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2014-2015年2.5.2用二分法求方程的近似解练习题及答案解


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数学· 必修 1(苏教版)

2. 5 2.5.2

函数与方程

用二分法求方程的近似解

新 课 标 第 一 网

在一个风雨交加的夜里, 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路

发生了故障.这是一条 10 km 长的线路,如何才能迅速查出故障所 在?如果沿着线路一小段一小段查找, 困难很多, 每查一个点要爬一 次电线杆,10 km 长的线路,大约有 200 根电线杆,想一想,维修线 路的工人师傅怎样工作才合理?

基 础 巩 固 1. 方程|x2-3|=a 的实数解的个数为 m, 则 m 不可能等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4

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解析:由图可知 y=|x2-3|与 y=a 不可能是一个交点.

答案:A

2.对于函数 f(x)=x2+mx+n,若 f(a)>0,f(b)>0(a<b),则在(a, b)内 f(x)( ) B.一定没有零点

A.一定有零点

C.可能有两个零点

D.至多有一个零点

解析:画 y=f(x)的大致图象分析,也可取 m,n,a,b 的特殊值, 很容易判断 f(x)在(a,b)内可能有两个零点. 答案:C

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3.已知函数 f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分 a? ? a? ? 法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为?0,2?,?0,4?,
? ? ? ?

a? ? ?0, ?,则下列说法中正确的是( 8? ?
? ?

)

a? ? A.函数 f(x)在区间?0,16?无零点 a ? ? a a? ? B.函数 f(x)在区间?0,16?或?16,8?内有零点
? ? ? ? ?a ? C.函数 f(x)在?16,a?内无零点 ? ?

a ? ? a a? ? a D.函数 f(x)在区间?0,16?或?16,8?内有零点,或零点是 16 ? ? ? ?

解析:由二分法求函数零点的原理可知选 D. 答案:D

4.奇函数 f(x)=x3+bx2+cx 的三个零点是 x1,x2,x3,满足 x1x2 +x2x3+x3x1=-2,则 b+c=________.

解析: ∵f(x)为奇函数, ∴b=0, 故 f(x)=x3+cx 有一个零点是 0, 不妨设 x1=0,则 x2,x3 是 x2+c=0 的二根,故 x2x3=c,由 x1x2+
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X| k |B| 1 . c|O |m

x2x3+x3x1=-2 得 c=-2,故 b+c=0-2=-2. 答案:-2

5.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值:

x f(x )

1 12

2 10

3 -2

4 4

5

6

-5 -10

函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有__________个.

解析:由表知:f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0,f(x)在区间 [1,6]上至少有 3 个零点. 答案:3

6.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(a<b),函数 g(x)=f(x)-2 的零点 α,β(α<β)则 a,b,α,β 从小到大排列为________.

解析:画出草图,可知 α<a<b<β.

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答案:α<a<b<β

7.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏,在限定时间内 (如 15 秒)猜出某一种商品的售价,就把该商品奖给选手,每次选手 给出报价,主持人告诉说高了低了,以猜对或到时为止游戏结束.如 猜一种品牌的电风扇,过程如下:游戏参与者开始报价 500 元,主持 人说高了,300 元,高了,260 元,低了,280 元,低了,290 元,高 了,285 元,低了,288 元,你猜对了!恭喜!请问游戏参与者用的 数学知识是__________(只写出一个正确答案).

答案:二分法

8.设 x0 是方程 ax=logax(0<a<1)的解,则 x0,1,a 这三个数的 大小关系是:________.

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解析:在同一坐标系中作出函数 y=ax 和 y=logax 的图象,可以 看出: x0<1,logax0<1,∴x0>a,a<x0<1.

答案:a<x0<1

能 力 提 升

9.方程 lnx+2x=6 的根必定属于区间( A.(-2,1)
?5 ? B.?2,4? ? ?

)

? 7? C.?-1,4? ? ?

?7 5? D.?4,2? ? ?

?5? 解析:构造函数 f(x)=ln x+2x-6,计算 f?2?=ln 2.5-1<0,f(4) ? ?

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? ?

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?5? =ln 4+2>0,f?2?· f(4)<0,故选 B.

答案:B

10.函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象交点 个数为( )

A.3 个

B.2 个

C.1 个 D.0 个

解析:在同一坐标系中作出 f(x)=2ln x 和 g(x)=x2-4x+5 的图 象,由图象可见它们有 2 个交点.

答案:B

11 . (2013· 湖南卷)借助计算器或计算机用二分法求方程

? x? 440 ? 1+ ? ? 2?

49

· x=68 的近似解.(精确到 0.001) 新-课 -标 -第- 一-网

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? x? 解析:令 f(x)=440 ? 1+ ? ? 2?
∵f(0)=-68<0,f(1)>0,

49

· x-68.

说明方程 f(x)=0 在区间(0,1)有一个解. 取区间(0,1)的中点 x1=0.5, 用计算器可算得 f(0.5)>0. 因为 f(0)· f(0.5)<0,所以 x0∈(0,0.25), 同理,可得 x0∈(0,0.125). x0∈(0,0.062 5), x0∈(0.031 25,0.062 5), x0∈(0.046 875,0.062 5), x0∈(0.046 875,0.054 687 5), x0∈(0.046 875,0.050 781 25), x0∈(0.046 875,0.048 828 125), x0∈(0.047 851 562 5,0.048 828 125). 由于|0.048 828 125-0.047 851 561 25|<0.001, 此时区间(0.047 851 562 5,0.048 828 125)的两个端点精确到 0.001 的近似值都是 0.048,新-课 -标 -第- 一-网

? x? 所以方程 440 ? 1+ ? ? 2?

49

· x=68 精确到 0.001 的近似解约为 0.048.

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12.(1)方程 2x3-6x2+3=0 有几个解?如果有解,全部解的和 为多少?

解析:(1)设函数 f(x)=2x3-6x2+3, 因为 f(-1)=-5<0,f(0)=3>0,f(1)=-1<0, f(2)=-5<0,f(3)=3>0 且函数 f(x)=2x3-6x2+3 的图象是连续 的曲线. 所以方程 2x3-6x2+3=0 有三个实数解. ∵f(-1)· f(0)<0, ∴在区间(-1,0)内有一个解. 取区间(-1,0)的中点 x1=-0.5, 用计算器可算得 f(-0.5)=1.25>0. 因为 f(-1)· f(-0.5)<0, 所以 x0∈(-1,-0.5). 同时可得 x0∈(-0.75,-0.5), x0∈(-0.75,-0.625), x0∈(-0.687 5,-0.625), x0∈(-0.656 25,-0.625), x0∈(-0.656 25,-0.640 625), x0∈(-0.648 437 5,-0.640 625), x0∈(-0.644 531 25,-0.640 625). 由于|(-0.640 625)-(-0.644 531 25)|<0.01, 此时区间(-0.644 531 25,-0.640 625)的两个端点精确到 0.01
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的近似值都是-0.64, 所以方程 2x3-6x2+3=0 在区间(-1,0)且精确 到 0.01 的近似解约为-0.64. 同理可求得方程 2x3-6x2+3=0 在区间(0,1)和(2,3)内且精确到 0.01 的近似解分别为 0.83,2.81. 所以,方程 2x3-6x2+3=0 的三个解的和为-0.64+0.83+2.81 =3.

(2)探究方程 2x3-6x2+5=0,2x3-6x2+8=0 的全部解的和,你 由此可以得出什么结论?新 课
标 第 一 网

解析: (2)利用同样的方法可求得方程 2x3-6x2+5=0 和 2x3-6x2 +8=0 的所有解的和也为 3. 一般地,对于一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 有三个根 x1, b x2,x3,则 x1+x2+x3=-a.

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