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江门市2014届高三普通高中调研测试数学(文)


江门市 2014 届普通高中高三调研测试 数 学(文科)试 题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ⒈ i 是虚数单位, i A. i
2013

?
C. 1 D. ? 1

B. ? i

⒉已知函数 f ( x) ? log 2 x 的定义域为 M , N ? x | x ? x ? 2 ? 0 ,则 M ? N ?
2

?

?

A. ?? 1 , 2?

B. ?? 2 , 1?

C. ?1 ?

D. ? 2 ?

⒊已知平面向量 a ? (?1 , 2) , b ? (2 , m) ,若 a ? b ,则 m ? A. 4 A. f ( x) ? tan x B. ? 4 C. 1
?x

D. ? 1 C. f ( x ) ? D. f ( x) ? x

⒋ 下列函数中,偶函数是 B. f ( x) ? 2 ? 2
x

x

3

⒌ a 、b? R , “ a ? b ”是“ a ? b ? 2ab ”成立的
2 2

C

A.充要条件 C.必要非充分条件

B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

D B P
图1

⒍如图 1,四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 水平放置, PB ? 平面 ABCD ,

CB ? 平面 PAB , AD // BC ,且 AD ? BC ,则四棱锥 P ? ABCD 的正视图是

A

A. A. m ? ? B. m // ?

B. C. m ? ?
2

C.

D.

⒎已知平面 ? 、 ? 和直线 m ,若 ? ? ? , m ? ? ,则 D. m // ? 或 m ? ?

? ⒏已知数列 ?a n ?( n ? N )的前 n 项和 S n ? ?n ? 1 ,则 a 6 ?

A. 11

B. ? 11

C. 13

D. ? 13

⒐在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2 B ,则 A. (0 , 2) B. ( 2 , 2)

c 的取值范围是 b
C. ( 2 ,

3)

D. (1 ,

3)

⒑在平面向量上定义运算 ? : (m , n) ? ( p , q) ? (mq , np) 。任意 a ? ( x1 , x 2 ) , b ? ( y1 , y 2 ) ,

c ? ( z1 , z 2 ) ,下列关于向量模长的等式中,不成立 的是 ...
A. | b ? a |?| a ? b | C. | ( a ? b ) ? c |?| b ? ( a ? c ) | B. | ( a ? b ) ? c |?| b ? ( c ? a ) | D. | ( a ? b ) ? c |?| c ? ( a ? b ) |

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二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) ⒒ log 3 2 . log 2 3 (填“ ? ”或“ ? ” ) . .

⒓已知命题 p :有的梯形是等腰梯形。则 ? p : ⒔经过点 P(1 , ? 1) 且与圆 x ? ( y ? 2) ? 2 相切的直线的方程是
2 2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

y2 ⒕双曲线 x ? ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4,那么点 P 到另一个焦点的距离等 16
2





⒖如图 2 给出了 3 层的三角形,图中所有点的个数 S 3 ? 10 。 按其规律再画下去,可以得到 n 层的三角形, S n ? .

? ? ?
图2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字 说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) , x ? R .⑴ 求 f ( x) 的最小正周期 T ;
⑵ 求 f ( x) 的最大值,并求 f ( x) 取最大值时自变量 x 的集合.

⒘(本小题满分 14 分)如图 3,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,AC⊥BC,D 是棱 AA1 的中点, AA1=2AC=2BC=2 a ( a ? 0 ) .⑴ 证明:C1D⊥平面 BDC; ⑵ 求三棱锥 C-BC1D 的体积.

图 3

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⒙ (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 2 , 点 (a n , a n ?1 ) 都在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. ⑴ ?n ? N ? , 证明:数列 ?a n ? 1?是等比数列;⑵ 求数列 ?a n ?的通项公式;⑶ 求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n .

⒚(本小题满分 12 分)甲、乙两校计划周末组织学生参加敬老活动,甲校每位同学往返车费是 5 元,每 人可为 3 位老人服务,乙校每位同学往返车费是 3 元,每人可为 5 位老人服务。两校都有学生参加,甲校 参加活动的学生比乙校至少多 1 人,且两校同学往返总车费不超过 45 元。如何安排甲、乙两校参加活动 的人数,才能使受到服务的老人最多?受到服务的老人最多是多少?

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⒛(本小题满分 14 分)已知抛物线 ? 1 : y ?

x2 y2 1 2 x 的焦点 F 在椭圆 ? 2 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上, 4 a b

直线 l 与抛物线 ? 1 相切于点 P(2 , 1) ,并经过椭圆 ? 2 的焦点 F2 . ⑴ 求椭圆 ? 2 的方程; ⑵ 设椭圆 ? 2 的另一个焦点为 F1 ,试判断直线 FF1 与 l 的位置关系。若相交,求出交点坐标;若平 行,求两直线之间的距离.

21(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 , x ? R , a 是常数. 3

⑴ 当 a ? ?8 时,求 f ( x) 的单调区间; ⑵ 证明, ?a ? (?24 , ? 10) ,函数 f ( x) 在区间 [?4 , 4 ] 上有且仅有一个零点.

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评分参考 一、选择题 ADCBA DDBCB 二、填空题⒒ ? ⒓每个梯形都不是等腰梯形(意思相同均给 5 分) ⒖ ⒔ x ? y ? 0 ⒕ 6 (填“ 6 或 2 ”

(n ? 1)( n ? 2) 2 三、解答题⒗解:⑴ f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ??2 分 ? 2? ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ??4 分, T ? ? ? ??5 分 4 2 ⑵由⑴知 f ( x) 的最大值 M ? 2 ? 1 ??7 分
给 3 分,其他给 0 分)

f ( x) ? 2 ? 1 时, sin(2 x ?
所以 2 x ?

?
4

) ? 1 ??8 分,

⒘证明与求解:⑴依题意,BC⊥CC1,BC⊥AC,AC∩CC1=C,所以 BC⊥平面 ACC1A 1??3 分,C1D ? 平 面 ACC1A 1,所以 BC⊥C1D??4 分 A1C1=A1D=AD=AC,所以 ?A1 DC1 ? ?ADC ? 所以 ?C1 DC ?

, k ? Z ??11 分, ( “ k ? Z ”1 分) 2 8 ? ? ? 所求自变量 x 的集合为 ? x | x ? k? ? , k ? Z ? ??12 分 8 ? ?

?

4

? 2k? ?

?

, x ? k? ?

?

?

?
2

4

??5 分,

,C1D⊥DC??6 分,

因为 BD∩CD=C,所以 C1D⊥平面 BDC??7 分, ⑵三棱锥 C-BC1D 即三棱锥 C1-BCD,由⑴知 BC⊥CD??8 分, 所以△BCD 的面积 S ?

1 2 2 ? BC ? CD ? a ??10 分 2 2

由⑴知,C1D 是三棱锥 C1-BCD 底面 BDC 上的高, ,其体积

1 2 2 1 1 1 a ? 2a ? a 3 ??14 分 Sh ? ? S ? C1 D ??12 分, ? ? 3 2 3 3 3 ⒙证明与求解:⑴依题意, a n ? 2a n ?1 ? 1 ? 0 ??2 分, 1 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) , an?1 ? 1 ? (a n ? 1) ??4 分, 2 a1 ? 1 ? 1 ? 0 ??5 分,所以,数列 ?a n ? 1?是等比数列??6 分 1 n ?1 1? n ⑵由⑴得 a n ? 1 ? 1 ? ( ) ??8 分,所以 a n ? 1 ? 2 ??9 分 2 0 ?1 ?2 1? n ⑶ S n ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) ??10 分

V?

? n ? (2 0 ? 2 ?1 ? 2 ?2 ? ? ? 21?n ) ??12 分

1 ? 2 ?n 1?n ??13 分, ? n ? 2 ? 2 ??14 分 1 ? 2 ?1 ⒚解:设甲、乙两校参加活动的人数分别为 x 、 y ??1 分, 受到服务的老人的人数为 z ? 3x ? 5 y ??2 分, ? n?
?x ? y ? 1 依题意, x 、 y 应满足的约束条件为 ? ?5 x ? 3 y ? 45 ??6 分 ?x , y ? N * ?
可行域为图中阴影部分中的整点,画直线 l 0 : 3x ? 5 y ? 0 ,并向右上方平移 l 0 到 l ,当 l 经过可

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行域的某点,且可行域内其他点都在直线 l 的、包含直线 l 0 的同一侧时,这一点的坐标使目标函数取最 大值??7 分 解方程组 ? 得?

?x ? y ? 1 ??8 分, ?5 x ? 3 y ? 45

?x ? 6 ??9 分, ?y ? 5 M (6 , 5) 满足约束条件,因此,当 x ? 6 , y ? 5

时, z 取最大

值??10 分

z max ? 3 ? 6 ? 5 ? 5 ? 43 ??11 分。
答:甲、乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时,受到服务的老人最多,最多为 43 人。??12 分 ⒛解:⑴抛物线 y ? 依题意

1 2 x 即 x 2 ? 4 y 的焦点 F (0 , 1) ??2 分, 4

0 1 ? 2 ? 1 ,解得 b ? 1 ??3 分, 2 a b 1 / 切线的斜率 k ? y ? x | x ?2 ? 1 ??4 分, 2 切线 l 方程为 y ? 1 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 1 ? 0 ??5 分, 依题意, c ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 c ? 1 ??6 分,
所以 a ?

b 2 ? c 2 ? 2 ??7 分, x2 ? y 2 ? 1 ??8 分 椭圆 ? 2 的方程为 2 ⑵由⑴得 F1 (?1 , 0) ??9 分, y ? 0 x ? (?1) 直线 FF1 的方程为 ??10 分,即 x ? y ? 1 ? 0 ??11 分, ? 1 ? 0 0 ? (?1) 因为 k FF1 ? k ? 1 ,且 F1 (?1 , 0) 不在直线 l 上,所以直线 FF1 // l ??12 分,

FF1 与 l 之间的距离即为 F (0 , 1) 到直线 l 的距离
d ? | 0 ?1?1| 12 ? 12 ?
/

2 ??14 分(列式 1 分,求值 1 分)
2

21 解:⑴ a ? ?8 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 8 ??1 分, 解 f ( x) ? 0 得 x1 ? ?4 , x2 ? 2 ??2 分,
/

当 ? ? ? x ? ?4 时, f ( x) ? 0 ;当 ? 4 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 2 ? x ? ?? 时, f ( x) ? 0 ??5 分, 所以, f ( x) 的单调递减区间为 [?4 , 2] ,单调递增区间为 (?? , ? 4) 和 (2 , ? ?) ??6 分 ⑵(方法一) ?a ? (?24 , ? 10) , f (?4) ? ? 13 ? 4a ? ? 13 ? 40 ? 0 ??7 分, 3 3 115 115 ?? 8 分, f (4) ? ? 4a ? ? 40 ? 0
/ / /

因为 y ? f ( x) 在区间 [?4 , 4 ] 上是连续不断的曲线,且 f (?4) ? f (4) ? 0 , 所以 f ( x) 在区间 [?4 , 4 ] 上有零点??9 分 解 f ( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 ( a ? (?24 , ? 10) )得 x1 ? ?1 ? 1 ? a ? ?4 (舍去) ,
/ 2

3

3

x 2 ? ?1 ? 1 ? a ? (?4 , 4) ??10 分,
/ 当 ? 4 ? x ? ?1 ? 1 ? a 时, f ( x) ? 0 ??11 分;

当 ? 1 ? 1 ? a ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ??12 分
/

因为 f (4) ? 0 , 所以 ?x ? [?1 ? 1 ? a , 4 ] ,f ( x) ? 0 ,f ( x) 在区间 [?1 ? 1 ? a , 4 ] 上无零点?? 13 分

第 6 页 共 7 页

f (?4) ? f (?1 ? 1 ? a ) ? 0 , f ( x) 在 [?4 , ? 1 ? 1 ? a ] 上单调减少,所以 f ( x) 在区间

[?4 , ? 1 ? 1 ? a ] 上有且只有一个零点,从而在区间 [?4 , 4 ] 上有且只有一个零点??14 分。
(方法二) f ( x) ? x ? 2 x ? a ,解 f ( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 得
/ 2 / 2

x1 ? ?1 ? 1 ? a ? ?4 (舍去) , x 2 ? ?1 ? 1 ? a ? (?4 , 4) ??7 分
/ 当 ? 4 ? x ? ?1 ? 1 ? a 时, f ( x) ? 0 ??8 分; / 当 ? 1 ? 1 ? a ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ??9 分

因为 f (4) ?

所以 ?x ? [?1 ? 1 ? a , 4 ] , f ( x) ? 0 , f ( x) 在区间 [?1 ? 1 ? a , 4 ] 上无零点??11 分。 因为 f (0) ? 1 ? 0 ??12 分,

115 115 ? 4a ? ? 40 ? 0 ??10 分, 3 3

f (0) f (?1 ? 1 ? a ) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 [0 , ? 1 ? 1 ? a ] 上有零点??13 分。
因为 f ( x) 在 [?4 , ? 1 ? 1 ? a ] 上单调减少, 所以 f ( x) 在区间 [?4 , ? 1 ? 1 ? a ] 上有且只有一个零 点,从而在区间 [?4 , 4 ] 上有且只有一个零点??14 分。

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