koorio.com
海量文库 文档专家
相关标签
当前位置:首页 >> >>

数列通项公式常见求法



数列通项公式的常见求法
数列在高中数学中占有非常重要的地位, 每年高考都会出现有关数列的方面的试题, 一 般分为小题和大题两种题型, 而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点, 一般常出现在 大题的第一小问中, 因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识, 更有 助于我们在高考中取得好的成绩。 下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行 较为系统的总结,希望能对同学们有所帮助。 一.公式法 公式法 高中重点学了等差数列和等比数列, 当题中已知数列是等差数列或等比数列, 在求其通 项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 、 例 1、 (2011 辽宁理)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式; 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

?a1 + d = 0, ?2a1 + 12d = ?10,

解得 ?

?a1 = 1, ?d = ?1.

故数列 {an } 的通项公式为 an = 2 ? n. 2、等比数列公式 、 例 2.(2011 重庆理)设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1 = 2 , a3 = a2 + 4 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式 解:I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 = 2, a3 = a2 + 4得2q = 2q + 4 ,
2

,因此 q = 2. 即 q 2 ? q ? 2 = 0 ,解得 q = 2或q = ?1 (舍去) 所以 {an } 的通项为 an = 2 ? 2 3、通用公式 、 若已知数列的前 n 项和 S n 的表达式,求数列 {a n } 的通项 a n 可用公式
n ?1

= 2n (n ∈ N * ).

?S n LLLL n = 1 an = ? 求解。一般先求出 a1=S1,若计算出的 an 中当 n=1 适合时可以 ?S n ? S n ?1 L n ≥ 2
合并为一个关系式,若不适合则分段表达通项公式。 例 3、已知数列 {an } 的前 n 项和 sn = n ? 1 ,求 {an } 的通项公式。
2

解: a1 = s1 = 0 ,当 n ≥ 2 时

an = sn ? sn ?1 = (n 2 ? 1) ? [(n ? 1) 2 ? 1] = 2n ? 1
由于 a1 不适合于此等式 。 ∴ an = ?

?0 ?2 n ? 1

(n = 1) ( n ≥ 2)

当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即: 二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即: a n 和 当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即 据具体情况采用下列方法 1、叠加法 、

an-1 的关系时我们可以根

一般地,对于型如 a n +1 = a n + f ( n) 类的通项公式,且 f (1) + f (2) + L + f ( n) 的和比 较好求,我们可以采用此方法来求 a n 。 即: an = ( an ? an ?1 ) + (an ?1 ? an ? 2 ) + L + ( a2 ? a1 ) + a1 ( n ≥ 2) ; 例 4、 (2011 四川理 8) 数列 则

{an } 的首项为 3 ,{bn } 为等差数列且 bn = an+1 ? an (n ∈ N *) .若
a8 =
C.8 D.11 由叠加法

b3 = ?2



b10 = 12
B.3

,则

A.0 解:由已知知

bn = 2n ? 8, an +1 ? an = 2n ? 8,

(a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + L + (a8 ? a7 ) = ?6 + ?4 + ?2 + 0 + 2 + 4 + 6 = 0 ? a8 = a1 = 3
例 5、 已知数列 {an} 满足 a1 =

1 1 , an + 1 = an + 2 ,求数列 {an} 的通项公式。 2 n +n 1 1 1 1 = = ? n + n n(n + 1) n n + 1
2

解: (1)由题知: an + 1 ? an =

∴ an = (an ? an ? 1) + (an ? 1 ? an ? 2) + ……+(a 2 - a1) + a1

=(

1 1 1 1 1 1 1 ? )+( ? ) + …… + ( ? ) + n ?1 n n ? 2 n ?1 1 2 2

=
2、叠乘法

3 1 ? 2 n

一般地对于形如“已知 a1,且

a n +1 =f(n) (f(n)为可求积的数列) ”的形式可通过叠 an
an an ?1 a ? ? L ? 2 ? a1 ( n ≥ 2) ; an ?1 an ? 2 a1
(n+1)· a n +1 =n· a n ,求 a n 的表达式。

乘法求数列的通项公式。即: an = 例 6、在数列{ a n }中, a1 =1, 解:由(n+1)· a n +1 =n· a n 得

a n +1 n = , an n +1

1 2 3 n ?1 1 a n a 2 a3 a 4 a = = … n = ? ? L · · n n a1 a1 a 2 a3 a n ?1 2 3 4
3、构造法

所以 a n =

1 n

当数列前一项和后一项即 a n 和 an-1 的递推关系较为复杂时, 我们往往对原数列的递推 关系进行变形,重新构造数列,使其变为我们学过的熟悉的数列(等比数列或等差数列) 。 具体有以下几种常见方法。 (1) 待定系数法 ) 、待定系数法 、 ①、一般地对于 +m(k、 为常数) an =kan-1 +m(k、m 为常数)型,可化为的形式 an +λ=k(an-1 +λ).重新

构造出一个以 为公比的等比数列 然后通过化简用待定系数法求λ 等比数列, 构造出一个以 k 为公比的等比数列,然后通过化简用待定系数法求λ,然后再求 a n 。

例 7、 (2011 广东理)设 b>0,数列 {an } 满足 a1=b, an = (1)求数列 {an } 的通项公式;
解:

nban ?1 (n ≥ 2) an ?1 + 2n ? 2 .

an ban ?1 n an ?1 + 2(n ? 1) 1 2 n ? 1 = ,得 = = + ? , n an ?1 + 2(n ? 1) an ban ?1 b b an ?1


n 2 1 = bn ,则 bn = ? bn ?1 + (n ≥ 2) , an b b
1 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2

(ⅰ)当 b = 2 时, {bn } 是以 即 bn =

1 1 1 + (n ? 1) × = n ,∴ an = 2 2 2 2

(ⅱ)当 b ≠ 2 时,设 bn + λ = 令 λ ( ? 1) = 知 bn +

2 2 2 ? (bn ?1 + λ ) ,则 bn = ? bn ?1 + λ ( ? 1) , b b b

2 b

1 1 1 2 1 ,得 λ = ,∴ bn + = ? (bn ?1 + ) (n ≥ 2) , b 2?b 2?b b 2?b

1 1 1 2 1 是等比数列,∴ bn + = (b1 + ) ? ( ) n ?1 ,又 b1 = , 2?b 2?b 2?b b b 1 2 1 1 2n ? b n nb n (2 ? b) ? ( )n ? = ? ,∴ a n = . 2?b b 2?b 2?b bn 2n ? b n

∴ bn =

这种形式,一般我们讨论两种情况: 一般我们讨论两种情况 ②、对于 an + 1 = pan + f ( n)(其中p为常数)这种形式 一般我们讨论两种情况: i、当 f(n)为一次多项式时,即数列的递推关系为 a n +1 = Aa n + Bn + C 型,可化为

a n+1 + λ1 n + λ 2 = A[a n + λ1 (n ? 1) + λ 2 ] 的形式来求通项。

例 8.设数列 {an} 中, a1 = 1, an + 1 = 3an + 2n + 1 ,求 {an} 的通项公式。 解:设 an + 1 + A( n + 1) + B = 3( an + An + B )

∴ an + 1 = 3an + 2 An + 2 B ? A
与原式比较系数得: ?

? 2A = 2 ?A =1 ?? ?2 B ? A = 1 ? B = 1

即 an + 1 + ( n + 1) + 1 = 3( an + n + 1) 令 bn = an + n + 1, 则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3

∴{bn} 是b1=3为首项,公比q=3的等比数列
∴ bn = 3 ? 3n ?1 = 3n 即:an = 3n ? n ? 1
ii、当 f(n)为指数幂时,即数列递推关系为 a n +1 = Aa n + B ? C (A、B、C 为常数, )
n

型, 可化为 a n +1 + λ ? C

n +1

= A( a n + λ ? C ) 的形式.构造出一个新的等比数列, 然后再求 a n
n n ?1

例 9.(2003 年全国高考题)设 a 0 为常数,且 a n = 3 证明:对任意 n≥1, a n =
n

? 2a n?1 ( n ∈ N * ) ,

1 n [3 + (?1) ? 2 n ] + (?1) n ? 2 n ? a 0 5
n ?1

解:证明:设 a n ? t ? 3 = ?2( a n ?1 ? t ? 3 用 an = 3
n ?1

)

? 2a n?1 代入可得 t =

1 5
5



{

3n an ? 5

}是公比为 ? 2 ,首项为 a1 ? 3 的等比数列,



an ?

3n 3 = (1 ? 2a 0 ? ) ? (?2) n ?1 ( n ∈ N * ) , 5 5

即: a n =

3 n + (?1) n ?1 ? 2 n + (?1) n ? 2 n ? a 0 5
n

当然对于 a n +1 = Aa n + B ? C 这种形式递推关系求 a n 时,当 A=C 时,我们往往也会采取 另一种方法,即左右两边同除以 Cn +1,重新构造数列,来求 a n 。 例 10、 (2007 天津理)在数列 {an } 中, a1 = 2,an +1 = λ an + λ
n +1

+ (2 ? λ )2 n (n ∈ N? ) ,其

中λ > 0. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 解:由 an +1 = λ an + λ
n +1

+ (2 ? λ )2n (n ∈ N? ) , λ > 0 ,
n

可得

λ n +1
? an ?

an +1

?2? ?? ? ?λ?

n +1

?2? = n ? ? ? +1, λ ?λ? an

所以 ?

?2? ?? ? n ?λ ? λ ? ?

n

n ? a ?2? ? 为等差数列, 其公差为 1, 首项为 0, n ? ? ? = n ? 1 , 故 所以数列 {an } ? λn ? λ ? ? ? n n

的通项公式为 an = ( n ? 1)λ + 2 . (2) 倒数法 ) 、 一般地形如 an =

an ?1 、 a n ? a n ?1 = a n ?1 ? a n 等形式的递推数列可以用倒数法将其 kan ?1 + b

变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 例 11.已知数列 {an} 满足: a1 = 1, an =

an ? 1 ,求 {an} 的通项公式。 3an ? 1 + 1 1 3an ? 1 + 1 1 解:原式两边取倒数得: = = 3+ an an ? 1 an ? 1 1 设bn = , 则bn-bn-1=3,且b1=1 an 1 ∴{bn} 是b1= 为首项,公差d=2的等差数列 3
∴ bn = 1 + (n ? 1) ? 3 = 3n ? 2
即 an =

1 3n ? 2 1 ,并且 3

例 12、 (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)在数列{ a n }中, a1 = 对任意 n ∈ N ? , n ≥ 2 都有 a n ? a n ?1 = a n ?1 ? a n 成立,令 bn =

1 (n ∈ N ? ) . an

(Ⅰ)求数列{ bn }的通项公式 ; 解: (1)当 n=1 时, b1 =

1 = 3 ,当 n ≥ 2 时, a1 1 1 ? = 1, 所以 bn ? bn?1 = 1 a n a n ?1

由 a n ? a n ?1 = a n ?1 ? a n ,等式两边取倒数得:

所以数列 {bn } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,

所以数列 {bn } 的通项公式为 bn = n + 2 (3) 对数法 ) 、 当数列 a n 和 an-1 的递推关系涉及到高次时,形如:an =
p

man-1 (其中 m、p、q 为

q

常数)等,我们一般采用对数法,等式两边分别取对数,进行降次,再重新构造数列进行求 解。 例 13、 (2006 山东)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; 解: (1)由已知 an +1 = an + 2an ,
2

∴ an +1 + 1 = (an + 1)2

Q a1 = 2
∴ an + 1 > 1 ,两边取对数得 lg(1 + an +1 ) = 2 lg(1 + an ) , lg(1 + an +1 ) 即 =2 lg(1 + an ) ∴{lg(1 + an )} 是公比为 2 的等比数列.
例 14、 若数列{ a n }中, 1 =3 且 a n +1 = a n (n 是正整数)则它的通项公式是 a n =▁▁▁ a , (2002
2

年上海高考题). 由题意知 a n >0,将 a n +1 = a n 两边取对数得 lg a n +1 = 2 lg a n ,即
2



lg a n+1 = 2 ,所 lg a n
n ?1

公比为 2 的等比数列, a n = lg a1 ? 2 lg 以数列 {lg a n } 是以 lg a1 = lg 3 为首项, 即 an = 3
2 n ?1

= lg 3 2

n ?1



.

、特征方程法 (4) 特征方程法 、

①、一般地对于形如已知 a1 = m1 , a2 = m2 , an+2=A 一般地对于形如已知 形如
法一:可用特征方程的方法求解: 我们称方程:x2-Ax-B=0 为数列的特征方程

an+1 +B an

(A、B 是常数)的 、 是常数)

二阶递推数列,我们可以采取两种方法来求通项。 二阶递推数列,我们可以采取两种方法来求通项。

(i)当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q 时,有: an = c1 ? p + c2 ? q ,其中 c1 与 c2
n n

由已知 a1 = m1 , a2 = m2 , 确定。 (ii) 当方程有唯一的实根 p 时, an = (c1 ? n + c2 ) p , 有 其中 c1 与 c2 由已知 a1 = m1 , a2 = m2 ,
n

确定。 法二:可构造成 a n + 2 ? x1a n +1 = x 2 ( a n +1 ? x1a n ) ,则{ an +1 ? x1an }为等比数列,进而 求通项公式,这种方法过程较为繁杂。 例 15、已知 a 1 =2, a 2 =3, a n + 2 = 2a n +1 ? a n ,求通项公式。 解法一:特征方程的根为 1,所以 an = (c1 n+c2)×1n

由: ?

?c1 + c2 = 2 得 c1 = c2 = 1,所以 an = n + 1。 ?2c1 + c2 = 3

解法二:设 a n + 2 ? x1a n +1 = x2 ( a n +1 ? x1a n ) ,可得 x 1 = x 2 = 1,于是{an+1-an }是 公比为 1 的等比数列,an+1-an = 1,所以 an = n + 1。

例 16.已知数列{an } 满足 a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an (n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通 项 an 。 解:其特征方程为 x 2 = 3 x ? 2 ,解得 x1 = 1, x2 = 2 ,令 an = c1 ?1n + c2 ? 2 n ,
?c1 = 1 ?a1 = c1 + 2c2 = 2 ? 由? ,得 ? 1, ?a2 = c1 + 4c2 = 3 ?c2 = 2 ? ∴ an = 1 + 2n ?1 .

例 17、 (2009 陕西卷文)已知数列 {an } 满足, a1= ’ 2 = 2, an+2= 1a

an + an +1 ,n∈ N*. 2

( Ι ) 令 bn = an+1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 解: (1)证明: b1 = a2 ? a1 = 1, 当 n ≥ 2 时, bn = an +1 ? an = 所以 {bn } 是以 1 为首项, ?

an ?1 + an 1 1 ? an = ? (an ? an ?1 ) = ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn = an +1 ? an = ( ? ) , 2
当 n ≥ 2 时, an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + L + ( an ? an ?1 ) = 1 + 1 + ( ? ) + L + ( ? )

1 2

1 2

n?2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 = 1+ = 1 + [1 ? (? ) n ? 2 ] = ? (? ) n ?1 , 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n = 1 时, ? ( ? ) = 1 = a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an = ? ( ? ) ( n ∈ N ) 。 3 3 2
本题也可以用特征方程来证明,同学们不妨自己试试。 ②、一般地形如: an +1 = 一般地形如: 形如

a ? an + b (a、b、c、d 为常数) 、 、 、 为常数) c ? an + d

可得到相应的特征方程: x = 的情况来重新构造数列。

ax + b 2 ,再将其变为 cx + ( d ? a ) x ? b = 0 ,通过该方程的根 cx + d

(i)如果方程 cx + ( d ? a ) x ? b = 0 有两个相异的实根,则有数列 ?
2

? an ? p ? a1 ? p 为 ? 是以 a1 ? q ? an ? q ?

首项,

a ? cp 为公比的等比数列; a ? cq
2

(ii) 如果方程 cx + ( d ? a ) x ? b = 0 有两个相同的实根, 则数列 ?

?

1 ? 1 为首 ? 是以 a1 ? p ? an ? p ?

项,

2c 为公差的等差数列。 a+d

例 18、 (2009 江西理 22) 各项均为正数的数列 {an } ,a1 = a, a2 = b , 且对满足 m + n = p + q 的正整数 m, n, p, q 都有 (1)当 a =

a p + aq am + an = . (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq )

1 4 , b = 时,求通项 an ; 2 5 a p + aq am + an = 得 (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq )

解: (1)由

a1 + an a2 + an ?1 1 4 = . 将 a1 = , a2 = 代入化简得 (1 + a1 )(1 + an ) (1 + a2 )(1 + an ?1 ) 2 5 an = 2an ?1 + 1 . an ?1 + 2 ax + b (a=2,b=1,c=1,d=2)化简得:x2=1 解得 x=1 和-1. cx + d

构造方程 x =

所以数列 {

1 ? an } 为等比数列, 1 + an

所以

1 ? an 1 1 ? an ?1 = ? , 1 + an 3 1 + an ?1 1 ? an 1 3n ? 1 = n , 即 an = n . 1 + an 3 3 +1 3n ? 1 满足题设条件. 3n + 1

从而:

可验证, an =

例 19 已知数列{an } 满足 a1 = 2, an = 解:其特征方程为 x =
an +1 ? 1 a ?1 = c? n an +1 + 1 an + 1

an ?1 + 2 ( n ≥ 2) ,求数列 {an } 的通项 an . 2an ?1 + 1

x+2 , 化 简 得 2 x 2 ? 2 = 0 , 解 得 x1 = 1, x2 = ?1 , 令 2x + 1

由 a1 = 2, 得 a2 =

4 1 ,可得 c = ? , 5 3

? a ? 1? a ?1 1 1 ∴ 数列 ? n ? 是以 1 = 为首项,以 ? 为公比的等比数列, 3 a1 +1 3 ? an + 1 ? a ?1 1 ? 1 ? 3n ? (?1) n ∴ n = ? ? ? ? ,∴ an = n . an + 1 3 ? 3 ? 3 + (?1) n
的关系时, 三 、当题中给出的是 Sn 和 a n 的关系时,我们一般通过作差法结合 an = Sn-Sn-1 这个通用 公式对原等式进行变形, 的递推关系, 公式对原等式进行变形,消掉 Sn 得到 a n 和 an+1 的递推关系,或消掉 a n 得到 Sn 和 Sn-1 的 递推关系,然后重新构造数列求通项公式。 递推关系,然后重新构造数列求通项公式。 例 20、2007 湖北理 19) ( 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , 且满足: 1 = a ( a ≠ 0) , n + 1 = rSn a a
n ?1

(n ∈ N*, r ∈ R, r ≠ ?1) .
(Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式; 解: (I)由已知 an +1 = rS n , 可得 an + 2 = rS n +1 ,两式相减可得

an + 2 ? an +1 = r ( S n +1 ? S n ) = ran +1 ,
即 an + 2 = ( r + 1) an +1 , 又 a2 = ra1 = ra, 所以 r=0 时, 数列 {an } 为:a,0,…,0,…; 当 r ≠ 0, r ≠ ?1 时,由已知 a ≠ 0, 所以an ≠ 0 ( n ∈ N ) ,
*

于是由 an + 2 = ( r + 1) an +1 , 可得

an + 2 = r + 1(n ∈ N ? ) , an +1

∴ a2 , a3 ,L , an + L 成等比数列, ∴当n ≥ 2时 , an = r (r + 1)n ? 2 a.

综上,数列 {an } 的通项公式为 an = ?

?an

n = 1,
n?2

?r (r + 1)

a, n ≥ 2

例 21: (2007 重庆理)已知各项均为正数的数列{ a n }的前 n 项和满足 S n > 1 ,且

6 S n = (a n + 1)(a n + 2), n ∈ N *
(1)求{ a n }的通项公式; 解:由 a1 = S1 =
1 (a1 + 1)(a1 + 2) ,解得 a1=1 或 a1=2,由假设 a1=S1>1,因此 a1=2。 6

1 1 又由 an+1=Sn+1- Sn= (a n +1 + 1)(a n +1 + 2) = (a n + 1)(a n + 2) , 6 6

得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项为 an=3n-2。 例 22.(2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 = 1, S n +1 = 4an + 2 (I)设 bn = an +1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: I) a1 = 1, 及 S n +1 = 4an + 2 , a1 + a2 = 4a1 + 2, a2 = 3a1 + 2 = 5,∴ b1 = a2 ? 2a1 = 3 ( 由 有 由 S n +1 = 4an + 2 ,. ..① 则当 n ≥ 2 时,有 S n = 4an ?1 + 2 ...② ..

②-①得 an +1 = 4an ? 4an ?1 ,∴ an +1 ? 2an = 2( an ? 2an ?1 ) 又Q bn = an +1 ? 2an ,∴ bn = 2bn ?1 ∴{bn } 是首项 b1 = 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn = an +1 ? 2an = 3 ? 2
n ?1

,∴

an +1 an 3 ? = 2n +1 2 n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4 a 1 3 3 1 ∴ n = + (n ? 1) = n ? , an = (3n ? 1) ? 2n ? 2 n 2 2 4 4 4
∴ 数列 {
四、猜想法 当我们在求数列通项时没想到比较好的方法时,猜想法不失为一种权宜之计。 当我们在求数列通项时没想到比较好的方法时,猜想法不失为一种权宜之计。运用 猜想法解题一般涉及到三个步骤: ……, 猜想法解题一般涉及到三个步骤: 1)利用所给的递推式求出 a1 , a2 , a3 , ……, 2)猜想出 一般涉及到三个步骤 ( ( 用数学归纳法证明猜想是正确的。 满足递推式的一个通项公式 an , 3)用数学归纳法证明猜想是正确的。 ( ( 例 23、 2007 天津理)在数列 {an } 中, a1 = 2,an +1 = λ an + λ
n +1

+ (2 ? λ )2 n (n ∈ N? ) ,其

中λ > 0. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 解: a2 = 2λ + λ + (2 ? λ )2 = λ + 2 ,
2 2 2

a3 = λ (λ 2 + 22 ) + λ 3 + (2 ? λ )2 2 = 2λ 3 + 23 , a4 = λ (2λ 3 + 23 ) + λ 4 + (2 ? λ )23 = 3λ 4 + 24 .
由此可猜想出数列 {an } 的通项公式为 an = ( n ? 1)λ + 2 .
n n

以下用数学归纳法证明. (1)当 n = 1 时, a1 = 2 ,等式成立. (2)假设当 n = k 时等式成立,即 ak = ( k ? 1)λ + 2 ,
k k

那么 ak +1 = λ a1 + λ

k +1

+ (2 ? λ )2k = λ (k ? 1)λ k + λ 2k + λ k +1 + 2 k +1 ? λ 2 k

= [(k + 1) ? 1]λ k +1 + 2 k +1 .
这就是说,当 n = k + 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 an = ( n ? 1)λ + 2 对
n n

任何 n ∈ N 都成立. 总结:数列通项的求解是高考考查的重点。随着素质教育的推行和新课程改革, 总结:数列通项的求解是高考考查的重点。随着素质教育的推行和新课程改革,近年来高 考试题的难度有所降低,所以数列通项的求解也不会太繁杂,同学们谨记: 考试题的难度有所降低,所以数列通项的求解也不会太繁杂,同学们谨记:较为简单的试 题我们往往直接用等差或等比数列公式就能求出数列的通项公式 数列的通项公式, 题我们往往直接用等差或等比数列公式就能求出数列的通项公式,稍微复杂的试题往往需 要对数列进行变形和重新构造再进行求解,当然实在没办法的话,同学们不妨试试猜想法。 变形和重新构造再进行求解 实在没办法的话 要对数列进行变形和重新构造再进行求解,当然实在没办法的话,同学们不妨试试猜想法。

?


推荐相关:

史上最全的数列通项公式的求法15种

而作为给出 数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式常用方法。 ◆一、直接法根据数列的特征,使用作差法等直接写出通...


求数列通项公式常用的七种方法

数列通项公式常用的七种方法_数学_高中教育_教育专区。求数列通项公式常用的七种方法林彩凡 山东省东阿县实验高中 252200 一、公式法:已知或根据题目的条件能够...


高中数列的通项公式的几种常用求法

高中数列通项公式的几种常用求法 数列是高考的必考内容, 也是同学们比较怕的一个知识点。 其实归结起来数列常考的就 三个知识点:等差等比数列性质的应用、求...


数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式常用求法及构造法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列 数列通项公式的常用求法 构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、...


数列通项公式的九种求法

祝您成功! 数列通项公式的九种求法 各种数列问题在很多情形下, 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强 的数列问题中, 数列通项公式的求解问题往...


高中数学必修五 数列通项公式常见求法

高中数学必修五 数列通项公式常见求法_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五 求数列通项公式的方法 1. 叠加法 an?1 ? an ? f (n) ,且 f (1) ? f...


高一数列通项公式常见求法

数列通项公式常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列, 当题中已知数列是等差或等比数列, 在求其通项公 式时我们就可以直接利用等差或等比数列的...


史上最全的数列通项公式的求法15种

而作为给出 数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式常用方法。 ◆一、直接法 根据数列的特征,使用作差法等直接写出...


数列通项公式的求法常见四种方法

数列通项公式求法常见四种方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列通项公式求法集锦一、累加法 形如 an ? an?1 ? f (n) (n=2、3、4…...) ...


常见数列通项公式的求法 最新人教版

常见数列通项公式求法 最新人教版_数学_高中教育_教育专区。常见数列通项公式求法 1.利用等差等比数列通项公式 例 1 :设 {an } 是等差数列, {bn } 是...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com