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高二数学文科五一假期作业卷(含答案)


高二数学文科五一假期作业
一、选择题 1.复数 z= 的虚部为( )

7.下列函数中值域为 ? 0, ??? 的是( A. y ? ? ?


2

?1? ? 3?

1? x

B. y ?

x?2 x ?1

C. y ? 2x

?1

D. y ? 1 ? 2x

A.2 B.﹣2 C.2i D.﹣2i 2.若 A、B、C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( A.A ? C B.C ? A C.A≠C D.A= ?



x 8.用 max ?a, b, c? 表示 a ,b ,c 三个数中的最大值,设 f ( x ) ? max 2 , x ? 2,10 ? x ( x ? 0 ) ,

?

?

则 f ( x ) 取得最小值时 x 所在区间为(

) D. ? 4,5 ? )

3. 已知命题 p : ?4 ? x ? a ? 4 , 命题 q : ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 , 且 的取值范围是( A. ) B.

q是

p 的充分而不必要条件,则 a

A. ?1, 2 ?

B. ? 2,3?

C. ? 3, 4 ?

??1,5?

??1,5?

C.

? ?1,5?

D.

? ?1,5?

9. 如果函数 f ?x? ? x 2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ?? ?,4?上是减函数, 那么实数 a 的取值范围是 ( A. a ? ? 3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 5

4.已知下面四个命题:
2 2 ①“若 x ? x ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 1 ”的逆否命题为“ x ? 0 且 x ? 1 ,则 x ? x ? 0 ” 2 ②“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数, A (0, -1) , B (3, 1) 是其图象上的两点, 那么 f ( x ? 1) ? 1 的解集的补集是( ) A.[-1,2] B. (- ? ,-1)∪(2,+ ? ) C. (-1,2) D. (- ? ,-1)∪ [2,+ ? ) 二、填空题
2 11. 已知函数 y ? x ?

2 2 ③命题 p : 存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : 任意 x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0

④若 p 且 q 为假命题,则 p , q 均为假命题 其中真命题个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

5.设函数 g ( x) ? x2 ? 2 , f ( x) ? ?

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x) ,则 f ( x) 的值域是( ? g ( x) ? x, x ? g ( x)

a (a ? R ) 在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, 则 a 的值为________. x



12 .已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,且在点 (i, f (i)) 处的切线的斜率为 ki (i ? 1, 2,3) .则

9 4 9 C. [? , ??) 4

A. [? , 0] ? (1, ??)

B. [0, ??) D. [ ?

9 , 0] ? (2, ??) 4

1 1 1 ? ? ? ________. k1 k2 k3
13 .设过曲线 f ? x ? ? ?e x ? x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线

0 6.某饮料店的日销售收入 y (单位:百元)与当天平均气温 x (单位: C )之间有下列数据:

5 4 2 2 1 甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究,分别得到了 x 与 y 之间的四个线性回归方程,其中正确 的是(
?

x y

-2

-1

0

1

2

g ? x ? ? ax ? 2 cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为



14.若函数 f ?x? ? mx2 ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是__ . 15.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直

) B. y ? ? x ? 3
?

A. y ? ? x ? 2.8

C. y ? ?1.2 x ? 2.6

?

D. y ? 2 x ? 2.7 角三角形边上再连接正方形, ?, 如此继续, 若共得到 1023 个正方形, 设初始正方形的边长为 ,

?

则最小正方形的边长为



17.已知函数 f ( x) ? ax ? (1)用 a 表示出 b, c ;

b ? c (a ? 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 . x

(2)若 f ( x) ? ln x 在 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围.

三、解答题
2 2 16. (1)命题 p :“ ?x ?[1,2], x ? a ? 0 ” ,命题 q :“ ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ” ,若“ p

且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围。 (2) 已知 p : 1 ?

x ?1 若 p 是 q 的必要而不充分必要条件, ? 2 ,q : x2 ? 2x ?1 ? m2 ? 0 ? m ? 0? , 3

求实数 m 的取值范围.

18.已知函数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c ( a, b, c 是常数)在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 , 且 f (1) ? 0 . (1)求常数 a, b, c 的值; (2)若函数 g ( x) ? x ? mf ( x) ( m ? R )在区间 (1,3) 内不是单调函数,求实数 m 的取值范围.
2

19.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x , g ( x) ? ? a ?1? x ? 4 . 2

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (2)是否存在实数 a(a ? 1) ,使得对任意的 x ? ? , e ? ,恒有 f ( x) ? g ( x) 成立?若存在,求出实 e 数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

?1 ?

? ?

1 f ? x ? ? x3 ? x 2 ? ax ? 1 3 20.已知函数 .
(Ⅰ)若曲线 (Ⅱ)若函数

21.已知 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 0 ? a ? 的单调区间;

1? a ? 1(a ? R) x

y ? f ? x? f ? x?

在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数

f ? x?

在区间[-2, a ]上单调递增,求 a 的取值范围.

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 2 1 1 (2) 设 g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4 , 当 a ? 时, 若对任意 x1 ? [ , e] , 存在 x2 ?[1, 2] , 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 4 e 求实数 b 取值范围.

高二数学文科五一假期作业参考答案
1.B 试题分析: ? z ? 2.A 试题分析:因为 A ? A ? B 且 C ? B ? C, A ? B ? B ? C 由题意得 A ? C .故选 A. 3.A 试题分析:由已知 p : a ? 4 ? x ? a ? 4 , q :1 ? x ? 3 ,所以 ?

数的值域是 [0,1) ,故选 A. 8.B

5?i 5 ? i ? 5 ? i ??1 ? i ? 6 ? 4i ? 3 ? 2i ,? 复数 z ? 的虚部为 ?2 ,故选 B. ? ? 1? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

试题分析:根据新定义知,函数 f ( x ) 的图像应是函数

y1 ? 2 x 、 y2 ? x ? 2 、 y3 ? 10 ? x 在 x ? 0 时的最高的
函数图像, 如下图所示黑色线表示的即为函数 f ( x ) 的图 像, 同时可求得, A (2, 4) , B (4, 6) ,D (3,5) ,E (3,7) ,F

?a ? 4 ? 1 且不能同时取等号,解得 ?a ? 4 ? 3

(3,8) .由图像可知函数 f ( x ) 的最低点是点 B,所以此 时函数取得最小值且此时的 x 在(2,3)之间,故选 B. 9.A 函数 f ?x? ? x 2 ? 2(a ?1) x ? 2 的对称轴 x ? ?

?1 ? a ? 5 ,故选 A.
4.C 试题分析:由题可知,①正确,②为充分不必要的条件,②正确,特称命题的否定为全称命题,所 以③显然正确;若 p 且 q 为假命题,则 p, q 至少有一个是假命题,所以④的推断不正确. 5.D 试题分析:由题意可得 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? x ? 2, x ? 2或x ? ?1 , 2 ? x ? x ? 2 , ? 1 ? x ? 2 ?

2 ? a ? 1? 2 ?1

? 1 ? a ,又函数在区间 ?? ?,4?上是减函数,

? a ? ?3 故选 A. 可得 1 ? a ? 4, 10.A
试题分析: f ( x ? 1) ? 1 即 f ?x ? 1? ? 1 或 f ?x ? 1? ? ?1,因为函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数, A(0,-1) ,B(3,1)是其图象上的两点,结合图像可知 x ? 1 ? 3 或 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 2 或 x ? ?1 , 所以其补集为 ?? 1,2? 。 11. a ? 0.

当 x ? 2或x ? ?1, f ?x ? ? x 2 ? x ? 2 ? ? x ?

? ?

1? 7 ? ? ,所以当 x ? ?1 时有最小值 2; 2? 4

2

当 ? 1 ? x ? 2, f ?x ? ? x 2 ? x ? 2 ? ? x ?

? ?

1 9 1? 9 ? ? ,所以当 x ? 时有最小值 ? ,当 x ? 2 时有最小 2 4 2? 4
试题分析:因为 12.0

2

y? ? 2 x ?

9 值 0 ,所以 f ( x) 的值域是 [ ? , 0] ? (2, ??) . 4
6.A

a x 2 ,所以 2 ? a ? 2, a ? 0.

?2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 5 ? 4 ? 2 ? 2 ?1 ? 0, y ? ? 2.8 ,由回归方程过中心点 试题分析:由题意可知 x ? 5 5

试题分析:因为 f ( x) ? ( x ?1)( x ? 2)( x ? 3) ? x3 ? 6x 2 ? 11x ? 6 ,所以 f ?( x) ? 3x2 ? 12x ? 11,

?0,2.8? ,代入选项中只有 A 项满足
7.A 试题分析:A 中函数值域为 (0, ??) ,B 中函数值域是 { y | y ? 1} ,C 中函数值域是 [2, ??) ,D 中函

k1 ? f ?(1) ? 3?12 ?12 ?1 ?11 ? 2, k3 ? f ?(3) ? 3? 32 ?12 ? 3 ? 11 ? 2, 所以
13. [?1, 2] .

k2 ? f ?(2) ? 3? 22 ?12 ? 2 ? 11 ? ?1,
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0. k1 k2 k3 2 ?1 2

试题分析:因为 f ' ? x ? ? ?e x ? 1 , g ' ? x ? ? a ? 2sin x ,于是问题“过曲线 f ? x ? ? ?e x ? x ( e 为 自然对数的底数) 上任意一点处的切线为 l1 , 总存在过曲线 g ? x ? ? ax ? 2 cos x 上一点处的切线 l2 ,

所以“

?q

x? ?m 1 x? 或 ?m 1m ?, 0 ” : A ? x? R

?

?1 ≤ 2 得 ?2 ≤ x ≤10 ,所以 ? .由 1 ? x 3


“ 使 得 l1 ? l2 ” 转 化 为 “ 对 任 意 x1 ? R , 总 存 在 x2 ? R , 满 足 (?e ? 1)(a ? 2sin x2 ) ? ?1 , 即
x1

?p

”: B ? x ? R x ? 10或x ? ? 2

?

?

. 由

?p

?q

的 充 分 而 不 必 要 条 件 知

1 1 ” , 因此 y ? a ? 2sin x2 的值域包含 y ? x 的值域, 即 (0,1) ? [a ? 2, a ? 2] , a ? 2sin x2 ? x1 1 e ?1 e ?1
且 a ? 2 ? 0 , a ? 2 ? 1 ,解之得 ?1 ? a ? 2 ,故应填 [?1, 2] . 14. ? ,?? ? 试题分析:函数 f ?x? ? mx2 ? ln x ? 2 x 的定义域为 ?0,??? ,因为其为定义域上的增函数,所以满

?m ? 0, ? B ? A ? ?1 ? m ≥ ?2, ? 0 ? m ≤ 3 故 m 的取值范围为 0 ? m ≤ 3 . ?1 ? m ≤ 10. ?
17. (1) f ?( x ) ? a ?

?1 ?2

? ?

? f (1) ? a ? b ? c ? 0 ? b ? a ?1 b ,则有 ? ,解得 ? , 2 x ? f (1) ? a ? b ? 1 ?c ? 1 ? 2a

1 1 1 1?1 ? 1 足 f ? x ? ? 2mx ? ? 2 ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,整理得 m ? ? ? ? ? ? 1? ? ,因为 2 x x 2x 2? x ? 2
'

2

a ?1 ? 1 ? 2a , x a ?1 令 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ? 2 ? 1 ? 2a ? ln x, x ? ?1, ?? ? , x
(2)由(1)知, f ( x) ? ax ? 则 g (1) ? 0, g ?( x) ? a ? 当0 ? a ?

1 1 ?1 ? m ? ( ? 2 ) max ,所以实数 m 的取值范围是 ? ,?? ? . x 2x ?2 ?
15.

a ? 1 1 ax ? x ? (a ? 1) ? ? ? x2 x x2
2

a( x ? 1)( x ? x2

1? a ) a ,

1 1? a ? 1, 时, 2 a 1? a 若1 ? x ? ,则 g ?( x) ? 0, g ( x) 是减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , a
即 f ( x) ? ln x ,故 f ( x) ? ln x 在 ?1, ?? ? 上不恒成立. ,解得 .正方形边长构成数列 ②当 a ?

试题分析:设

,即

1 1? a ?1. 时, 2 a

若 x ? 1 ,则 g ?( x) ? 0, g ( x) 是增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , ,从而最小正方形的变长为 . 即 f ( x) ? ln x ,故当 x ? 1 时, f ( x) ? ln x . 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? .
' 18. (1)由题设知, f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ( x ) ? a ?

2 16 . ( 1 ) 若 p 是 真 命 题 . 则 a ? x , 因 为 x ? [1, 2] ,所以 a ? 1 ;若 q 为真命题,则方程

x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 有实根,所以 ? ? 4a ? 4(2 ? a ) ? 0 ,即 a ? 1 或 a ? ?2 , p 真 q 也真时 ,
2
2

?1 ?2

? ?

所以 a ? ?2 或 a ? 1 ,若“ p 且 q ”为假命题 ,即 a ? (?2,1) ? (1,??) .
2 2 (2)由 x ? 2 x ? 1 ? m ≤ 0 得 1 ? m ≤ x ≤1 ? m ? m ? 0? .

b , x

因为 f ( x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,

所以 f ' (e) ? ?

e ?1 b e ?1 ,且 f (e) ? 2 ? e ,即 a ? ? ? ,且 ae ? b ? c ? 2 ? e , e e e

又 f (1) ? a ? c ? 0 ,解得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 (2)由(1)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0) 因此, g ( x) ? x2 ? mf ( x) ? x2 ? mx ? m ln x ? m( x ? 0)
' 所以 g ( x) ? 2 x ? m ?

(2) f ( x) ? g ( x) 在 x ? ? , e ? 上恒成立, e 也就是 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? ? , e ? 上的最大值小于 0. e

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? a ln x ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? 4 , 2

m 1 ? (2 x 2 ? mx ? m)( x ? 0) x x

h '( x) ?

令 d ( x) ? 2x2 ? mx ? m( x ? 0) ( ⅰ ) 当 函 数 g ( x) 在 (1,3) 内 有 一 个 极 值 时 , g ( x) ? 0 在 (1,3) 内 有 且 仅 有 一 个 根 , 即
'

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? x ? (a ? 1) ? ? ( x ? 0) . x x x
?1 ? ?e ?

①若 a ? e ,则当 x ? ? ,1? 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 当 x ??1, e? 时, h '( x) ? 0 , .

又因为 d (1) ? 2 ? 0 , 当 d (3) ? 0 , 即m?9 d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根, 时, d ( x) ? 2 x ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根 x ?
2

3 ,当 d (3) ? 0 时,应有 d (3) ? 0 , 2

? h( x) 的最大值为 h(1) ? ? a ?

7 7 ? 0 ,? a ? . 2 2

即 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 m ? 9 ,所以有 m ? 9 .
' ( ⅱ ) 当 函 数 g ( x) 在 (1,3) 内 有 两 个 极 值 时 , g ( x) ? 0 在 (1,3) 内 有 两 个 根 , 即 二 次 函 数

②若 1 ? a ? e ,则当 x ? ? ,1? 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 当 x ??1, a? 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减; 当 x ? ? a, e? 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增.

?1 ? ?e ?

d ( x) ? 2 x ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有两个不等根
2

?? ? m 2 ? 4 ? 2 ? m ? 0 ? d (1) ? 2 ? m ? m ? 0 ? ? 所以 ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ,解得 8 ? m ? 9 ? ?1 ? m ? 3 ? ? 4
综上,实数 m 的取值范围是 (8,??) 19.试题解析: (1) f '( x) ? ?

?h(1) ? 0 . ? h( x) 的最大值为 max ?h(1), h(e)? ,从而 ? ?h(e) ? 0
其中,由 h(1) ? 0 ,得 a ? 综合①②可知:当 a ?

7 ,这与 1 ? a ? e 矛盾. 2

2 ? x( x ? 0) . x

7 ?1 ? 时,对任意的 x ? ? , e ? ,恒有 f ( x) ? g ( x) 成立. 2 ?e ?

考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性与最值;3.分类讨论思想. 20. (Ⅰ)因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 经过点 (0,1) , 又 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a ,

? f (1) ?

1 ? 1? ,? 切点为 ?1, ? ,切线斜率 k ? f '(1) ? ?1 . 2 ? 2?

? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程为 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 .

所以 f '(0) ? a ? ?3 , 所以 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

? 由 h ( x) ? 0 ,即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1 ,
2

x2 ?

1 ?1 a .

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表

0?a?


1 1 ?1 ? 1 ? 0 2 时, a .

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?3)
?
?

?3
0 极大值

( ?3,1)
?
?

1
0 极小值

(1, +?)
?
?

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;

x ? (1,

1 ? 1) ? a 时, h( x) ? 0 , f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?3) , (1, +?) , 单调递减区间为 ( ?3,1) (Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增, 所以 f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 只要 f '( x) ? x 2 ? 2 x ? a 在 [?2, a ] 上的最小值大于等于 0 即可.

1 x ? ( ? 1,?? ) ? a 时, h( x) ? 0 , f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减. 0?a?


1 1 1 (1, ? 1) ( ? 1,?? ) ( 0 , 1 ) f ( x ) 2 时,函数 a 的增区间为 ,减区间为 和 a .

a?


1 1 [ ,1] 4 时, f ( x) 在 e 上是减函数,在 [1, e] 上是增函数. 1 1 3e 1 , e] B ? [ ? , ? ? 2] e 2 4 4e 时,有 f ( x1 ) 的值域为 .
2 2

因为函数 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 的对称轴为 x ? ?1 ,
2

当 ?2 ? a ? ?1 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '(a ) , 解 f '(a)=a 2 ? 3a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? ?3 ,所以此种情形不成立 当 ?1 ? a 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '( ?1) , 解 f '( ?1) ? 1 ? 2 ? a ? 0 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综上,实数 a 的取值范围是 a ? 1 .

x ?[
所以

记 g ( x) ? ( x ? b) ? 4 ? b , x ?[1,2] 的值域为 A , 由题有 B ? A(?) , 当 b ? 1 时, g ( x) min ? 5 ? 2b ? 0 ,与 (?) 矛盾; 当 b ? [1,2] 时, g ( x) min ? 4 ? b ? 0 也与 (?) 矛盾;
2

f ( x) ? ln x ? ax ?
21. (1)

1? a ? 1( x ? 0) x ,

当 b ? 2 时, A ? [8 ? 4b,5 ? 2b] ,

1 a ? 1 ? ax2 ? x ? a ? 1 f ?( x) ? ? a ? 2 ? ( x ? 0) x x x2 ,
令 h( x) ? ax ? x ? 1 ? a( x ? 0) ,
2

因为 B ? A ,所以

8 ? 4b ? ?

1 3e 1 5 ? 2b ? ? ? 2 2且 4 4e .

17 1 3e 1 ? b ? (7 ? ? ) 2 4 4e . 综上,实数 b 的取值范围是 8


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