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D8.2 数量积 向量积


高等数学(2)标准化作业题参考答案—8

班级

姓名

学号

第二节 数量积 向量积
一、填空题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. a ⊥b ? a ? b ? 0 ; a ∥ b ? a ? b ? 0 .
2.向量 a ? ax , a y , az , b ? b

x , by , bz ,若两向量夹角为 ? ,则

?

?

?

?

?

?

cos ? =
?

axbx ? a y by ? az bz ax 2 ? a y 2 ? az 2 bx 2 ? by 2 ? bz 2
?



3.向量 a ? ? 3, ?1, ?2 ? , b ? ?1, 2, ?1? ,则 ?2 a ? 3b ? ? 18 , a ? 2b ? 10i ? 2 j ? 14k . 4.已知点 A ? 2, 4, n ? , B ? 3, 7,5 ? , C ? m,10,9 ? 三点共线,则 m ? 4 ,n? 1 .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

5.已知点 M 1 ?1, ?1, 2 ? , M 2 ? 3,3,1? , M 3 ? 3,1,3? ,与 M 1 M 2 , M 2 M 3 同时垂直的单位向量 为?

??????? ??????

1 (3, ?2, ?2) . 17

??????? ?????? ? ??????? ?????? M1M 2 ? M 2 M 3 提示:与 M 1 M 2 , M 2 M 3 同时垂直的单位向量为 ? ??????? ?????? . ? M1M 2 ? M 2 M 3
6.设 a ? ? 2,5,1? , b ? ?1,3, ?2 ? , ? a ? ? b 与 z 轴垂直,则 ? 与 ? 的关系 ? ? 2? . 提示: (? a ? ?b ) ? k ? 0 .

?

?

?

?

?

?

?

二、单项选择题
? 1. 已知 a ? ? 0,3, 4 ? , b ? ?2,1, ?2 ? ,则 Pr j a b ?

?

?

?

C D.1



A.3

B. ?

? ? ? a ? b ?5 ? 提示: Prja b ? ? ? ? ?1 . 5 a
2. 已知向量 a, b 的模分别为 a ? 4, b ? 2 ,且 a ? b ? 4 2 ,则 a ? b ?

1 3

C.-1

? ?

?

?

? ?

? ?

C



A.

2 2

B. 2 2

C. 4 2

D. 2

21

高等数学(2)标准化作业题参考答案—8

班级

姓名

学号

提示: a ? b ? a b cos(a, b ) , cos(a , b ) ?

? ?

? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ? ? 2 ? ? ? , a ? b ? a b sin(a, b ) ? 4 2 . 2

三、计算题
1. a ? ? 2, ?3,1? , b ? ?1, ?1,3? , c ? ?1, ?2, 0 ? ,求 a ? b ? c .

?

?

?

?

? ? ?

?

解: a ? b ? 2

? ?

? i

? ? ? ? ? ? ?3 1 ? ?8i ? 5 j ? k ,所以 a ? b ? c ? (?8, ?5,1) ? (1, ?2, 0) ? 2 .

? j

? k

1 ?1 3
? ?

?

?

2.求向量 a ? ? 4, ?3, 4 ? 在向量 b ? ? 2, 2,1? 上的投影.

? ? ? a ? b 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ?1 6 ? 解: Pr jb a ? ? ? ? ?2. 2 2 3 b 2 ? 2 ?1
3.已知 a ? 3, b ? 26, a ? b ? 72 ,求 a ? b . 解:∵ a ? b ? a b sin ? ? 72 ∴ sin ? ? 而 a ? b ? a b cos ? ? 3 ? 26 ? ? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

72 12 5 ? , cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ,从 3 ? 26 13 13

? ?

? ?

? 5? ? ? ?30 . ? 13 ?

4.设 a, b, c 为三个非零向量, a ⊥ b , a 与 c 的夹角为

? ? ?

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? a = 1, b ? 2, c ? 3 ,求 a ? b ? c .
? ? ? ? 3 ? ? 解:由已知得 a ? b ? 0 , b ? c ? 3 3 , c ? a ? ,所以

π ? ? π , b 与 c 的夹角为 ,且 3 6

2

? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? a ? b ? c ? (a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 17 ? 6 3
从而

? ? ? a ? b ? c ? 17 ? 6 3 .

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