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高中数学《空间向量与立体几何》单元练习题


《空间向量与立体几何
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

A A 1.如图, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 为 AC 与 BD 的交点.若 A1 B1 =a, 1 D1 =b, 1 A =c, M
则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 A.-

1 1 a+ b+c 2 2

/>B.

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 a- b+c 2 2
B. OM ?

C.

1 1 a- b+c 2 2

D.-

2.下列等式中,使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 A. OM ? 3OA ? 2OB ? OC C. OM ? OA ? OB ? OC ? 0

1 1 1 OA ? OB ? OC 2 3 5

D. MA ? MB ? MC ? 0

3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、AD 的中点, 则 EF ? DC 等于 A.

1 4

B. ?

1 4

C.

3 4
0

D. ?

3 4

4.若 a ? (1, ? ,2) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 60 ,则 ? 的值为 A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.1

5.设 OA ? (1,1,?2) , OB ? (3,2,8) , OC ? (0,1,0) ,则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为

A.

13 2

B.

53 2

C.

53 4

D.

53 4

6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A. 9π 2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
1

B. 10π C. 11π D. 12π

8.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是 .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60°

9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.

6 3

B.

2 5 5

C.

15 5

D.

10 5

10.⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1,?1,2) , B(5,?6,2) , C (1,3,?1) ,则 AC 边上的高 BD 长为 A.5 B. 41 C.4 D. 2 5

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.设 a ? (x,4,3) , b ? (3,?2, y) ,且 a // b ,则 xy ? 12.已知向量 a ? (0,?1,1) , b ? (4,1,0) , ?a ? b ? .

29 且 ? ? 0 ,则 ? =________.

13.在直角坐标系 xOy 中,设 A(-2,3) ,B(3,-2) ,沿 x 轴把直角坐标平面折成大小为 ? 的二面角后,这时 AB ? 2 11 ,则 ? 的大小为 14.如图,P—ABCD 是正四棱锥, .

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,其中
AB ? 2, PA ? 6 ,则 B1 到平面 PAD
的距离为 .

三、解答题(共 30 分) 15.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 PA 的长为 2, PA 与 AB、 的夹角都等于 60 , 是 PC 的中点, AB ? a, AD ? b, AP ? c . 且 AD 设 M
0

P

M
2

D

C

(1)试用 a, b, c 表示出向量 BM ; (2)求 BM 的长.

16.(本小题满分 16 分)如图,已知点 P 在正方体 ABCD? A' B' C' D' 的对角线 BD' 上, ∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC ' 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA' D' D 所成角的大小.
D' A' B' C'

P

D A B

C

《空间向量与立体几何》单元练习题参考答案 一、选择题 1. B1 M ? B1 B ? BM ? A1 A ?

1 1 1 1 ( BA ? BC) =c+ (-a+b)=- a+ b+c,故选 A. 2 2 2 2

3

2. 由于M、A、B、C四点共面 ? OM ? xOA ? yOB ? zOC ( x, y, z ? R)且x ? y ? z ? 1

? 选项( A)、B)、 )都不正确. 由于MA ? MB ? MC ? 0 ? MA ? ? MB ? MC ( (C

所以存在x ? ?1, y ? 1, 使 MA ? x MB ? y MC ? MA, MB, MC共面
故选 D. 由于M为公共点? M、A、B、C四点共面, 3.∵ E, F分别是AB, AD的中点 ,? EF // BD且EF ?

1 1 BD,? EF ? BD , 2 2

? EF ? DC ?
故选 B. 4.B 5.B

1 1 1 1 BD ? DC ? BD ? DC cos ? BD, DC ?? ? 1 ? 1 ? cos120 0 ? ? 2 2 2 4
6.D 7.D 8.D 9.D

10.由于 AD ? AB ? cos ? AB, AC ? ?

AB ? AC AC

? 4 ,所以 BD ?

AB ? AD ? 5 ,故选 A

2

2

二、填空题 11.9 12.3 13.作 AC⊥x 轴于 C,BD⊥x 轴于 D,则 AB ? AC ? CD ? DB ∵ AC ? 3, CD ? 5, DB ? 2, AC ? CD ? 0, CD ? DB ? 0, AC ? DB ? AC ? DB cos( 0 ? ? ) ? ?6 cos? 180

? AB ? ( AC ? CD ? DB ) 2 ? AC ? CD ? DB ? 2( AC ? CD ? CD ? DB ? DB ? AC ) 1 ? (2 11) 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 2 2 ? 2(0 ? 0 ? 6 cos? ),? cos? ? ? .由于 0 0 ? ? ? 180 0 ,?? ? 120 0 2
14.以 A1 B1 为 x 轴, A1 D1 为 y 轴, A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系 设平面 PAD 的法向量是 m ? ( x, y, z ) ,

2

2

2

2

??

???? ??? ? ?? ? AD ? (0, 2, 0), AP ? (1,1, 2) ,∴ y ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 ,取 z ? 1 得 m ? (?2, 0,1) , ???? ?? B1 A ? m 6 ???? ? B1 A ? (?2, 0, 2) ,∴ B1 到平面 PAD 的距离 d ? ? 5. ?? 5 m
三、解答题 15.解: (1)∵ M 是 PC 的中点,∴ BM ?

1 1 ( BC ? BP) ? [ AD ? ( AP ? AB)] 2 2

1 1 1 1 ? [b ? (c ? a )] ? ? a ? b ? c 2 2 2 2
(2)由于AB ? AD ? 1, PA ? 2, ? a ? b ? 1, c ? 2
4

由于AB ? AD, ?PAB ? ?PAD ? 60 0 , ? a ? b ? 0, a ? c ? b ? c ? 2 ? 1 ? cos 60 0 ? 1
由于BM ?
? BM
2

1 (?a ? b ? c ), 2

?

1 1 1 3 (?a ? b ? c) 2 ? [a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(?a ? b ? a ? c ? b ? c)] ? [12 ? 12 ? 2 2 ? 2(0 ? 1 ? 1)] ? 4 4 4 2

? BM ?

6 6 , ? BM的长为 . 2 2

16.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .

, 0) 0, 则 DA ? (1 0, , CC ? ? (0,1) .连结 BD , B?D? .
在平面 BB?D?D 中,延长 DP 交 B?D? 于 H .

??? ?

???? ?

1)( DA 设 DH ? (m,m, m ? 0) ,由已知 ? DH, ?? 60 ,
?

???? ?

???? ??? ? ?

DH 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA, ? ,可得 2m ?
解得 m ?

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

2m 2 ? 1 .

???? ? 2 2 ? ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , . ? 2 ? ?

z

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ???? ? ? 2 2 (1)因为 cos ? DH, ? ?? 2 , CC ? 2 1? 2

D? A?
D A x

H P

C?

B?
C B y

CC 所以 ? DH, ? ?? 45 ,即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 .
?
?

???? ???? ? ?

???? 1, (2)平面 AA?D?D 的一个法向量是 DC ? (0,0) .
2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ???? ? 1 2 因为 cos ? DH, ?? 2 DC ? , 2 1? 2

DC 所以 ? DH, ?? 60 ,可得 DP 与平面 AA?D?D 所成的角为 30 .
?
?

???? ???? ?

5


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