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广东省中山市2016年高三5月高考模拟考试数学(文)试题


2016 届高三高考模拟试题(文科数学)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知全集 U ? R , A ? ? x A. x ?1 ? x ? 2?

?

?

B. x ? 1 ? x ? 2? C. x x ? ?1或x ? 2?

?

x ?1 ? ? 0 ? , B ? ?x l nx ? 0? ,则 A ? B ? ( ) ? ? 2? x

?

D. x 0 ? x ? 2?

?

2.已知复数 Z ? a ? bi(a, b ? R, 且ab ? 0) ,若 Z (1 ? 2i ) 为实数,则 A.2
1

b = a ( )

B.-2
1

C.-

1 2

D.

1 2

? 1 ?3 ? 1 ?2 ?3? 3.设 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ln ? ? ,则( ) ?2? ? 3? ?? ? A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c
4.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与椭圆 A.2 B.3 5.已知 cos ? 2? ? ? ? ? A.
2 2

D. b ? a ? c

x y ? ? 1 相切,则 p 的值为( ) 4 6 C.4 D.5

3 8

3 ? , ? ? ( ? , 0) ,则 sin 2? 的值为( ) 2 4 3 3 7 3 7 B. ? C. D. ? 8 8 8

6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的 几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在 一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧 视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( )

A.a,b

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? DA B ? ? ?A ? 60 , D 为 AC 上一点, 7.已知 ?ABC 中, 且 BD ? 3, AC ? AD ? AC ? AB , 则A ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 8.若下框图所给的程序运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是( ) A. k ? 7 B. k ? 6 k ? 6 C. D. k ? 6
0

B.a,c

C.c,b

D.b,d

9. 已知函数 f ( x) ? cos 2 x cos ? ? sin 2 x sin ? (0 ? ? ? (

?
2

) 的图象的一个对称中心为

? ] 上单调递减 6 ? ? C .函数 f ( x) 的图象向右平移 个单位可得到 y ? cos 2 x 的图 D. 函数 f ( x ) 在 [0, ] 的最小值为 ?1 2 6
A.直线 x ?

? ,0) ,则下列说法不正确的是( ) 6

5 ? 是函数 f ( x) 的图象的一条对称轴 12

B.函数 f ( x) 在 [ 0,

1

10.函数 y ?

1 ? ln x 的图像大致为. ( ) 1 ? ln x

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 ? ,与另 a 2 b2 ??? ? ??? ? 一条渐近线交于点 ? ,若 F? ? 2F? ,则此双曲线的离心率为( )
11.过双曲线 A. 2 12. 函数 f ? x ? ? ? x? ? x (函数 y ? ? x? 的函数值表示不超过 x 的最大整数,如 B. 3 C. 2 D. 5

? ,设函数 g ? x ? ? ? ??3.6? ? ?4 , ?2.1? ? 2 )

? f ? x ? ? lg x ? ? f ? x ? ? sin x

( x ? 0) (?2? ? x ? 0)

,则函数 y ? g ? x ? 的零点

的个数为( ) A. 11 B. 10 C. 12 D. 13 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.某学校准备从 4 名男同学和 2 名女同学中选出 2 人代表学校参加数学竞赛,则至少一名女同学被 选中的概率是__________. 14.已知几何体 O ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,且该几何体体积的最大值为 则该几何体外接球的表面积为__________. 15.如图,在 ?ABC 中, D 是 BC 上的一点.已知 ?B ? 60?, AD ? 2, AC ? 10, DC ? 2 ,则 AB ? ______.

3 2 , 2

? 2x ? y ? 2 ? 16.设不等式组 ? x ? 2 y ? ?4 所表示的平面区域为 M , ? 3x ? y ? 3 ?
若 z ? 2 x ? y ? 2a ? b(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 3 ,则

1 1 ? 的最小值为__________. a b

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)设公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 5 项的和为 55 ,且 a2 , a6 ?a7 ,a4 ?9 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设数列 bn ?

1 4 ,求证:数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? . 2 (an ? 6)(an ? 4)

2

18.(本小题满分 12 分)随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰.今年新春伊始,各医 院产科就已经是一片忙碌,至今热度不减.卫生部门进行调查统计,期间发现各医院的新生儿中,不少 都是“二孩” ;在人民医院,共有 40 个猴宝宝降生,其中 20 个是“二孩”宝宝;博爱医院共有 30 个猴 宝宝降生,其中 10 个是“二孩”宝宝. (1)从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 7 个宝宝做健康咨询. ①在人民医院出生的一孩宝宝中抽取多少个? ②若从 7 个宝宝中抽取两个宝宝进行体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率; (2)根据以上数据,能否有 85 %的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关?

19.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° , ∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求证:CE∥平面 PAB. (2)若 F 为 PC 的中点,求 F 到平面 AEC 的距离.

3

20.(本小题满分 12 分)已知曲线 C 上任意一点到原点的距离与到 A(3, ?6) 的距离之比均为

1 . 2

(1)求曲线 C 的方程. (2)设点 P(1, ?2) ,过点 P 作两条相异直线分别与曲线 C 相交于 B, C 两点,且直线 PB 和直线 PC 的倾斜角互补,求证:直线 BC 的斜率为定值. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ?1 ,其中 a 为常数. (1)当 a ? ? ??, ? ? 时,若 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最大值为 ?4 ,求 a 的值. (2)当 a ? ? 时,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

? ?

1? e?

1 e

ln x b ? 存在零点,求实数 b 的取值范围. x 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,圆 O 交直线 OB 于点 E、D,其中 D 在线段 OB 上.连结 EC,CD. (1)证明:直线 AB 是圆 O 的切线. (2)若 tan∠CED=

1 ,圆 O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲

? y ? ?1 ? 2t 2 轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 1 ? 3 sin 2 ? (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程.

在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t

( t 为参数),以原点为极点,以 x 轴正半

(2)设点 M ?2,?1? ,曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B ,求 MA ? MB 的值.

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a (1)若 f ?x ? ? m 的解集为 ?? 1,5? ,求实数 a, m 的值.

(2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? t ? f ?x ? 2? .

4

2016 年中山市 5 月文科数学模拟试题答案
一、选择题 BABCDA DDCCCA 二、填空题 13、 三、解答题 17.(1)设等差数列的的首项为 a1 ,公差为 d ,

3 ; 5

14、 [ ?

1 ,1] ; 2

15、 8? ;

16、 3 ? 2 2

5? 4 ? ?a ? 7 ? a1 ? 11 ?5a1 ? 2 d ? 55 则? 或? (舍去) ?? 1 d ? 0 d ? 2 ? 2 ? ?( a ? 5d ? a ? 6d ) ? (a ? d )(a ? 3d ? 9) 1 1 1 ? 1
故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 7 ? 2(n ? 1) 即 an ? 2n ? 5 .???? 5 分 (2)由(1) an ? 2n ? 5 , 得 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) .????7 分 (an ? 6)(an ? 4) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

那么 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 1 (1 ? ) ? .???? 12 分 2 2n ? 1 2
18.解: (1)①由分层抽样知在人民医院出生的宝宝有 7 ?

4 ? 4 个, 7

其中一孩宝宝有 2 个.???? 2 分 ② 在抽取 7 个宝宝中,人民医院出生的一孩宝宝 2 人,分别记为 A1 , B1 ,二孩宝宝 2 人,分 别记为 a1 , b1 ,博爱医院出生的一孩宝宝 2 人,分别记为 A2 , B2 ,二孩宝宝 1 人,记为 a2 ,从 7 人中抽取 2 人的 一切可能结果所组成的基本事件空间为

? ? ?( A1 , B1 ), ( A1 , a1 ), ( A1 , b1 ), ( A1 , A2 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , a2 ), ( B1 , a1 ), ( B1 , b1 ) ( B1 , A2 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , A2 ), (a1 , B2 ), (a1 , a2 ), (b1 , A2 ), (b1 , B2 ) ? 5 分 (b1 , a2 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , a2 ), ( B2 , a2 )

?

用 A 表示: “两个宝宝恰出生不同医院且均属二孩” ,则 A ? {( a1 , a2 ), (b1 , a2 )}

? P( A) ?

2 21

??? 7 分

5

(2) 2 ? 2 列联表 一孩 人民医院 博爱医院 合 计 20 20 40 二孩 20 10 30 合计 40 30 70 ???? 9 分

K2 ?

70 ? ?20 ? 10 ? 20 ? 20 ? 70 ? ? 1.944 ? 2.072 ,故没有 85%的把握认为一孩、二孩宝宝的 40 ? 30 ? 40 ? 30 36
2

出生与医院有关.

???? 12 分

19、 (1)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60° ,∴BC= 3 ,AC=2. 取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA. ∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB,∴EM∥平面 PAB 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB,∴MC∥平面 PAB ∵EM∩MC=M,∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB-----------5 分 (2)∵PA=CA,F 为 PC 的中点,∴AF⊥PC ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC. 又 EF//CD,∴EF⊥平面 PAC.即 EF 为三棱锥 E-AFC 的高 因为 CD ? 2 3 ,得 EF ? 3 ,-----------7 分 从而 VE ? FAC ?

1 1 1 1 1 1 3 ? ( AC ? AP) ? EF ? ? ( ? 2 ? 2) ? 3 ? 3 2 2 3 2 2 3
1 1 PD ? ? 22 ? 22 ? (2 3) 2 ? 5 2 2

在 Rt ?PAD 中, AE ? CE ? 于是 S?ACE ?

1 AC ? ( 5) 2 ? 1 ? 2 ,设 F 到平面 AEC 的距离为 h 2

由 VE ?FAC ? VF ? AEC 即 ? 2h ?

1 3

3 3 ?h? 3 2

故 F 到平面 AEC 的距离为

3 ------------12 分 2

20、(1) 曲线 C 上的任意一点为 Q( x, y ) , 由题意得

x2 ? y2 ( x ? 3) ? ( y ? 6)
2 2

?

1 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 2) 2 ? 20 -------5 分 2
6

(2)由题意知, 直线 PB 和直线 PC 的斜率存在,且互为相反数, P(1, ?2) 故可设 PA : y ? 2 ? k ( x ? 1) ,-------6 分 由?

y ? 2 ? k ( x ? 1) ? ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2(1 ? k 2 ? 4k ) x ? k 2 ? 8k ? 3 ? 0 2 2 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 20 ?
k 2 ? 8k ? 3 , 1? k2

因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? 同理, xB ?

k 2 ? 8k ? 3 , 1? k2 y ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) 2k ? k ( xB ? x A ) 1 所以 k AB ? B ? ? ?? xB ? x A xB ? x A xB ? x A 2 1 故直线 BC 的斜率为定值 ? 。-------12 分 2 1 1 21. (1)由题意 f ? ? x ? ? a ? ,令 f ? ? x ? ? 0 解得 x ? ? a x
因为 a ? ? ??, ? ,所以 0 ? ? 由 f ? ? x ? ? 0 解得 0 ? x ? ?

? ?

1? e?

1 ? e, a

1 1 ,由 f ? ? x ? ? 0 解得 ? ? x ? e a a

从而 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ? 所以, f ? x ?max ? f ? ?

? ?

1? ? 1 ? ? ,减区间为 ? ? , e ? a? ? a ?

? 1? ? 1? 2 ? ? ?1 ? 1 ? ln ? ? ? ? ?4 ,解得 a ? ?e .-------5 分 a a ? ? ? ?

ln x b ln x b ? 存在零点,即方程 f ? x ? ? ? 有实数根, x 2 x 2 1 x 由已知,函数 f ? x ? 的定义域为 ? x x ? 0? ,当 a ? ? 时, f ? x ? ? ? ? 1 ? ln x , e e 1 1 x?e 所以 f ? ? x ? ? ? ? ? ? ,------7 分 e x ex
(2)函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 当 0 ? x ? e 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? e 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0, e ? ,减区间 为 ? e, ??? ,所以 f ? x ?max ? f ? e ? ? ?1 ,所以 f ? x ? ? 1 . 令 h ? x? ?

ln x b 1 ? ln x ? ,则 h? ? x ? ? .当 0 ? x ? e 时, h? ? x ? ? 0 ; x 2 x2

当 x ? e 时,从而 h ? x ? g ? x ? 在 ? 0, e ? 上单调递增,在 ? e, ??? 上单调递减, 所以 h ? x ? max ? h ? e ? ? 只需 h ? x ? max

1 b ln x b ? ,要使方程 f ? x ? ? ? 有实数根, e 2 x 2 2 1 b ? h ? e ? ? ? ? 1 即可,则 b ? 2 ? .-------12 分 e e 2

7

22.(1)证明:连结 OC . 因为 OA ? OB ,CA ? CB ,所以 OC ? AB. 又 OC 是圆 O 的半径,所以 AB 是 圆 O 的切线. -------4 分 (2) 因 为 直 线 AB 是 圆 O 的 切 线 , 所 以 ?BCD ? ?E. 又 ?CBD ? ?EBC , BC BD CD 所以 △ BCD ∽△BEC . 则有 , ? ? BE BC EC CD 1 又 tan ?CED ? ? , EC 2 BD CD 1 故 ? ? . BC EC 2 设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,又 BC 2 ? BD ? BE ,故 (2 x)2 ? x( x ? 6) ,即 3x 2 ? 6 x ? 0 . 解得 x ? 2 ,即 BD ? 2 . 所以 OA ? OB ? OD ? DB ? 3 ? 2 ? 5. -------10 分 23. (1) y ? ? x ? 1,

x2 ? y 2 ? 1 -----------4 分 4

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (2)将 ? ?t为参数? 代人 C2 直角坐标方程 2 ? y ? ?1 ? t ? 2 ? 8 2 得 5t ? 12 2t ? 8 ? 0 t1 ? t 2 ? -------10 分 5 ?a ? m ? ?1 24.(1)因为 x ? a ? m 所以 a ? m ? x ? a ? m 得 ? ? a ? 2, m ? 3 -------5 分 ?a ? m ? 5 (2) a ? 2 时等价于 x ? 2 ? t ? x 当 x ? 2, x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2 所以舍去; t?2 , 成立 当 0 ? x ? 2,2 ? x ? t ? x,? 0 ? x ? 2
当 x ? 0,2 ? x ? t ? ? x 成立; 所以,原不等式解集是 ? ? ?,

? ?

t ? 2? ---------10 分 2 ? ?

8


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