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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1.3导数的几何意义课件 新人教A版选修2-2


1.1.3
【学习要求】

导数的几何意义

1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义. 2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 【学法指导】 前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想,本 节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想,并进 一步体会另一种重要思想——以直代曲.

/> 填一填· 知识要点、记下疑难点

1.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数y=f(x)的图象如图所示,AB是过点 A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一 Δy f?x0+Δx?-f?x0? 条割线,此割线的斜率是 = . Δx Δx 当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的极限 位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ____.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率无限趋近于过点 切线

f?x0+Δx?-f?x0? lim f′(x0) =__________________. Δx A的切线AD的斜率k,即k=______ Δx→0

填一填· 知识要点、记下疑难点

(2)导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x) 在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率 ____.也就是说,曲线y= f′(x0) .相应 f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是_______
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) . 地,切线方程为______________________

2.函数的导数 当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,则当x变化时, f′(x)是x的一个函数,称f′(x)是f(x)的导函数(简称导 数).f′(x)也记作y′,即f′(x)=y′=
f?x+Δx?-f?x? lim Δx Δ x→0 ____________________.

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探究点一

导数的几何意义

问题1 如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋 近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?

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当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这

个确定位置的直线PT称为点P处的切线.

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问题2 曲线的切线是不是一定和曲线 只有一个交点?
答 不一定.曲线的切线和曲线不一定 只有一个交点,和曲线只有一个交点的 直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼 近将割线趋于确定位置的直线.

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例1

如图,它表示跳水运动中高度随时间变

化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图 象.根据图象,请描述、比较曲线h(t)在 t0,t1,t2附近的变化情况.
解 用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线,刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况. (1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴.所以,
在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所 以,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递 减.

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(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以, 在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.

从图中可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程 度,这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.

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小结 导数与函数图象升降的关系: 若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜 率大于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近 的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降 的快慢.

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跟踪训练1


(1)根据例1图象,描述函数h(t)在t3和t4附近增

(减)以及增(减)快慢的情况.
函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0, 所以,在t=t3,t=t4附近单调递增,且曲线h(t)在t3附近比在 t4附近递增得快.

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(2)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是 ( )

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解析 依题意,y=f′(x)在[a,b]上是增函数,
则在函数f(x)的图象上,各点的切线的斜率随着x的增大而增 大,观察四个选项的图象,只有A满足.
答案 A

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探究点二

求切线的方程

问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?

答 根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的导数,
即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求 出切线方程.

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问题2 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0, y0)的切线有何不同?

答 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是 切点,只要求出k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可;
而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定 在曲线上,既使在曲线上也不一定是切点.

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例2 已知曲线y=x2, (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
解 (1)设切点为(x0,y0),
2 ?x0+Δx?2-x0 ∵y′|x=x0= lim Δx Δx→0
2 2 x2 0+2x0·Δx+?Δx? -x0 = lim =2x0, Δx Δx→0

∴y′|x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为
y-1=2(x-1),即y=2x-1.

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(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为(x0,y0) 由(1)知,y′|x=x =2x0,
0

∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0), 由P(3,5)在所求直线上得 5-y0=2x0(3-x0) 再由A(x0,y0)在曲线y=x2上得y0=x2 0 联立①,②得,x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2, ① ②

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此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,

当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10, 此时切线方程为y-25=10(x-5), 即y=10x-25.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x -1或y=10x-25.

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小结 求曲线上某点处的切线方程,可以直接利用导数求出 曲线上此点处的斜率,然后利用点斜式写出切线方程;求曲 线过某点的切线方程,要先求出切点坐标.

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跟踪训练2 已知曲线y=2x2-7,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程. Δy 解 y′= lim Δx→0 Δx [2?x+Δx?2-7]-?2x2-7? = lim = lim (4x+2Δx)=4x. Δx Δx→0 Δx→0
(1)设切点为(x0,y0),则4x0=4,x0=1,y0=-5,
∴切点坐标为(1,-5).

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(2)由于点P(3,9)不在曲线上.

设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0, 故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0). 将P(3,9)及y0=2x2 0-7代入上式, 得9-(2x2 0-7)=4x0(3-x0). 解得x0=2或x0=4,所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x-y-15=0和16x-y-39=0.

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跟踪训练3 若曲线y=x3+3ax在某点处的切线方程为y=3x +1,求a的值.
解 ∵y=x3+3ax.

?x+Δx?3+3a?x+Δx?-x3-3ax ∴y′= lim Δx Δx→0 3x2Δx+3x?Δx?2+?Δx?3+3aΔx = lim Δx Δx→0
2 2 2 = lim [3 x + 3 x Δ x + ( Δ x ) + 3 a ] = 3 x +3a. → Δx 0

设曲线与直线相切的切点为P(x0,y0),

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结合已知条件,得
? 3 ? 2 2 ? ?a=1- 2 , ?3x0+3a=3, ? 3 解得? ? ?x0+3ax0=y0=3x0+1, 3 ? ?x0=- 4. 2 ?

2 ∴a=1- 2 .

3

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜 率为 A.4 B.16 C.8 D.2 ( C )

解析

f?2+Δx?-f?2? f′(2)= lim Δx Δx→0

2?2+Δx?2-8 = lim = lim (8+2Δx)=8,即k=8. Δx Δx→0 Δx→0

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

2.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1 =0,则 A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 ( A )

解析 由题意,知k=y′|x=0
?0+Δx?2+a?0+Δx?+b-b = lim =1, → Δ x Δx 0 ∴a=1. 又(0,b)在切线上,∴b=1,故选A.

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3.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16.则P (3,30) . 点坐标为________
解析 设点P(x0,2x2 0+4x0),
f?x0+Δx?-f?x0? 则f′(x0)= lim Δx Δx→0
2?Δx?2+4x0·Δx+4Δx = lim =4x0+4, Δx Δx→0 令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30).

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切 f?x0+Δx?-f?x0? 线的斜率,即k= lim =f′(x0),物理意义 Δx Δx→0 是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导 函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关 系,f′(x0)是其导数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线 上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y -f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切 点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.


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