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2010~2011年度第一学期高一数学参考答案及评分建议


2010~2011 学年度第一学期期末考试高一数学 参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填写在答题卡相应位置. 1. 已知向量 AB ? ? 2, 4?,AC ? ?1 , 3? ,则向量 BC 的坐标是 ▲ .

3,4, 5} ,集合 A ? {1, 3, 4},B ? {2, 3} ,则

? ? 2. 已知全集 U ? {1,2, U A?

B?



.

3 3. 已知 ? ? π ,π , sin ? ? ,则 tan ? ? 2 5

?

?



.

?x ? 1 ?2 , x ? 0, 4. 已知函数f ( x) ? ? 若 f ( x0 ) ? ,则x0 的值为 4 ? ?log81 x,x≥0,



.

5. 函数 f ( x) ? sin 2 x ? π 的最小正周期为 3
1

?

?



. ▲ ▲ . .

6. 设函数 f1 ( x) ? x 2,f 2 ( x) ? x ?1,f3 ( x) ? x 2 ,则 f3 ? ? f2 ? f1 (2011) ?? ?= 7. 8. 在边长为 1 的正三角形 ABC 中, AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB = 若 sin ? ? cos? ? 2 ,则 sin ?? ? 5π ? ? sin 3π ? ? ? sin ? ? cos? 2

?

?



.

9. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,值域为[a,b],则函数 y ? f ( x ? a) 的最大值与最小值 之和为 ▲ . ▲ .

? ?MA ? MB ? MC ? 0, 10.已知△ABC 所在平面上一点 M 满足 ? 则 m= ? ? AB ? AC ? mAM ,
11.

b? 表示 a,b 两数中的较小数. 设函数 f ( x) ? min ? x ,x ? t ? 的图象关于直线 用 min ?a,
x ? ? 1 对称,则 t 的值为 2



.

1 ,P ? {a, 0} , f : x ? x 是集合 M 到集合 P 的一个映射, 12. 若 a, b 为实数, 集合 M ? b , a

? ?
?

则 a+b=



. ▲ .

x 13.设函数 f ( x) ? a ? e x (a 为常数)在定义域上是奇函数,则 a= 1 ? ae

? π ? ? ? π ,有下列论断: 14.对于函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? ? ? 0, 2 2

?

高一数学参考答案及评分建议 第 1 页 ·共 6 页

①函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? π 对称; 12 ②函数 y ? f ( x) 的图象关于点 π ,0 对称; 3 ③函数 y ? f ( x) 的最小正周期为 π ; ④函数 y ? f ( x) 在区间 ? ? π , 0? 上是单调增函数. ? ? 6 ? ? 以其中两个论断作为条件,其余两个作为结论,写出你认为正确一个命题: (填序号即可,形式: ?? ? ? ? ) ▲ .

? ?

【填空题答案】 1. (-1,1) 5. π 9. a+b 13. ?1 2. {2} 6.
1 2011

3. ? 3 4 7. ? 3 2 11. 1

4. 3 8. 3 10 12. 1

10. 3

14. ①③ ? ②④(或②③ ? ①④,①② ? ③④)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 设集合 A ? x x2 ? 4a ? (a ? 4) x, a ? R , B ? x x 2 ? 4 ? 5x . (1)若 A B ? A ,求实数 a 的值; (2)求 A B , A B . 解:A ? ?x x ? 4或x ? a?,B ? ?1 , 4? . ………………………4 分

?

?

?

?

(1) 因为 A B ? A ,所以 A ? B ,由此得 a ? 1 或 a ? 4 ; ………………………8 分
, 4? ,所以 A B ? ?1 , 4? , A B ? ?1 , 4? ;………10 分 (2) 若 a ? 1 ,则 A ? B ? ?1

若 a ? 4 ,则 A ? ?4? ,所以 A B ? {1,4} , A B ? {4} ; ……………………12 分 若 a ? 1且a ? 4 ,则 A ? ?4,a? ,所以 A B ? {1,4,a} , A B ? {4} . ………14 分

高一数学参考答案及评分建议 第 2 页 ·共 6 页

16.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? sin x,3 , b ? ?cos x, ?1 ? . 2 (1)当 a // b 时,求 cos 2 x 的值; (2)设函数 f ( x) ? ? a ? b ? ? b ,问:由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得函数
y ? f ( x) 的图象?

?

?

解:(1)当 a // b 时,有 sin x ? 3 cos x ? 0 , 2

………………………2 分

于是 sin 2 x ? 9 cos 2 x ,从而 9 cos2 x ? cos2 x ? 1 ,解得 cos2 x ? 4 ,所以 sin 2 x ? 9 . 4 4 13 13 ………………………4 分 所以 cos2x ? cos2 x ? sin 2 x ? 4 ? 9 ? ? 5 . 13 13 13 ………………………6 分

2 (2) f ( x) ? ? a ? b ? ? b ? sin x ? cos x,1 ? ? cos x, ? 1? ? 2sin x cos x ? 2cos x ? 1 2 2

?

?

? sin 2x ? cos 2x ? 2 sin 2x ? π . 2 2 4
由函数 y ? sin x 的图象经过下列三步可得 y ? f ( x) 的图象:

?

?

………………………8 分

①将函数 y ? sin x 的图象上所有点向左平移 π 个单位,得函数 y ? sin x ? π 的图象; 4 4 ②将函数 y ? sin x ? π 的图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍(纵坐标不变),得 2 4 函数 y ? sin 2 x ? π 的图象; 4 ③将函数 y ? sin 2 x ? π 的图象上每一点的纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不变), 4 2 得函数 y ? 2 sin 2 x ? π 即 y ? f ( x) 的图象. 2 4 17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a 2sin 2 x ? k sin x ? b. 2 (1)当 a ? 1, k ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)当 a ? 0,k ? 1 时,函数 f ( x) 在 ? 0,π ? 上的值域是[2,3],求 a,b 的值.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

………………………14 分

?

?

高一数学参考答案及评分建议 第 3 页 ·共 6 页

【解】 f ( x) ? a 2sin 2 x ? k sin x ? b ? a ?1 ? cos x ? k sin x ? ? b. ………………………2 分 2 (1)当 a ? 1, k ? 3 时, f ( x) ? ?1 ? cos x ? 3 sin x ? ? b ? 2sin x ? π ? b ? 1. ……4 分 6
π 2kπ ? 3π ? (k ? Z) , 因为函数 y ? sin x 的单调减区间是 ? ?2kπ ? 2 , ? ? 2?

?

?

?

?

所以当 2kπ ? π ≤x- π ≤2kπ ? 3π 即 2kπ ? 2π ≤x≤2kπ ? 5π (k ? Z) 时,f ( x) 是单调减函 2 6 2 3 3 数, 故函数 f ( x) 的单调减区间是 ?2kπ ? 2π ,2kπ ? 5π ? (k ? Z). ? ? 3 3? ? ………………………7 分

? ? 因为 x ? ? 0,π ? ,所以 ? π ≤x ? π ≤ 3π ,所以 ? 2 ≤sin ? x ? π ?≤ 1. 4 4 4 2 4 又因为 a ? 0 ,所以 2a≤ 2a sin ? x ? π ?≤ ? a , 4
所以 2a ? a ? b≤f ( x)≤b.

(2)当 a ? 0,k ? 1 时, f ( x) ? a ?1 ? cos x ? sin x ? ? b ? 2a sin x ? π ? a ? b. ……9 分 4

………………………12 分

? ? 2a ? a ? b ? 2, 因为 f ( x) 的值域是[2,3],所以 ? ? ? b ? 3,
解得 a ? 1 ? 2, b ? 3. ………………………14 分

18. (本小题满分 16 分)
c ? R),g ( x) ? 2x ? b ,且对于任意 x ? R,恒有 g ( x)≤f ( x). 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c≥ b ; (1)证明: c≥1, ? ? ? 内没有零点. (2)设函数 h( x) 满足: f ( x) ? h( x) ? ( x ? c)2 ,证明:函数 h( x) 在 ? 0,

【证明】 (1)任意 x ? R,恒有 g ( x)≤f ( x) ,即 x2 ? (b ? 2) x ? c ? b≥0 恒成立, 所以 (b ? 2)2 ? 4(c ? b)≤0 ,化简得 c≥ b ? 1 . 于是 c≥1 . 4
2

………………………4 分

2 2 而 c2 ? b2≥ b ? 1 ? b2 ? b ? 1 ≥0 ,所以 c 2≥b2 ,故 c≥ b .………………………8 分 4 4

?

?

2

?

?

2

高一数学参考答案及评分建议 第 4 页 ·共 6 页

(2) h( x) ? ( x ? c)2 ? f ( x) ? (2c ? b) x ? c(c ? 1) . 由(1)知 2c ? b ? c ? (c ? b ) ? 0 , c(c ? 1)≥0 .

………………………10 分 ………………………13 分

于是当 x ? ? 0, ? ? ? 时, h( x) ? ( x ? c)2 ? f ( x) ? (2c ? b) x ? c(c ? 1) ? 0 , 故函数 h( x) 在 ? 0, ? ? ? 内没有零点. ………………………16 分

19. (本小题满分 16 分) 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在 40 分钟的一节课中,注意力指数 p 与听课时间 t(单位:分钟)之间的关系满足如图
14] 时,曲线是二次函数图象的一部分,当 t ? [14,40] 时,曲线 所示的曲线.当 t ? (0,

是函数 y ? loga ? x ? 5? ? 83 ( a ? 0 ,a ? 1 )图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数
p

p 大于 80 时学习效果最佳. (1)试求 p ? f (t ) 的函数关系式; (2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生 学习效果最佳?请说明理由.
14] 时, 【解】(1)当 t ? [0,
82 81

设 p ? f (t ) ? c(t ? 12)2 ? 82(c ? 0) ,………………2 分 将(14,81)代入得 c ? ? 1 . 4

O 0 0

12 14

40

t

1 14] 时, p ? f (t ) ? ? (t ? 12) 2 ? 82 . 所以当 t ? [0, 4

………………………4 分

当 t ? [14,40] 时,将(14,81)代入 y ? loga ? x ? 5? ? 83 ,得 a ? 1 . ……………………6 分 3
?? 1 (t ? 12)2 ? 82, (0≤t ? 14), ? 于是 p ? f (t ) ? ? 4 ?log 1 (t ? 5) ? 83, (14≤t≤40). ? 3

………………………8 分

?0≤t ? 14, ? (2)解不等式组 ? 1 得 12 ? 2 2 ? t ? 14. ? (t ? 12)2 ? 82 ? 80 ? ? 4

………………………11 分

高一数学参考答案及评分建议 第 5 页 ·共 6 页

? ?14≤t≤40, 解不等式组 ?log (t ? 5) ? 83 ? 80 得 14≤t ? 32. 1 ? ? 3

………………………14 分

故当 12 ? 2 2 ? t ? 32 时, p(t ) ? 80 , 答:老师在 t ? ?12 ? 2 2, 32? 时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳.……16 分

20.(本小题满分 16 分) 设 t ? R,m,n 都是不为 1 的正数,函数 f ( x) ? mx ? t ? n x . (1)若 m,n 满足 mn ? 1 ,请判断函数 y ? f ( x) 是否具有奇偶性. 如果具有,求出相 应的 t 的值;如果不具有,请说明理由; (2)若 m ? 2,n ? 1 ,且 t ? 0 ,请判断函数 y ? f ( x) 的图象是否具有对称性. 如果具 2 有,请求出对称轴方程或对称中心坐标;若不具有,请说明理由. 【解】(1)因为 mn ? 1 ,所以 f (? x) ? m? x ? t ? n? x ? n x ? t ? mx . ……………………2 分
y ? f ( x) 是偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? 0 恒成立 ? ? n x ? mx ? ?t ? 1? ? 0 恒成立. ………4 分 y ? f ( x) 是奇函数 ? f ( x) ? f (? x) ? 0 恒成立 ? ? n x ? mx ? ?t ? 1? ? 0 恒成立. ………6 分

因为 m,n 都是不为 1 的正数,且 mn ? 1 ,所以 n x ? mx ? 0 不恒成立, n x ? mx ? 0 , 故当且仅当 t =1 时, y ? f ( x) 是偶函数;当且仅当 t ? ?1 时, y ? f ( x) 是奇函数. ………………………8 分 (2)当 m ? 2,n ? 1 时, f ( x) ? 2x ? t ? 2? x . 2 如果 t ? 0 ,那么 f ( x) ? 2x ? t ? 2? x ? 2x ? (?t ) ? 2? x ? 2x ? 2log2 ( ?t ) ? 2? x ? 2x ? 2log2 ( ?t ) ? x , 于是有 f ? log2 (?t ) ? x ? ? ? f ( x) ,

0 对称的中心对称图形. …………12 分 所以函数 y ? f ( x) 的图象是关于点 1 log 2 (?t ), 2
如果 t ? 0 ,那么 f ( x) ? 2x ? t ? 2? x ? 2x ? 2log2 t ? 2? x ? 2x ? 2log2 t ? x , 于是有 f ? log2 t ? x ? ? f ( x) , 所以函数 y ? f ( x) 的图象是关于直线 x ? 1 log 2 t 对称的轴对称图形. ……………16 分 2

?

?

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