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北京市昌平区2010~2011学年第一学期高三数学(理科)期末统考统阅试卷


昌平区 2010-2011 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数 考生注意事项:
1、 本试卷共 6 页, 分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2、答题前,考生务必将学校、姓名、考试编号填写清楚。答题卡上第一部分(选择题) 必须用 2B 铅笔作答,第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以使用

2B 铅笔。 3、修改时,选择题用塑料橡皮擦干净,不得使用涂改液。请保持卡面整洁,不要折叠、 折皱、破损。不得在答题卡上作任何标记。 4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域作答或超出答题 区域的作答均不得分。





卷(理科)

2011.1

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项.)

1. 已知全集 U ? R ,集合 M={x| x<3},N = { x| x ? 2 } 那么集合 A. ? 2. B. {x| x ? 2 0<x<3}

M ? (CU N ) 等于
D. {x | 2<x<3}

C. {x | 2 ? x ? 3 }

sin

23? 等于 6

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

3. 已知向量 a = (6, 2 ) ,向量 b = (x ,3 ) ,且 a // b , 则 x 等于 A.9 B. 6 C.5 D.3

' 4. 函数 f (x) 的定义域为 (a,b) 导函数 f ( x) 在 , (a,b) 内的图像如图所示, 则函数 f (x)

在(a,b)内有极小值点的个数为 A 4个 C. 2 个 B. 3 个 D. 1 个 a

y

y ? f ' ( x)

o

b

x

1 / 12

5. 设{ an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15, a1a2 a3 ? 80, 则 a11 ? a12 ? a13 等于 A.120 B. 105 C. 90 D.75

6. 已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3

另外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是. A. 2 3 B.6 C. 4 3 D. 12

7. 下图中的三个直角三角形是一个体 积为 40cm3 的几何体的三视图,则 h 等于 A.8 C. 4 B. 6 D. 2

h

5 正(主)视图

6 侧(左)视图

(单位:cm)

俯视图

8.已知满足条件 x ? y ? 1 的点 (x,y) 构成的平面区域面积为 S1 , 满足条件 [ x] ? [ y] ? 1
2 2 2 2

[y 的点(x,y)构成的平面区域的面积为 S 2 ,其中 [ x]、 ] 分别表示不大于 x, y 的最大整数,例
如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则 S1与S 2 的关系是 A. S1 ? S 2 B. S1 ? S 2 C. S1 ? S 2 D. S1 ? S 2 ? ? ? 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)
9. 函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是______________ 10. 已知 a、b、c 分别是 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,若 a=2, b= 6 , A+C=2B, 则 A=_____________
2 / 12

?x ? 2 ? 11.已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么|PO|的最大值等于 ?x ? y ? 8 ?
____________. 开始 12.某程序框图如图所示,该程序运行后 输出 M , N 的值分别 为 .

i ? 1, M ? 1, N ? 1


i ? 6?
否 输出 M , N

i ? i ?1 M ? N ?M N ? N ?M

结束

13. 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x ,且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,则其焦 49 24

点坐标为 _________, 双曲线的方程是____________.

14.某资料室在计算机使用中,如下表所示,编码以一定规则排列,且从左至右以及从上到 下都是无限的. 1 1 1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 6 … 1 3 5 7 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … 1 6 11 16 21 26 … … … … … … … … ;编码 51 共出现 次.

此表中, 数列 1, 7, 21, 3, 13, …的通项公式为

3 / 12

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
15. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值.

16. (本小题满分 13 分) 甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方块 4)玩游戏,他们将扑 克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张。 (1)设 (i, j ) 分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况 (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,乙胜。你认为此游 戏是否公平?请说明你的理由.

4 / 12

17. (本小题满分 13 分) 如图所示, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CA=CB=2, ?BCA ? 900 , 棱 AA1 ? 4 ,E、M、N 分别是 CC1、A1B1、AA1 的中点.
C1 B1 M A1

(1)求证: A1 B ? C1 M ; (2) 求 BN 的长; (3) 求二面角 B1 ? A1 E ? C1 平面角的余弦值.

E

N

C B A

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ln(x ? 1) ,其中 a 为实数.
2

(1)若 f ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 a 的值;

3] (2)若 f ( x) 在 [2, 上是增函数,求 a 的取值范围。

5 / 12

19. (本小题满分 14 分) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为( 3 ,0),右顶点为(2,0). (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, OA ? OB ? 2 (其中 且 O 为原点),求 k 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n,

? ?

Sn n

? ? 在直线 y ? x ? 4 上.数列 ?bn ? 满足 ?

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ) ,且 b4 ? 8 ,前 11 项和为 154.
(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

k 3 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 75 2(an ? 2)(2bn ? 5)
*

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值; (3)设 f (n) ? ?

?a n , (n ? 2l ? 1, l ? N * ), ? * 是否存在 m ? N ,使得 f (m ? 9) ? 3 f (m) 成 * ?bn , (n ? 2l , l ? N ). ?

立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

6 / 12

昌平区 2010-2011 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学(理科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 D 8 A

2011.1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9. {x | x >1 } 12. 34, 55 13 10.

? 4

11. 2 10

第一空 2 分,第二空 3 分 ,

(?5,0)

x2 y2 ? ?1 5 20
,6

第一空 2 分,第二空 3 分

14.

an ? n 2 ? n ? 1 (n∈N*)

第一空 3 分,第二空 2 分

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15.(本小题满分 13 分)

解:(1) f ( x) ?

1 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?
T?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2

……………………………………6 分

(2)因为 0 ? x ?

? , 2 ? ? 5? 所以 ? 2 x ? ? .………………………………………………9 分 4 4 4
所以当 2 x ? 当 2x ?

2? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? . …………………………7 分 2

2

?
4

?

?
2

,即 x ?

?
8

时, f (x) 有最大值

1? 2 ,……………11 分 2

?
4

?

5? ? ,即 x ? 时, f (x) 有最小值 0.……………13 分 4 2

16.(本小题满分 13 分) 解:(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况为(2,3),(2,4),(2, 4 ),(3,2),
7 / 12
'

(3,4),(3, 4 ),(4,2),(4,3),(4, 4 ),( 4 ,2),( 4 ,3),( 4 , 4),共 12 种不同情况 ………4 分
(2)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4, 4 .因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为
'

'

'

'

'

'

2 . ……8 分 3
(3)由甲抽到的牌比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),( 4 ,2),( 4 ,3), 共 5 种甲获胜的概率 P1 ?
' '

5 7 , 乙获胜的概率为 P2 ? 12 12

?

5 7 ? 12 12
……..13 分

? 此游戏不公平
17.(本小题满分 13 分) 解:(1)? CA ? CB

? C1 A1 ? C1 B1 ,点 M为A1 B1的中点 ? C1 M ? A1 B1
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,? B1B ? 平面A1B1C1, C1M ? 平面A1B1C1

? BB1 ? C1 M ? C1 M ? 平面A1 BB1 ,A1B ? 平面A1 BB1 ? C1 M ? A1 B
z

法二:解:如图建立空间直角坐标系

C1 M A1

B1

A1 (2,0,4), B(0,2,0), A1 B ? (?2,2,?4),C1M ? (1,1,0) C1 (0,0,4), M (1,1,4), A1 B ? (?2,2,?4),C1M ? (1,1,0) ? A1 B ? C1M ? ?2 ? 2 ? 0
? A1B ? C1M

E

N

C B A

……4 分 (2)依题意得:B(0,2,0), N (2,0,2)

y

?| BN |? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 2 3
…….6 分
8 / 12

x

(3)依题意得: A1 (2,0,4), B(0,2,0), C(0,0,0), B1 (0,2,4)

E(0,0,2), C1 (0,0,4)

? EB1 ? (0,2,2), EA ? (2,0,2) 1
? BC ? AC, BC ? CC1

? 平面 C1 EA1的法向量为CB ? (0,2,0) ,得 | CB |? 2
设平面 B1 EA 的法向量为 n ? ( x, y, z) 1 则: EB1 ? n ? 0得: ? 2z ? 0 ? y ? ? z 2y

EA ? n ? 0得:? 2z ? 0 ? x ? ?z 2 1
令 z ? 1, 则n ? (?1,?1,1) , 得 | n |? 3 则 cos ? CB, n ??

CB ? n | CB | ? | n |

?

?2 2 3

??

3 3

由题意可知:二面角 B1 ? A1 E ? C1 的大小是锐角 所以二面角 B1 ? A1 E ? C1 的平面角的余弦值是

3 . 3

…….13 分

18(本小题满分 13 分)

, 解:(1)由已知得 f ( x) 的定义域为 (?1 ? ?)
又 f ( x) ? 2ax ?
'

2 x ?1

……3 分

?由题意得 f ' (1) ? 2a ? 1 ? 0
?a ? ? 1 2
……5 分

(2)解法一:依题意得

2 ?0 ……7 分 x ?1 2 1 1 ……9 分 ? 2ax ? ? ,a ? ? 2 1 2 1 1? x ?x ?x ? (x ? ) ? 2 4 1 2 1 1 2 1 ? x ? [2,, ?( x ? ) ? 的最小值为 ? (3 ? ) ? ? ?12 3] ? 2 4 2 4

f ' ( x) ? 0 对 x ? [2, 恒成立,? ?ax ? 3]

9 / 12

?

1 1 的最大值为 ? 1 1 12 ? (x ? )2 ? 2 4 1 又因 a ? ? 时符合题意 12 1 ? a ? ? 为所求 12
解法二:依题意得

……12 分

……14 分

f ' ( x) ? 0 对 x ? [2, 恒成立,? 2ax ? 3]


2 ?0 x ?1

ax 2 ? ax ? 1 ?0 x ?1
……7 分

?1 ? x ? 0, ax2 ? ax ? 1 ? 0 对 x ? [2, 恒成立 ? 3]
令 g ( x) ? ax2 ? ax ? 1 (1)当 a ? 0 时, 1 ? 0 恒成立 ……9 分

(2)当 a ? 0 时,抛物线 g( x) 开口向下,可得 g ( x) min ? g (3) ? 0

? 即 9a ? 3a ? 1 ? 0, 0 ? a ? ?

1 12

……11 分

(3)当 a ? 0 时,抛物线 g( x) 开口向上,可得 g ( x) min ? g (2) ? 0

? 即 4a ? 2a ? 1 ? 0, a ? ?
1 时符合题意 12 1 综上可得 a ? ? 为所求 12
又因 a ? ? 19(本小题满分 14 分)

1 ,即 a ? 0 6

……13 分

……14 分

解:(1)由题意可得: a ? 2, c ? 3

?b ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 =1
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

所求的椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

? x2 2 ? ? y ?1 由? 4 ? y ? kx ? 2 ?

得: ( ? k ) x ? 2 2kx ? 1 ? 0
2 2

1 4

10 / 12

? x1 ? x 2 ?

? 2 2k 1 , x1 x 2 ? (*) 1 1 2 2 ?k ?k 4 4

1 ? ? ( 2 2k ) 2 ? 4 ? ( ? k 2 ) ? 0 4 1 1 解得: k ? 或k ? ? 2 2
由 OA ? OB ? 2 可得: x1 x2 ? y1 y 2 ? 2

x1 x2 ? (kx1 ? 2 )(kx2 ? 2 ) ? 2
整理得: (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 0 把(*)代入得: (1 ? k ) ?
2

1 1 ? k2 4

? 2k ?

(?2 2k ) ?0 1 2 ?k 4

4 ? 12k 2 ?0 即: 1 ? 4k 2
解得: ?

3 3 ?k? 3 3 3 1 1 3 ?k?? 或 ?k? 3 2 2 3

综上: k的取值范围是:
20.(本小题满分 14 分)

解:(1)由题意,得

Sn ? n ? 4 ,即 S n ? n 2 ? 4n . n n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n 2 ? 4n - (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) = 2n ? 3 . 故当 注意到 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 ,而当 n ? 1 时, n ? 4 ? 5 ,
所以,

an ? 2n ? 3 (n ? N * ) .

………………………………………3 分

? 2bn?1 ? bn ? 0 ,即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ) , 11(b4 ? b8 ) ? 154. 所以 ?bn ? 为等差数列,于是 2 20 ? 8 ? 3, 而 b4 ? 8 ,故 b8 ? 20 , d ? 4 因此, bn ? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 ,
又 bn?2

? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 (n ? N * ) .………………5 分 3 3 ? (2) c n ? 2(an ? 2)(2bn ? 5) 2[(2n ? 3) ? 2][2 ? (3n ? 4) ? 5]
即 bn 11 / 12

3 1 1 = = . 2(2n ? 1)(6n ? 3) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] 所以, Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( 4 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n )? = (1 ? . ………………………………………8 分 4 2n ? 1 4n ? 2 n ?1 n 1 由于 Tn ?1 ? Tn ? ? ? ?0 4n ? 6 4n ? 2 (4n ? 6)(2n ? 1) 1 因此 Tn 单调递增,故 (T N ) min ? . 6 1 k 1 令 ? ,得 k ? 12 ,所以 k max ? 12 . …………………………………10 分 6 75 2 ?2n ? 3(n ? 2l ? 1, l ? N * ) ? (3) f ( n) ? ? ?3n ? 4(n ? 2l , l ? N * ) ? ① 当 m 为奇数时, m ? 9 为偶数. 此时 f (m ? 9) ? 3(m ? 9) ? 4 ? 3m ? 23 3 f (m) ? 6m ? 9 14 ? N * (舍去) …………………………………12 分 所以 3m ? 23 ? 6m ? 9 , m ? 3 ② 当 m 为偶数时, m ? 9 为奇数. 此时, f (m ? 9) ? 2(m ? 9) ? 3 ? 2m ? 21, 3 f (m) ? 9m ? 12 , 33 ? N * (舍去). 所以 2m ? 21 ? 9m ? 12 , m ? 7 综上,不存在正整数 m,使得 f (m ? 9) ? 3 f (m) 成立. ?
…………………………………14 分

12 / 12


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