n ? 2 ) 所以:当 n ? 2 时:

an ? a2 2

n?2

? 4? 2

n?2

? 2 ;故: a n ? 2 ;
n n

又由:等差数列 {bn }中, b1 = 2 ,点 P (bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. 得: bn ?1 ? bn ? 2 ,且 b1 = 2 ,所以: bn ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ; .......................6 分 (3) c n ? a n bn ? n 2
n ?1

;利用错位相减法得: Tn ? (n ? 2)2n ?1 ? 4 ;

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.......................10 分


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