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数列求和(公开课)


数列求和

复习:数列求和的常用方法
一、公式法
1. 等差数列求和公式:

n?a1 ? an ? n?n ? 1? Sn ? ? na1 ? d 2 2

2. 等比数列求和公式:

?q ? 1? ? na1 ? S n ? ? a1 1 ? q n a1 ? a n q

?q ? 1? ? 1? q ? 1? q ?

?

?

注:对于已知或可化为等差数列、等比数列直接代 公式进行求和。

3.常见数列的前n项和公式 n(n ? 1) 1? 2 ? 3 ??? n ? 2

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n2 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n(n+1)
n(n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ; 6 n(n ? 1) 2 3 3 3 3 1 ? 2 ? 3 ??? n ? [ ] 2
2 2 2 2

倒序相加法

如果一个数列{an},与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和 (都相等,为定值),可采用把正 着写和与倒着写和的两个和式相加, 就得到一个常数列的和,这一求和 的方法称为倒序相加法.

类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……

1 练习:设f ? x ? ? x ,求 2 ? 2 f ? ?5? ? f ? ?4 ? ? ? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? ? ? f ? 5? ? f ? 6 ?的值。

复习:等比数列前n项求和公式的推倒过程
推导公式

已知: n 等比数列 { n}, 1,q,

a a

求:Sn 解:Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q ? a1q

s

2

? a1q3 ???? ? a1qn?1 ? a1qn
若q=1,
n

(1-q)Sn=

a -a qn
1 1

Sn ? na1
1

作 减 法

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q
注意:此时q≠1

∴ Sn=

{

a (1-q )
1-q

n

(q=1)
(q=1)

n· 1 a
通项公式:

q n-1 an=a1?

思考:
求和:S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n . n n

设 (提示: a n ? 2 n ? n ? 2 n

8 16 1 答案:sn= 2 ? n?1 n 1 2

2

4

2

,其中?n?为等差数列,

1 ?1? ? n ? 为等比数列,公比为 2 ?2 ?

,利用错位相减法求和.)

归纳:
反思推导求和公式的方法——错位相减法, 可以求形如 ?xn ? yn ? 的数列的和,其中 ?xn ? 为 等差数列, ?yn ? 为等比数列.

1 2 n 变式、求和: S n ? ? 2 ? ? ? n a a a
【解析】 (1)a=1 时,Sn=1+2+?+n= n(n+1) ; 2 1 2 3 n (2)a≠1 时,Sn= + 2+ 3+?+ n① a a a a n-1 1 1 2 n Sn= 2+ 3+?+ an + n+1② a a a a 由①-②得

1 1 1 1 1 n (1-a)Sn=a+ 2+ 3+?+an- n+1 a a a 1 1 (1-an) a n = - n+1, 1 a 1-a n a(a -1)-n(a-1) ∴Sn= . n 2 a (a-1) 综 上 所 述 , Sn
?n(n+1) ? ? 2 ? n ?a(a -1)-n(a-1) n 2 ? a (a-1) ?



(a=1) . (a≠1)

? 错位相消法: ? 给各边同乘以一个适当的数或式,然 后把所得的等式和原等式相减,对应项相 互抵消,最后得出前项和.一般适应于数列 的前项求和,其中成等差数列,成等比数 列。

错位相减法
例1、数列 an }中a1 ? 3,已知点(an , an ?1)在 { 直线y ? x ? 2上, ( )求数列 an }的通项公式; 1 { (2)若bn ? an ? 3 , 求数列 bn }的前n项的和Tn . {
n

1.一般地,如果数列{an}是等差 数列,{bn}是等比数列,求数列{an·n}的前 b n 项和时,可采用错位相减法. 2.用乘公比错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列 公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特 别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“Sn-qSn”的表达式.

利用错位相减法求和时,转化为等比 数列求和.若公比是个参数(字母), 则应先对参数加以讨论,一般情况下 分等于1和不等于1两种情况分别求和.

题型三、裂项相消法
1 2 n 例2、在数列 an }中,an ? { ? ?? ? , n ?1 n ?1 n ?1 2 又bn ? , 求数列{bn }的前n项和。 an ? an ?1
【思考】 用裂项相消法求数列前n项和

的前提是什么?
【提示】 裂项相消法的前提是将数列的每一项 拆成二项或多项,使数列中的项出现 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。

常见的拆项公式有:
1 1 1 1. ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 2. ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 3. ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 4. ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

1 5. ? ( n ? k ? n) n ? n?k k

1

利用裂项相消法求和时,应注意: ①将通项公式裂项后,有时候需要 调整前面的系数,使裂开的两项之 差和系数之积与原通项公式相等. ②抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项,也有可能前面剩两项, 后面也剩两项,

课堂诊断
1 1 1 1 . 数 列 , , , ? , 2· 5 5· 8 8· 11 1 ,?的前 n 项和为( B ) (3n-1)· (3n+2) n n A. B. 3n+2 6n+4 n+1 3n C. D. 6n+4 n+2

反思小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式 2.错位相减法:如果一个数列的各项是由 一个等差数列与一个等比数列对应项乘积 组成,此时求和可采用错位相减法.

3.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之 差,即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差,在求和时一些正负项相互抵消, 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和, 这一求和方法称 为裂项相消法.


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