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第3 课时 等差数列的前N项和教师版


项的和( 第 3 课时 等差数列的前 n 项的和(1) 教学目标 (1)理解用等差数列的性质推导等差数列的前 n 项和的方法; (2)掌握等差数列的前 n 项和的两个公式,并能运用公式初步解决有关问题; (3)理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法,提高逻辑推理能力 教学重点,难点 教学重点,难点公式的推导、理解和记忆,公式的灵活运用。 教学过程一. 教学过程一.问题情境 1.一堆钢管共 7 层,第一层钢管数为 4,第七层钢管数为 10,且下一层比上一层多一根,问一共有多少根钢管? ;③倒序相加法。 二.学生活动引导学生思考、讨论可得出如下方法:①数一数;②分组求和(插入高斯的故事) 学生活动

三.建构数学 1.等差数列的前 n 和:
(1)问题:在等差数列

{an } 中首项 a1 ,公差 d ,求 S n = a1 + a2 + ……+ an .

S n = a1 + a2 + ……+ an = a1 + (a1 + d ) + ……+ a1 + (n ? 1)d
∴ 2 S n = n( a1 + an ) ,∴ S = n(a1 + an ) ,又∵ an = a1 + ( n ? 1)d , n 2

Sn = an + an ?1 + ……+ a1 = an + (an ? d ) + …… [ an ? (n ? 1)d ]
2

∴ S = na + n( n ? 1) d . n 1

(2)等差数列的前 n 和的求和公式: S = n( a1 + an ) = na + n( n ? 1) d . n 1 2 2 说明: (1)等差数列的前 n 和等于首末两项和的一半的 n 倍;

(2)在等差数列前 n 项和公式及通项公式中有 a1 , an , n , d , Sn 五个量,已知其中三个可以求出另外两个。 四.数学运用 1.例题: 例 1.在等差数列

{an } 中,(1)已知 a1 = 3 ,a50 = 101 ,(2),求 S50 ;已知 a1 = 3 ,d =

1 ,求 S10 。答案: (1)S50 = 2600 2

(2)S10 = 105

2

(1) ×n = ? ? 2 ? 2 ? 1 3 (2) ?a1 + ( n ? 1) × = ? 2 2 1 ? 37(37 ? 1) × (2)由题意,得 ? 3 = 629 (1) 37 a1 + ? 2 ? ? 1 (2) ?an = a1 + (37 ? 1) × 3 ?

1 例 2. (1)在等差数列 {an } 中,已知 d = , a = 3 , S = ? 15 ,求 a1 及 n ;(2)在等差数列 {an } 中, d = 1 , n = 37 , S n = 629 ,求 a1 及 an n n 2 2 2 3 3 ? 2 a + 解: (1)由题意,得 ? 由(2)得: 代入(1)得 n ?7 ?30=0,∴ n =10, n =?3(舍去) n ,∴ a1 = ?3 1 15 2 a = ? n+2
1
1

2

解得:

?a1 = 11 ? ?an = 23

例 3.求集合 M = m m = 7 n, n ∈ N ? , 且m < 100 的元素个数,并求这些元素的和。 解:由 7n < 100 ,得 n < 14 2 ,故集合 M 中的元素共有 14 个,将它们从小到大列出,得 7 , 14 , 21 , 28 ,……, 98 . 7 这数列是等差数列, 共有 14 项, 记为 例 4. (1)在等差数列

{

}

{an } ,其中 a1 =7,a14 = 98 所以,S

14

=

{an } 中,若 a6 + a9 + a12 + a15 = 34 ,求 S20 (答案: S20 = 170 ) (2)在等差数列 {an } 中, S10 = 310 ,第 11 项到第 20 项的和为 910,求 第 21 项到第 30 项的和。
? ? S20 ? S10 = 910

14 × (7 + 98) 集合 M 共有 14 个元素 , 它们的和等于 735 . = 735 答: 2

解: (2)设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,由题意,得 ? S10 = 310

即: ?10a1 + 10 × 9 d = 310

? ? 2 ? ?20a + 20 ×19 d ? 310 = 910 ? 1 ? 2

解得: ?a1 = 4 ? ?d = 6



a21 = 4 + 20 × 6 = 124 ,∴ a + a + L + a = 10 × 124 + 10 × 9 × 6 = 1510 21 22 30
2

从上例中我们发现: S10 , S 20 结论: S m , S 2 m 五.回顾小结: 回顾小结:

? S10 , S30 ? S 20 也成等差数列,你能得出更一般的结论吗?

? Sm ,L S( k +1) m ? Skm (k ∈ N * ) 仍成等差数列,公差为 m 2 d ( m 为确定的正整数) 。

1

1.等差数列的前 n 项和的两个公式及推导方法 ; 2.在等差数列前 n 项和公式及通项公式中有 a1 , an , n , d , S n 五个量,已知其中三个可以求出另外两个。 3.等差数列前 n 项和的性质:在等差数列 为确定的正整数) 。 项和的公式( §2.2 第 4 课时 等差数列的前 n 项和的公式(2) 教学目标(1)能熟练运用等差数列前 n 项和的公式解决有关应用问题, (2)掌握等差数列前 n 项和中奇数项和与偶数项和的性质。 教学目标 教学重点,难点 教学重点,难点等差数列前 n 项和的公式的应用。 教学过程一. 教学过程一.问题情境 情境:1.等差数列

{an } 中前 n 项为 Sn ,则 Sm , S2 m ? Sm ,L S( k +1) m ? Skm (k ∈ N * ) 仍成等差数列,公差为 m 2 d ( m

{an } 中, a

2

+ a5 = 19 , S5 = 40 ,则 a10 = 29 ;2.等差数列

{an } 中, a

2

+ a7 + a12 = 21 ,则 S13 = 91 ;
820 个座位。

3.已知等差数列前 n 项和为 a ,前 2 n 项和为 b ,前 3n 项的和为为 3(b ? a ) ; 4.某剧场有 20 排座位,后一排比前一排多 2 个座位,最后一排有 60 个座位,这个剧场共有 二.学生活动学生板演解答上面各题。 学生活动 三.数学运用 1.例题:例 1.已知等差数列 {an } 的项数为奇数,且奇数的和为 44 ,偶数项的和为 33 ,求此数列的中间项及项数 解:设项数为 2k 由题意, S

+ 1 ,奇数项和记为 S



,偶数项和记为 S



, ②

① ÷ ②得, k + 1 = 44 ,解得 k
k 33

(a + a ) 奇 = a1 + a3 + L + a2 k +1 = 1 2 k +1 × ( k + 1) = 44 2

① S 偶 = a + a + L + a = ( a2 + a2 k ) × k = 33 2 4 2k

= 3 ,∴

2

项数为 7 项,又

S = 11 ? ak +1 = 44


,∴

ak +1 = 11 ,即中间项为 11 . S 偶 = nd ;


说明: 是等差数列, (Ⅰ 若项数为偶数, 说明:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项,则① S 奇 ? ( (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则① S 偶 ? 若项数为奇数,

S奇 a = n S偶 an+1



S 奇 = an = a中 ;

② S奇 = n .

S偶

n ?1

例 2.某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径 40mm,满盘时直径 120mm,已知卫生纸的厚度为 0.1mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米 (精确到 0.1m)? 解:卫生纸的厚度为 0.1mm,可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆,然后分别计算各圆的周长,再求总和。由内向外各圈的半径分别 为

20.05, 20.15,L ,59.95

因此各圈的周长分别为

40.1π , 40.3π ,L ,119.9π

∵各圈半径组成首项为 20.05 ,公差为 0.1 的等差数列,

设圈数为 n ,则 59.95=20.05+(n?1)×0.1, ∴ n= 400∴各圈的周长组成一个首项为 40.1π ,公差为 0.2π ,项数为 40 的等差数列,
Sn = 400× 40.1π + 400× (400 ?1) π m ) × 0.2π = 32000π (mm) 32000 (m ) ≈100(m 答:满盘时卫生纸的总长度约是 100 米.说明:各圈的半径为该层纸的中心线至盘 2

芯中心的距离。 例 3.教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象是在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假 设零存整取 3 年期教育储蓄的月利率为 2.1 ‰. (1)欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元,每月大约存入多少元? (2)零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元?此时 3 年后本息合计约为多少?(精确到 1 元)? 说明:教育储蓄可选择 1 年、3 年、6 年这三种存期,起存金额 50 元,存款总额不超过 2 万元。 解: (1)设每月存入

A 元,则有 A(1 + 2.1 ‰) +A(1+2×2.1‰) +L+ A(1+36×2.1‰) = 20000. A ≈ 535 (元)

由等差数列的求和公式,得: A(36 + 36× 2.1‰ + 36 × 35 × 2.1 ‰) =2 00 .解得 00 2

2

(2)由于教育储蓄的存款总额不超过 2 万元,∴3 年期教育储蓄每月至多可存入

20000 ≈ 555 (元) ,这样 3 年后的本息和为 36
2

555(1+2×2.1‰) + L + 555(1 + 36 × 2.1 ‰) = 555 555(1 + 2.1 ‰) +

。 (36 + 36 × 2.1 ‰ + 36 × 35 × 2.1 ‰) ≈ 20756 (元)

答:欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元,每月大约存入 535 元。3 年期教育储蓄每月至多存入 555 元,此时 3 年后本息合计约 20756 元。 五.回顾小结: 回顾小结: 1.等差数列前 n 项和中奇数项和与偶数项和的性质;2.等差数列前 n 项和公式在实际中的应用及解题规范。 项和( 第 5 课时 等差数列的前 n 项和(3) 教学目标 (2)能利用数列通项公式与前 n 项和之间的关系解决有关问题。 (1)能熟练地应用等差数列前 n 项和公式解决有关问题; 教学重点, 教学重点,难点 1.等差数列前 n 项和公式的应用;2.数列通项公式与前 n 项和之间的关系的应用。 教学过程 一.问题情境 1.情境:已知等差数列

{an } 中, Sn = an 2 + (a + 1)n + a + 2 ,任何求 an ?( an = ?4n + 1 )
(n = 1) ? S1 an = ? ? Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)

(2)利用 an 与 S n 的关系: 二.学生活动(1)求出 a1 和 d ,再用等差数列的通项公式求 an ; 学生活动

(3)把等差数列的条件去掉,求 an 。 三.数学运用 1.例题: 例 1. (1)如果数列 {an } 满足 a1

= 3,

1 1 ,求 ? = 5 ( n ∈ N ? ) an ; an +1 an
3 1 15n ? 14 ,∴ . an = = + 5( n ? 1) = 15n ? 14 3 3

= ? n 2 ? 2n ,求 an . 1 1 解: (1)由题意: { } 是公差为 5 的等差数列,其首项为 ,∴ 1 3 an an
(2)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n (2)当 n

= 1 时, a1 = S1 = ?3 ,当 n ≥ 2 时, an = Sn ? Sn ?1 = (? n 2 ? 2n) ? [?(n ? 1)2 ? 2( n ? 1)] = ?2n ? 1 ,所以, an = ?2n ? 1 ( n ∈ N ? ) 。
Sn 7n + 2 a ,求 7 = ' Sn n+3 b7
b7 S 13 13 + 3

例 2.等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 和 S

'

n

,且

的值。

解:∵ S

13

=

13(b1 + b13 ) 13(a1 + a13 ) ' = 13b7 , = 13a7 , S 13 = 2 2
'

所以, a7 = S13 = 7 × 13 + 2 = 93 '
16
n

说明:若等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 和 S 例 3.在等差数列中, a10 解:设等差数列

= 23 , a25 = ?22 , (1)该数列第几项开始为负?(2)前多少项和最大?(3)求 { an } 前 n 项和?
25

,则 an = S 2 n ?1 ′ bn S 2 n ?1

?a = 50 ?? 1 ?d = ?3 ?23 = a1 + (10 ? 1) × (?3) 53 ,所以从第 18 项开始为负。 (1)设第 n 项开始为负, an = 50?3(n?1) = 53?3n < 0, n > 3 n(n ?1) 3 2 103 3 103 3 103 (2) (法一)设前 n 项和为 S n ,则 S = 50n + (?3) = ? n + n = ? (n ? )2 + × ( )2 ,所以,当 n = 17 时,前 17 项和最大。 n 2 2 2 2 6 2 6 (法二) ?an ≥ 0 ,则 ?53 ? 3n ≥ 0 , 50 ≤ n ≤ 53 ,所以 n = 17 . ? ? 3 3 ?50 ? 3n ≤ 0 ?an+1 ≤ 0
? a10 = 15d = ?45
(3) a = 53 ? 3n = ? n

{an } 中,公差为 d ,由题意得: ?a ?

?53 ? 3n, 0 < n ≤ 17 ∴ ' S n = a1 + a2 + a3 + L + an = a1 + a2 + L + a17 ? (a18 + a19 +L + an ) , ?3n ? 53, n > 17
2

当 n ≤ 17 时, S ' n = ? 3 n 2 + 103 n , 当 n
2

> 17 时, S 'n = ?(? 3 n 2 + 103 n) + 2S17 = 3 n 2 ? 103 n + 884 ,
2 2 2 2
3

所以,

? 3 2 103 ?? n + 2 n(n ≤ 17) ? Sn =? 2 ??(? 3 n 2 + 103 n) + 2S = 3 n 2 ? 103 n + 884(n > 17) 17 ? ? 2 2 2 2
'

说明: (1) a1

> 0 , d < 0 时, S n 有最大值; a1 < 0 , d > 0 时, S n 有最小值; ; (2) S n 最值的求法:①若已知 S n ,可用二次函数最值的求法( n ∈ N + )
②若已知 an ,则 S n 最值时 n 的值( n ∈ N + )可如下确定 ?

?an ≥ 0 ?an ≤ 0 或? . ?an +1 ≤ 0 ?an +1 ≥ 0

四.回顾小结: 回顾小结: 1. an 与 Sn 的关系: an

(n = 1) ? S1 =? ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2)

2.若等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 和 S

'

n

,则

an S 2 n ?1 = ′ bn S 2 n ?1

3. (1) a1

> 0 , d < 0 时, S n 有最大值; a1 < 0 , d > 0 时, S n 有最小值;

(2) S n 最值的求法: ①若已知 S n ,可用二次函数最值的求法( n ∈ N + ) ; ②若已知 an ,则 S n 最值时 n 的值( n ∈ N + )可如下确定 ?

?an ≥ 0 ?an ≤ 0 或? . ?an +1 ≤ 0 ?an +1 ≥ 0

课外作业: 五.课外作业: 补充: 1.已知数列 {

P 45

10

11 13 1 } 成等差数列,且 a3 = ? , a5 = ? ,求 a8 的值。 6 7 an + 2
= 32n ? n 2 ,求证 {an } 是等差数列。
?

2.数列 {an } 的前 n 项和 S n

3.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,并对 n ∈ N , S 2 n ?1 4.数列

= 4n 2 ? 1 ,求这个数列的通项公式及前前 n 项和公式

{an } 是首项为 23,公差为整数的 AP 数列,且 a6 > 0 , a7 < 0 ,
(1)求公差 d ; (2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值; (3)当 S n 为正数时,求 n 的最大值。 。

4


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