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2014届高三数学冲刺高考真题训练6(理)


2014 届 高 三 数 学 冲 刺 高 考 真 题 训 练 6( 理 )
一、填空题
1.计算: lim

n ? 20 ? ______ n ?? 3n ? 13

2.设 m ? R , m2 ? m ? 2 ? (m2 ? 1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________ 3.若

x2 ?1

y2 1

?

x

x

y ?y

,则 x ? y ? ______

4.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ,
2 2 2

则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示) 5.设常数 a ? R ,若 ? x 2 ? 6.方程

? ?

a? 7 ? 的二项展开式中 x 项的系数为 ?10 ,则 a ? ______ x?

5

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

7.在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1与 ? cos ? ? 1 的公共点到极点的距离为__________

8.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两 个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 9.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 两个焦点之间的距离为________ 10 . 设 非 零 常 数 d 是 等 差 数 列 x1 , x2 , x3 ,

?
4

,若 AB=4, BC ? 2 ,则 ? 的

, x19 的 公 差 , 随 机 变 量 ? 等 可 能 地 取 值

x1 , x2 , x3 ,

,则方差 D? ? _______ , x1 9

11.若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ 2 3

12.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________

a2 ?7 , x

-1-

13.在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1( x ? 1) 和

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封
闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成 的几何体为 ? ,过 (0, y )(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,所得截
2 面面积为 4? 1 ? y ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________

I} 14.对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g (I ) ?{ y | y ?g (x), x ?

,已知定义域为 [0,3] 的

函 数 y ? f ( x) 有 反 函 数 y ? f ?1 ( x) , 且 f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) , 若 方 程

f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____

二、选择题
15.设常数 a ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ? 1} ,若 A ? B ? R ,则

a 的取值范围为(
(A) (??, 2)

) (B) ( ??, 2] (C) (2, ??) (D) [2, ??)

16.钱大姐常说“便宜没好货” ,她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的( (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件



17 .在数列 {an } 中, an ? 2n ? 1 ,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素

,2 ,1 ; 7 , ,2 ,1 2, (i ? ai , j ? ai ? a j ? ai ? a j ,
数为( ) (A)18 (B)28

j?
(C)48

)则该矩阵元素能取到的不同数值的个

(D)63

18.在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为

a1, a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3 , d4 , d5 .若 m, M 分
别 为

(ai ?

aj ?

) ak ? ( dr ?

d的 dt 小 值 、 最 大 值 , 其 中 s ?) 最
). (D) m ? 0, M ? 0

{i, j, k} ? {1, 2,3, 4,5} , {r, s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M 满足(
(A) m ? 0, M ? 0 (B) m ? 0, M ? 0 (C) m ? 0, M ? 0

-2-

三、解答题
19.(本题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.
A D1 D B C1 B1 C

A1

20. (6 分+8 分)甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品 (生产条件要求 1 ? x ? 10 ) , 每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大 利润.

3 x

21. (6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 6

数 y ? g ( x) 的图像,区间 [ a, b ] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

-3-

22 . ( 3 分 +5 分 +8 分)如图,已知曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 2

, P 是平面上一点, 若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都 C2 :| y |? | x |? 1 有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点” . (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该 焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点” ; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1—C2 型点” . 2

| 23 . ( 3 分 +6 分 +9 分)给定常数 c ? 0 ,定义函数 f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c ,数列

a1 , a2 , a3 , 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * .
(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ; (2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c , ; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , 在,说明理由.

an ,

成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存

-4-

【参考答案】
一、填空题 1. 【解答】根据极限运算法则, lim 2. 【解答】 ?
n ??

n ? 20 1 ? . 3n ? 13 3

?m2 ? m ? 2 ? 0
2 ? m ?1 ? 0

? m ? ?2 .

3. 【解答】 x2 ? y 2 ? ?2xy ? x ? y ? 0 .

2 3a 2 ? 2ab ? 3b 2 ? 3c 2 ? 0 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab , 3 1 1 cos C ? ? , C ? ? ? arccos . 3 3 r 2 5? r a r 1 5.【解答】 Tr ?1 ? C5 ( x ) ( ) , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 ,故 C5 a ? ?10 ? a ? ?2 . x
4. 【 解 答 】 6.【解答】原方程整理后变为 32 x ? 2 ? 3x ? 8 ? 0 ? 3x ? 4 ? x ? log3 4 . 7. 【解答】联立方程组得 ? ( ? ? 1) ? 1 ? ? ?



1? 5 1? 5 ,又 ? ? 0 ,故所求为 . 2 2

8.【解答】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ?

C52 13 ? . C92 18

9. 【 解 答 】 不 妨 设 椭 圆 ? 的 标 准 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1 , 于 是 可 算 得 C (1,1) , 得 4 b2

4 4 6 b 2 ? , 2c ? . 3 3
10.【解答】 E? ? x10 , D? ? 11. 【 解 答 】 cos( x ? y ) ?

d2 2 2 (9 ? 8 ? 19

? 12 ? 02 ? 12 ?

? 92 ) ? 30 | d | .

1 2 , sin 2 x ? sin 2 y ? 2sin( x ? y ) cos( x ? y ) ? , 故 2 3

2 s i x n ?( y ? ). 3

a2 ? 7 ? a ?1 12.【解答】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? x
即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ?

8 . 7
-5-

13. 【解答】根据提示,一个半径为 1,高为 2? 的圆柱平放,一个高为 2,底面面积 8? 的 长方体,这两个几何体与 ? 放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等, 故它们的体积相等,即 ? 的体积值为 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 8? ? 2? ? 16? .
2 2

14.【解答】根据反函数定义,当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? (2, 4] ; x ? [1, 2) 时, f ( x) ? [0,1) ,

] , f ( x) 的 取 值 应 在 集 合 而 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 [0,3] , 故 当 x ? [ 2 , 3 时 (??,0) ? [1, 2] ? (4, ??) ,故若 f ( x0 ) ? x0 ,只有 x0 ? 2 .

二、选择题 15.【解答】集合 A 讨论后利用数轴可知, ?

? a ?1 ? a ?1 或? ,解答选项为 B. ? a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? a
,19 ,故不同数值个数为 18

16.【解答】根据等价命题,便宜?没好货,等价于,好货?不便宜,故选 B. 17.【解答】 ai , j ? ai ? a j ? ai ? a j ? 2 个,选 A. 18. 【解答】 作图知, 只有 AF ? DE ? AB ? DC ? 0 , 其余均有 ai ? dr ? 0 , 故选 D. 三、解答题 19.
i? j

?1 ,而 i ? j ? 2, 3,

D A D1 B

C C1 B1

A1

【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1D1 , AB ? C1D1 , 故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1 平行于 平面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? DC ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 1 2 2 1 3 1 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 3 2 3 3
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 20. 【解答】(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ?

3 x

3 ?0 x

-6-

又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 (2)设利润为 y 元,则 y ?

900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12

故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.

21. 【解答】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? ? 15 ? ? 故若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点, 则 b ? a 的最小值为 14 ? . 3 3 3

?

?

22. 【解答】 : (1) C1 的左焦点为 F (? 3,0) , 过 F 的直线 x ? ? 3 与 C1 交于 (? 3, ?

2 ), 2

与 C2 交于 (? 3, ?( 3 ?1)) ,故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点” ,且直线可以为 x ? ? 3 ; (2)直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx ? (| k | ?1) | x |? 1 ,若方程组有解,则必须 | k |? 1 ; ? ?| y |?| x | ?1
直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx 1 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ,若方程组有解,则必须 k 2 ? ? 2 2 2 ?x ? 2 y ? 2
故直线 y ? kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点,即原点不是“C1-C2 型点” 。 (3)显然过圆 x ? y ?
2 2

1 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点,则斜率必存在; 2

根据对称性,不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t , t ? 1)(t ? 0) ,则

l : y ? (t ? 1) ? k ( x ? t ) ? kx ? y ? (1 ? t ? kt ) ? 0
-7-

直线 l 与圆 x ? y ?
2 2 2

1 |1 ? t ? kt | 2 内部有交点,故 ? 2 2 k 2 ?1 1 2 (k ? 1) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。① 2

化简得, (1 ? t ? tk ) ?

若直线 l 与曲线 C1 有交点,则

? y ? kx ? kt ? t ? 1 1 ? ? (k 2 ? ) x 2 ? 2k (1 ? t ? kt ) x ? (1 ? t ? kt )2 ? 1 ? 0 ? x2 2 2 ? y ?1 ? ? 2
1 ? ? 4k 2 (1 ? t ? kt ) 2 ? 4(k 2 ? )[(1 ? t ? kt ) 2 ? 1] ? 0 ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 2(k 2 ? 1) 2
化简得, (1 ? t ? kt )2 ? 2(k 2 ?1) 。 。 。 。 。②

1 2 (k ? 1) ? k 2 ? 1 2 1 2 2 但此时,因为 t ? 0,[1 ? t (1 ? k )] ? 1, (k ? 1) ? 1 ,即①式不成立; 2 1 2 当 k ? 时,①式也不成立 2 1 2 2 综上,直线 l 若与圆 x ? y ? 内有交点,则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点, 2 1 2 2 即圆 x ? y ? 内的点都不是“C1-C2 型点” . 2
由①②得, 2(k ? 1) ? (1 ? t ? tk ) ?
2 2

23. 【解答】 : (1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2| a1 ?c ? 4| ?| a 1 ? c | ? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0

-8-

此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,

, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意;

综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .

-9-


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