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高考复习专题--线性规划


2010 高考复习专题——简单的线性规划
第一章 基础知识

(1)二元一次不等式表示的平面区域 设直线 Ax ? By ? C ? 0 ,若 A ? 0 ,则直线 Ax ? By ? C ? 0 左侧的区域为不等式

Ax ? By ? C ? 0 表示的区域,右侧为不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的区域; (从极限角度去
理解,左侧 x 的极限是负无穷大) ,若 A ? 0 ,则相反;也可从系数 B 的角度去分析,此法可 快速确定平面区域 例:画出不等式 3x ? 2 y ? 2 ? 0 表示的平面区域

注意:若不等式为 " ? "," ? " ,则直线画成实线,意为包括直线上的点,否则画虚线 ? 练习 快速确定下列不等式表示的平面区域:

2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 2 x ? y ? 4 , x ? 2, y ? ?4
(2)二元一次不等式组表示的平面区域 即不等式组内所有不等式所表示平面区域的交集,技巧是逐个取交集

第二章
第一类

题型总结
求线性目标函数的最值

此类型为最基本的题型,目标函数为 z ? ax ? by 型的, 解法 (1)图解法;化为 y ? ?

a 1 x ? z ,若 b ? 0 ,z 与该直线在 y 轴上的截距成正比,b ? 0 则 b b

成反比,从图像上观察直线的截距大小情况即可; (2)边界点法:目标函数的最值必在可行域的顶点处取得,因此只需求出可行域的顶点, 将其坐标依次带入目标函数中计算,比较大小即可

? x ? 4 y ? ?3 ? 例、设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z ? 5x ? 2 y 的最值 ? x ?1 ?
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解:可行域是如图所示中 ?ABC 的区域,得 A(5,2),B(1,1),C(1, 作出直线 L0:5x+10y=0,再将直线 L0 平移 当 L 经过点 B 时,y 轴截距最小,即 z 达到最小值,得 zmin ? 7 当 L 经过点 A 时,y 轴截距最大,即 z 达到最大值,得 zmax ? 29 所以最大值是 29,最小值是 7

22 ) 5

? 针对练习
? x ? y ≥ 0, ? 1、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, z ? 2 x ? y 的最大值为 则 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
? x ? y ? ?1, ? 2、 (天津理 2) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值 ( ?3x ? y ? 3, ?
A.4

.9

)

B.11

C.12

D.14

? x ? y ? ?1, ? 3、天津文 2) ( 设变量 x, y 满足条件 ? x ? y ? 4,则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ( ?y ? 2 ?
A.10 B.12



C.13

D.14

?x ? y ?1 ? 0 ? 4、 2006 年安徽卷) ( 如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. 2

, 那么 2x ? y 的最大值为 (



B. 1

C. ?2

D. ?3

? y?x ? 5、 (2006 年天津卷)设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最 ? y ? 3x ? 6 ?
小值为( A. 2 ) B. 3 C. 4 D. 9

? 2 x ? y ? 4, ? 6、 (2009 宁夏海南卷文)设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值

(B)有最小值 2,无最大值
(D)既无最小值,也无最大值 w.w.w

第二类

求可行域的面积
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关键是准确画出可行域, 根据其形状来计算面积, 基本方法是利用三 角形面积,或切割为三角形
? x ? y ? 2 ? 0, ? 例 ( 06 年浙江卷)不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ( ?x ? 2 ?
(A)4 2 (B)4 (C)2 2 (D)2 )

解:可行域是 A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形,易得面积为 4

?

针对练习


?2 x ? 3 y ? 6, ? 1、不等式组 ? x-y ? 0, 表示的平面区域的面积为 ? y ? 0. ?

? 2 x ? y ? ?1 ? 2、不等式组 ?3 x ? 2 y ? 23 表示的平面区域的面积为 ?y ?1 ?
则 z 的最大值为____________。



?x ? y ?1 ? 0 ? 3、不等式组 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

表示的平面区域的面积为



?x ? 0 4 4、 (2009 安徽卷理)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为 ? 3 ?3 x ? y ? 4 ?
面积相等的两部分,则 k 的值是 ( )

7 (A) 3

3 (B) 7

4 (C) 3

(D)

3 4

?x ? y ?1 ? 0 ? 5、 (2009 福建卷文)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
示的平面区域内的面积等于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 说明 1、 1

D. 3

9 5

2、 (3,7)(0,0)(3,7)构成的三角形,面积为 11 , ,

3、

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4 ) , 3 4 1 4 4 S? ABC ? (4 ? ) ?1 ? ,设 y ? kx ? 与 3x ? y ? 4 的 3 2 3 3 1 2 1 5 交点为 D,则由 S ?BCD ? S ?ABC ? ,知 xD ? ,∴ y D ? 2 3 2 2 5 1 4 7 ∴ ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3
4、A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0,

第三类

距离型目标函数

考 查 可 行 域 内 的 点 与 某 点 之 间 的 距 离 , 目 标 函 数 形 式 为 “ z ? x2 ? y 2 ,
z ? x 2 ? y 2 , z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ” 。

? 针对练习
? x ? 2 y ? 10 ? 2x ? y ? 3 ? 1、 (山东理 14)设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P( x, y) 到直线 0? x?4 ? ? y ?1 ?
x ? y ? 10 距离的最大值是_______.
?x ? y ≤ 3 2 2 2. 设 x 、 y 满足条件 ? y ≤ x ? 1 ,则 z ? ( x ? 1) ? y 的最小值 ? ?y≥0 ?



?x ? 1 ?y ?1 ? 3、若 M , N 是 ? 表示的区域内的不同两点,则 | MN | 的最大值是 .. x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? y ? 6 ?
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?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4、 如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上, Q 在曲线 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1上, 那么| PQ | 的 点 ? 2y ?1 ? 0 ?
最小值为( (A) ) (B)

3 2

4 5

?1

(C) 2 2 ? 1

(D) 2 ? 1

?x ? y ? 4 ? 5、已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最大值等于 ? x ?1 ?
_______,最小值等于____________.

? x ? 1, ? 2 2 6、 ( 2006 年湖南卷)已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
说明 1、 4 2. 2、4 3、 17 5、 10, 2 6、 10, 2

.

第四类

斜率型目标函数
y y ? y1 型的,几何意义是可行域内的点与定点(0, x x ? x1

目标函数为 ,

0),( x1 , y1 )连线的斜率
?x ? y ? 2 ? 0 y ? 例设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
8 2 3 3 3 最大值为 2 7 3 2 2 3 2
.

可行域是以 A( , ) 、 B ( , ) 、 C (1, ) 为顶点的三角形,易得所求

? 针对练习
? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? 1、 辽宁文理 8) (07 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是 ( ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
A. [ , 6 ] )

9 5

B. ? ??, ? ? ? 6, ? ? ?

? ?

9? 5?

C. ? ??, ? ?6, ?? 3? ?

6] D. [3,

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?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 2、 设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. [1,5]
B [2, 6]

C. [3,10]

D [3,11]

? y?x y ?1 ? 3、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 最小值为 x ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9



1 2

第五类

参数问题

参数可能出现在目标函数中,也可能出现在不等式中
例 ( 2006 年重庆卷)已知变量 x, y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4, ?2 ? x ? y ? 2 ,若目标函 数 z ? ax ? y (其中 a>0)仅在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取值范围为 a ? 1 解:画出可行域,图中黄色四边形,目标函数与直线在 Y 轴截距成正比,故要使目标函数 最大值在 D(3,1)处取得,直线斜率必须小于-1,即 ?a ? ?1 , 故 a>1

? 针对练习
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? y ≥ 1, ? 1.(08 陕西卷 10)已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小 ? x ? y ≤ m. ?

值为 ?1 ,则实数 m 等于( A.7 B.5 C.4

) D.3

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 2、 (北京理 6)若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a ?
( ) A. a ≥

4 3

B. 0 ? a ≤1

C. 1 ≤ a ≤

4 3

D. 0 ? a ≤1 或 a ≥

4 3

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 3、如果实数 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0 ,目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 12,最小值为 3, ?x ? 1 ?
那么实数 k 的值为 2

?y ? x ? 4、使函数 f ( x ) ? ?3 y ? x 的目标函数 z ? ax ? by(ab ? 0) ,在 x ? 2, y ? 2 取得最大值的 ?x ? y ? 4 ?
充要条件是 A

| a |? b

B

| a |?| b |

C

| a |? b

D

| a |?| b |

?x ? 0 ?y ? 0 ? 5、 (2006 年广东卷)在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的 x? y? s ? ? y ? 2x ? 4 ?
最大值的变化范围是( ) A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

说明 4、A(2,2)为直线 y=x 和 x+y=4 的交点, z ? ax ? by 过 A 取最大值, 即直线 y ? ?

a z x ? 在 y 轴上的载距最大,其充分必要条件是 b ? 0, 且 b b

?1 ? ?

a ? 1 即 | a |? b , 。选 A。 b

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5、解:由 ?

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 交点为 B(4 ? s, 2s ? 4), ,且 A(2,0) ,C(0,S) ; ?? ? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4

(1) 当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC,此时,Z 最大值在 B 处取得,Z max ? 3(4-s) +2(2s-4)=4+s, 可得 7 ? Zmax ? 8 (2) 当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? , 此时 Z 最大值在 C ‘处取得, (0, ) zx C’ 4 , m a 故选 D.

?8

第六类

应用题

例 (2007 山东文) 某公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用 不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万 元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益 是多少万元? 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,

? x ? y ? 300, ? 由题意得 ?500 x ? 200 y ? 90000, 目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y . ? x ? 0,y ? 0. ? ? x ? y ? 300, ? 不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ? 900, 可行域如图所示. ? x ? 0,y ? 0. ?
作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线

l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.
联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

200) ? 点 M 的坐标为 (100, . ? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大, 最大收益是 70 万元.
2010 高考复习专题——简单的线性规划 第 8 页 共 11 页

? 针对练习
1、某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目 乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万 3

元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两 个项目上共可获得的最大利润为( ) (A)36 万元 (B)31.2 万元 (C)30.4 万元 (D)24 万元 2、(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备 甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .k.s.5.u.c.o.m

说明

? x ? y ? 60, ? 2 ? z ? 0.4 x ? 0.6 y .对甲项目投资 24 万元, 1、 设对甲、乙投资 x,y 万元,则 ? x ? y, 3 ? ? x ? 5,y ? 5. ?
对乙项目投资 36 万元,可获最大利润 31.2 万元. 2、设甲设备生产 x 天, 乙设备生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则 z ? 200 x ? 300 y ,

? 6 ? 5 x ? 6 y ? 50 ? x ? 5 y ? 10 ? ? ?10 x ? 20 y ? 140 ,即: ? x ? 2 y ? 14 ,在(4,5)取得最低为 2300 元. w.w.w ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0 ?

第七类

隐形线性规划问题

线性约束条件是隐形的,需要进行转化得到
例 (07 江苏 10) 在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且 )

x ? 0, y ? 0} ,则平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为(
A. 2 B. 1 C.

1 2

D.

1 4

2010 高考复习专题——简单的线性规划 第 9 页 共 11 页

u ? v ?u ? 1 ? ?x ? 2 ?u ? x ? y ? ? ?? ,? ?u ? v ? 0 ,作出区域是等腰直角三角形,可求出面积 解析:令 ? ?v ? x ? y ? y ? u ? v ?u ? v ? 0 ? ? ? 2
s? 1 ? 2 ?1 ? 1 2

针对练习

? x ? 0, ? 3、 (08 浙江卷 17)若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐 ?x ? y ? 1 ?
标点 P( a ,b)所形成的平面区域的面积等于____________。1 说明

第八类

知识点交汇问题

与不等式,函数,向量等知识进行综合命题

2010 高考复习专题——简单的线性规划 第 10 页 共 11 页



? x ? 4 y ? 3 ? 0, ??? ? ? 已知:点 P 的坐标(x,y)满足: ?3 x ? 5 y ? 25, 及 A(2,0) ,则| OP |·cos∠AOP ? x ? 1 ? 0. ?
.

(O 为坐标原点)的最大值是

??? ??? ? ? ??? ? ? x ? 4 y ? 3 ? 0, 解:| OP |? ?AOP 即为 OP 在 OA 上的投影长,由 ? ? M (5, ),故所求最大 2 cos ?3x ? 5 y ? 25
值为 5

? 针对练习
? 3x ? y ? 0 ? OA ? OP ? 1、 已知 A(3, 3 ) 为原点,点 P( x, y )的坐标满足? x ? 3 y ? 2 ? 0, 则 ,O 的 | OA | ?y ? 0 ? ?
最大值是 ,此时点 P 的坐标是 . 15. 3; (1, 3)

?x ? y ? 4 ? y x 2、x, y 满足条件 ? y ? x , 那么 ? 的最大值等于_______,最小值等于____________. x y ? x ?1 ?
?3x ? y ? 6 ? 0 ? 3、(09 山东理)x,y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 , 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12, ? x ? 0, y ? 0 ?
2 3 ? 的最小值为( a b 25 8 A. B. 6 3
则 ). C.

11 3

D. 4

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