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2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测七计数原理与概率统计


专题综合检测七计数原理与概率统计
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小 题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(文)某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵,为调查树 苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则 样本中松树苗的数量为( A.25 [答

案] D 150 [解析] 样本中松树苗的数量为 4000×30000=20. (理)(2012· 广东湛江测试)某学校进行问卷调查, 将全校 4200 名同 学分为 100 组,每组 42 人按 1~42 随机编号,每组的第 34 号同学参 与调查,这种抽样方法是( A.简单随机抽样 C.系统抽样 [答案] C [解析] 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本, 可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部 分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样. 2.已知 x、y 的取值如表所示: x y 2 6 3 4 4 5 ) B.分层抽样 D.分组抽样 B.30 ) C.15 D.20

^ ^ 13 ^ 如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为y=bx+ 2 ,则b=

(

) 1 A.-2 1 C.-10 [答案] A ^ ^ 13 [解析] ∵线性回归方程为y=bx+ 2 , 线性回归方程过样本中心点, 2+3+4 6+4+5 ∵-= 3 =3,-= 3 =5, x y ^ 13 ∴回归方程过点(3,5),∴5=3b+ 2 , 1 ^ ∴b=-2,故选 A. 3. (文)(2013· 泗县双语中学模拟)把一个体积为 27cm3 的正方体木 1 B.2 1 D.10

块表面涂上红漆,然后锯成体积为 1cm3 的 27 个小正方体,现在从中 任取一块,则这一块至少有一面涂有红漆的概率为( 1 A.27 26 C.27 [答案] C 26 [解析] 各面都没有涂漆的只有中心一块,故所求概率为 P=27. (理)(2012· 河南平顶山、新乡、许昌调研)已知区域 M:x2+y2- 2x-2y-2≤0,区域 N:2-x≤y≤x,随机向区域 M 中投放一点.该 点落在区域 N 内的概率为( 1 A.4 ) π B.4 8 B.27 19 D.27 )

1 C.8 [答案] A

π D.8

[解析] M:(x-1)2+(y-1)2≤4 为以 C(1,1)为圆心,2 为半径的 圆及其内部的平面区域;又区域 N:2-x≤y≤x,如图可知,随机向 1 区域 M 内投放一点,则该点落在区域 N 内的概率 P=4.

4. (文)(2012· 浙江金华十校期末考试)如图是一样本的频率分布直 方图,由图形中的数据可以估计众数与中位数分别是( )

A.12.5

12.5

B.12.5 13 D.13 13

C.13 12.5 [答案] B

[解析] 在频率分布直方图中,最高矩形中点的横坐标为众数, 中位数左右两边直方图的面积相等.

(理)抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的集合为 S= {1,2,3,4,5,6},令事件 A={2,3,5},事件 B={1,2,4,5,6},则 P(A|B)的 值为( 1 A.3 5 C.6 [答案] B [解析] 因为 A∩B={2,5}, 2 P?A∩B? 6 2 所以 P(A|B)= =5=5. P?B? 6 5.(文)一个总体有 A、B、C、D 四层,其中 B 层有个体 24 个, 现从中抽取一个容量为 25 的样本,已知 A、B、C 三层抽取样本容量 的比为 1:2:3,D 层抽到的样本数为 7 个,则总体中的个体数为( A.80 C.150 [答案] B 2 [解析] B 层抽到样本数为(25-7)× =6 个, 1+2+3 6 故总体中的个体数为 25÷ =100 个. 24 (理)(2012· 济南市调研)位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规 则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向左或向右,并且向 1 2 左移动的概率为3, 向右移动的概率为3, 则质点 P 移动五次后位于点 (1,0)的概率是( ) B.100 D.200 ) ) 2 B.5 1 D.2

4 A.243 40 C.243 [答案] D

8 B.243 80 D.243

[解析] 依题意得,质点 P 移动五次后位于点(1,0),则这五次移 动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于 1 2 80 C2· )2·3)3=243,选 D. ( 5( 3 6.(2013· 太原市模拟)如图,是一个算法程序框图,在集合 A= {x|-10≤x≤10,x∈R}中随机抽取一个数值作为 x 输入,则输出的 y 值落在区间(-5,3)内的概率为( )

A.0.4 C.0.6 [答案] D

B.0.5 D.0.8

[解析]

?x+3?x<0?, ? f(x)=?x-5?x>0?, ?x?x=0?, ?

当-5<x+3<3?-8<x<0,-5<x

-5<3?0<x<8,所以有解的概率为 P=

8-?-8? =0.8. 10-?-10?

7. (文)(2013· 霍邱二中模拟)某个容量为 100 的样本的频率分布直 方图如下,则在区间[4,5)上的数据的频数为( )

A.70 C.30 [答案] C [解析]

B.0.3 D.0.7

在区间[4,5)上数据的频率为 1-(0.05+0.10+0.40+

0.15)×1=0.3, ∴频数为 100×0.3=30. (理)(2013· 潍坊模拟)在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),若 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8,则 ξ 在(0,1)内取值的 概率为( A.0.1 C.0.4 [答案] C [解析] 因为 μ=1, 所以 P(0<ξ<2)=0.8=2P(0<ξ<1), P(0<ξ<1) 故 =0.4. 8.(文)(2012· 吉林质检)将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数 字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分 ) B.0.2 D.0.8

别依次增大, 3,4 固定在图中的位置时, 当 填写空格的方法数为(

)

3

4

A.4 C.9 [答案] B

B.6 D.12

[解析] 如图所示,根据题意,1,2,9 三个数字的位臵是确定的, 余下的数中,5 只能在 a,c 位臵,8 只能在 b,d 位臵,依(a,b,c, d)顺序,具体有(5,8,6,7),(5,6,7,8),(5,7,6,8),(6,7,5,8),(6,8,5,7), (7,8,5,6),共计 6 种,故选 B. 1 3 c 2 4 d a b 9

(理)(2012· 辽宁省沈阳二中月考)设离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 1 a ) B.5 D.3 2 1 2 b 1 6

11 若 E(ξ)= 6 ,则 3a+b=( A.6 C.4 [答案] C

1 1 1 1 1 [解析] 由 a+2+6=1,解得 a=3,所以 E(ξ)=1×3+2×2+ 1 11 b×6= 6 ,解得 b=3,所以 3a+b=4. 9.(文)下面是一个 2×2 列联表:

y1 x1 x2 总计 a 2 b

y2 21 25 46 ) B.51 D.54.5

总计 73 27

则表中数 a 与 b 的等差中项是( A.95 C.53 [答案] C

[解析] 由表中数据可求得:a=52,b=54, ∴a、b 的等差中项为 53. 2 (理)(2013· 江西理,5)(x2-x3)5 展开式中的常数项为( A.80 C.40 [答案] C 2 r [解析] Tr+1=C5(x2)5-r(-x3)r=Cr x10-2r· (-2)r·-3r x 5 =Cr (-2)r·10-5r. x 5
2 令 10-5r=0,∴r=2,常数项为 C5×4=40.

)

B.-80 D.-40

10. (文)(2012· 山东实验中学第三次测试)设有 n 个样本 x1, 2, x ?, xn,其标准差是 sx,另有 n 个样本 y1,y2,?,yn,且 yk=3xk+5(k= 1,2,?,n),其标准差为 sy,则下列关系正确的是( A.sy=3sx+5 C.sy= 3sx [答案] B [解析] 注意方差的性质:E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)= B.sy=3sx D.sy= 3sx+5 )

2 a2D(ξ)(a,b 为常数)的应用. 据已知可得 s2=9sx (注意标准差的平方是 y

方差),故有 sy=3sx. (理)(2013· 海淀期中)一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小 球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取 3 次,则取 得小球标号最大值是 3 的取法有( A.12 种 C.17 种 [答案] D [解析] 解法 1:三次取球中可以有 n 次取到 3,n=1,2,3.
1 有一次取到 3 时,有 C3·2 种,有二次取到 3 时,有 C2· 种,三 2 32 1 次都取到 3 只有一种,故取得小球标号最大值是 3 的取法有 C3×22 2 +C3×2+1=19 种.

) B.15 种 D.19 种

解法 2:(间接解法)三次都没取到 3 的取法有 23=8 种,∴取到 小球标号最大值为 3 的取法有 33-8=19 种. 11.(文)(2013· 湖北文,4)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, 之间的相关关系, y 并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论: ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423; ^ ②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y=5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④ [答案] D ^ [解析] 若 y 与 x 负相关,则y=bx+a 中 b<0,故①不正确,② ) B.②③ D.①④

正确; ^ 若 y 与 x 正相关,则y=bx+a 中 b>0,故③正确,④不正确;故 选 D. 65 (理)设随机变量 ξ~B(2,p),η=2ξ-1,若 P(η≥1)=81,则 E(ξ) =( ) 5 A.9 10 C. 9 [答案] C [解析] ∵η=2ξ-1,η≥1,∴ξ≥1, 65 ∴P(ξ≥1)=P(η≥1)=81, ∵ξ~B(2,p), 65 ∴P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=81, 5 5 10 ∴p=9,∴E(ξ)=2×9= 9 . 12.(文)在一个正四面体玩具的四个面上分别标有数字-1、0、 1 1、2,随机抛掷一次,记向下一面的数字为 n,则函数 y=-3x3+nx 在[0,+∞)上为减函数的概率为( 1 A.4 3 C.4 [答案] A [解析] 由 y′=-x2+n≤0 得,n≤x2, ) 1 B.2 D.1 8 B.9 16 D.81

∵x∈[0,+∞),∴n≤0. 1 ∴所求概率 P=4. (理)(2012· 山东实验中学第三次测试)种植两株不同的花卉,它们 的存活率分别为 p 和 q,则恰有一株存活的概率为( A.p+q-2pq C.p+q [答案] A [解析] 本题考查相互独立事件同时发生的概率.据已知易得两 株花卉中恰有一株成活的概率等于(1-p)q+(1-q)p=p+q-2pq. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 写在题中横线上.) 13. (文)(2013· 眉山二诊)容量为 100 的样本数据, 依次分为 8 组, 如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 3x 4 x 5 15 6 13 7 12 8 9 B.p+q-pq D.pq )

则第三组的频率是________. [答案] 0.21 [解析] 由 3x+x=100-(10+13+15+13+12+9)得, x=7.∴第 3×7 三组的频率为 100 =0.21. (理)(2013· 江西八校联考)将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个 房间是等可能的, 则恰有两个房间无人选择而这两个房间不相邻的安 排方式的总数为________. [答案] 900

[解析] 在 5 个房间中,有两个空房间,故安排 5 人,有两类办 法.第一类一间 3 人,另两间各 1 人,有 C3· 3种,第二类有两间各 5 A3 1 2 2 人,另一间 1 人,有2C2· 3A3种,将这三个有人住的房间形成的 4 5C 3
3 个空位中选 2 个插入空房间, C4种方法, 有 2 故共有不同安排方式(C5A3 3

1 2 2 +2C2C3A3)· 4=900 种. 5 3 C 14. (文)在平面直角坐标系中, 从六个点: A(0,0)、 B(2,0)、 C(1,1)、 D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 ________(结果用分数表示). 3 [答案] 4 [解析] ∵A(0,0),C(1,1),E(2,2),F(3,3)在直线 y=x 上,B(2,0), C(1,1),D(0,2)在直线 x+y=2 上, ∴A、C、E、F 四点共线,B、C、D 三点共线. ∴任取三点共有 20 种取法, 三点共线的取法有 1+4=5(种), 20-5 3 ∴取三点能构成三角形的概率为 20 =4. (理)(2012· 辽宁协作体联考)对一个各边不等的凸五边形的各边染 色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的 边有相同的颜色,则不同的染色方法共有________种. [答案] 30 [解析] 如图,染五条边总体分五步,染每一边时为一步.当染 边 1 时有 3 种染法, 2 有 2 种染法. 则 ①当 3 与 1 同色时有 1 种染法, 则 4 有 2 种,5 有 1 种,此时染法总数为 3×2×1×2×1=12(种); ②当 3 与 1 不同色时,3 有 1 种,当 4 与 1 同色时,4 有 1 种,5 有 2

种, 4 与 1 不同色时, 有 1 种, 有 1 种, 当 4 5 则此时有 3×2×1×(1×2 +1×1)=18(种).综上由①②可得染法的种数为 30 种.

15.(文)(2013· 珠海摸底)图 1 是某学生的数学成绩茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,?,A14.图 2 是统计茎叶图中 成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图, 那么算法流程图输出 的结果是________.

[答案] 10 [解析] 据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考

试成绩不低于 90 分的次数,由茎叶图易知共有 10 次,故输出的结果 为 10.

(理)(2013· 黄埔区模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件, 其 中有 1 件次品.用户先对产品进行随机抽检以决定是否接收.抽检规 则如下:至多抽检 3 次,每次抽检一件产品(抽检后不放回),只要检 验到次品就停止继续抽检,并拒收这箱产品;若 3 次都没有检验到次 品,则接收这箱产品,按上述规则,该用户抽检次数的数学期望是 ________. 27 [答案] 10 [解析] 设抽检次数为 ξ,则 ξ=1,2,3. 1 A1 1 9 P(ξ=1)=10,P(ξ=2)=A2 =10, 10 A2 A3 4 9 9 P(ξ=3)=A3 +A3 =5, 10 10 1 1 4 27 ∴E(ξ)=1×10+2×10+3×5=10. 16.(2013· 湖北文,12)某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命 中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(Ⅰ)平均命中环数为________; (Ⅱ)命中环数的标准差为________. [答案] (1)7 (2)2

[解析] (1)平均数 x= 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4 =7; 10

(2)标准差 S =

?7-7?2+?8-7?2+?7-7?2+?9-7?2+?5-7?2+?4-7?2+?9-7?2+?10-7?2+?7-7?2+?4-7?2 10

=2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(文)某网站就观众对 2012 年春晚小品类 节目的喜爱程度进行网上调查,其中持各种态度的人数如下表: 喜爱程度 人数 喜欢 560 一般 240 不喜欢 200

(1)现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一 个容量为 n 的样本,若从不喜欢小品的观众中抽取的人数为 5,则 n 的值为多少? (2)在(1)的条件下,若抽取到的 5 名不喜欢小品的观众中有 2 名 为女性,现将抽取到的 5 名不喜欢小品的观众看成一个总体,从中任 选 2 名观众,求至少有 1 名为女性观众的概率. n [解析] (1)由题可知,样本容量与总体容量的比为1000,则应从 n 不喜欢小品的观众中抽取的人数为1000×200=5,解得 n=25. (2)由题意得,抽取到的 5 名不喜欢小品的观众中,女性有 2 名, 男性有 3 名. 设 2 名女性观众分别为 a1、a2,3 名男性观众分别为 b1、b2、b3, 则从中任选 2 名观众有以下 10 种可能:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2), (a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3). 选取的 2 名观众中至少有 1 名为女性观众有以下 7 种可能:(a1, a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3). 所以从 5 名不喜欢小品的观众中任选 2 名观众, 至少有 1 名为女 7 性观众的概率为10.

(理)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城市甲 到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响. 据调查统计, 通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所 用时间的频数分布如下表: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频数 通过公路 2 的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10

(1)为进行某项研究,从所用时间为 12 天的 60 辆汽车中随机抽 取 6 辆. ①若用分层抽样的方法抽取, 求从通过公路 1 和公路 2 的汽车中 各抽取几辆; ②若在①的条件下抽取的 6 辆汽车中,再任意抽取两辆汽车,求 这两辆汽车至少有一辆通过公路 1 的概率. (2)假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发, 汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发.为了尽最大可能在各自允许的时间 内将货物运往城市乙,估计汽车 A 和汽车 B 应如何选择各自的路径. 20 [解析] (1)①公路 1 抽取 6× =2 辆汽车, 20+40 40 公路 2 抽取 6× =4 辆汽车. 20+40 ②通过公路 1 的两辆汽车分别用 A1、A2 表示,通过公路 2 的 4 辆汽车分别用 B1、B2、B3、B4 表示, 任意抽取 2 辆汽车共有 15 种可能的结果:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2, B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4) 其中至少有 1 辆经过公路 1 的有 9 种,

9 3 所以至少有 1 辆经过 1 号公路的概率 P=15=5. (2)频率分布表如下: 所用时间 公路 1 的频率 公路 2 的频率 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1

设 C1、C2 分别表示汽车 A 在前 11 天出发选择公路 1、2 将货物 运往城市乙;D1、D2 分别表示汽车 B 在前 12 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙. P(C1)=0.2+0.4=0.6,P(C2)=0.1+0.4=0.5, ∴汽车 A 应选择公路 1. P(D1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(D2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∴汽车 B 应选择公路 2. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 保定一模)解放军某部在实兵演 练对抗比赛中,红、蓝两个小组均派 6 人参加实弹射击,其所得成绩 的茎叶图如图所示.

(1)根据射击数据,计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差, 并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定; (2)若从蓝军 6 名士兵中随机抽取两人,求所抽取的两人的成绩 之差不超过 2 的概率. [解析] (1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙,则

-甲=1(107+111+111+113+114+122)=113, x 6 -乙=1(108+109+110+112+115+124)=113, x 6 1 S 2 = 6 [(107-113)2 +(111-113)2 +(111-113)2 +(113-113)2 + 甲 (114-113)2+(122-113)2]=21. 1 S 2 = 6 [(108-113)2 +(109-113)2 +(110-113)2 +(112-113)2 + 乙 88 (115-113)2+(124-113)2]= 3 .
2 ∵-甲=-乙,S2 <S乙, x x 甲

∴红军的射击成绩相对比较稳定. (2)从蓝军 6 名士兵中随机抽取两人,共有 15 种不同的取法,其 成绩情况如下: (108,109), (108,110), (108,112), (108,115), (108,124), (109,110), (109,112),(109,115),(109,124),(110,112),(110,115),(110,124), (112,115),(112,124),(115,124). 设 A 表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过 2”,则 A 的基本事件有 4 种:(108,109),(108,110),(109,110),(110,112), 4 故所求概率为 P(A)=15. (理)(2013· 大兴区模拟)一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1) 班 5 名同学的数学与物理成绩如下表: 学生 数学 物理 A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93

(1)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计

该班数学与物理成绩哪科更稳定; (2)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至 少有一个物理成绩高于 90 分的概率. 1 [解析] (1)5 名学生数学成绩的平均分为:5(89+91+93+95+ 97)=93; 1 5 名学生数学成绩的方差为:5[(89-93)2+(91-93)2+(93-93)2 +(95-93)2+(97-93)2]=8; 1 5 名学生物理成绩的平均分为:5(87+89+89+92+93)=90; 1 5 名学生物理成绩的方差为:5[(87-90)2+(89-90)2+(89-90)2 24 +(92-90)2+(93-90)2]= 5 ; 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大, 所以, 估计高三(1) 班总体物理成绩比数学成绩稳定. (2)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A,5 名 学生中选 2 人包含基本事件有:A1A2,A1A3,A1A4,A1A5,A2A3,A2A4, A2A5,A3A4,A3A5,A4A5,共 10 个. 事件 A 包含基本事件有:A1A4,A1A5,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5, A4A5,共 7 个. 7 则 P(A)=10, 所以,5 名学生中选 2 人,选中的学生中至少有一个物理成绩高 7 于 90 分的概率为10. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2012· 哈师大附中月考)将一枚质地均 匀的骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求:

(1)两数之和是 3 的倍数的概率; (2)两数之积是 6 的倍数的概率; (3)以第一次向上的点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 得到点 P(x,y),求点 P 在直线 x-y=3 的下方区域的概率. [解析] (1)抛掷 2 次骰子共有 36 个等可能的基本事件,“两数 之和是 3 的倍数”包含 12 个基本事件: (1,2), (1,5), (2,1), (2,4), (3,3), (3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),故所求事件的概率 P 12 1 =36=3. (2)抛掷 2 次骰子共有 36 个等可能的基本事件,“两数之积是 6 的倍数”包含 15 个基本事件:(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6), (4,3),(4,6),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),故所求 5 事件的概率 P=12. (3)抛掷 2 次骰子共有 36 个等可能的基本事件,“点(x,y)在直 线 x-y=3 的下方区域”包含 3 个基本事件:(6,1),(6,2),(5,1),故 1 所求事件的概率 P=12. (理)(2013· 四川理,18)某算法的程序框图如图所示,其中输入的 变量 x 在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重 复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是 甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分)

当 n=2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自 输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示), 并判断两位同学中哪一 位所编程序符合算法要求的可能性较大; (3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ξ 的分布列及数学期望. [解析] (1)变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整中数随机产生的 一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 1 的值为 1,故 P1=2; 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时, 输出 y 的值为 2, 1 故 P2=3; 1 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时, 输出 y 的值为 3, P3=6. 故

1 1 所以,输出 y 的值为 1 的概率为2,输出 y 的值为 2 的概率为3, 1 输出 y 的值为 3 的概率为6. (2)当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频率如下:

比较频率趋势与概率, 可得乙同学所编程序符合算法要求的可能 性大. (3)随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 1 2 8 P(ξ=0)=C0×(3)0×(3)3=27, 3 1 2 4 P(ξ=1)=C1×(3)1×(3)2=9, 3 1 2 2 P(ξ=2)=C2×(3)2×(3)1=9, 3 1 2 1 P(ξ=3)=C3×(3)3×(3)0=27, 3 故 ξ 的分布列为 ξ P 0 8 27 1 4 9 2 2 9 3 1 27

8 4 2 1 所以,Eξ=0×27+1×9+2×9+3×27=1.

即 ξ 的数学期望为 1. 20.(本小题满分 12 分)(文)班主任为了对本班学生的考试成绩进 行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名男同学中随机抽取一个容量 为 8 的样本进行分析. (1)如果按性别比例分层抽样,应选男、女生各多少人; (2)随机抽取 8 位,若这 8 位同学的数学、物理分数对应如表: 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

根据上表数据用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间是否具有线性相关性?如果具有线性相关性,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01).如果不具有线性相关性,请 说明理由. 参考公式: x y ? ?xi--??yi--?
i=1 n

相关系数 r= x y ? ?xi--?2 ? ?yi--?2
i=1 i=1 n n

^ 回归直线的方程是:y=bx+a, x y ? ?xi--??yi--?
i=1 n

其中 b= x ? ?xi--?2
i=1 n

,a=--b-; y x

^ 其中yi 是与 xi 对应的回归估计值. 参考数据:

-=77.5,-=85, (x --)2≈1050, x y ? i x
i=1

8

y x y ? (yi--)2≈456, ? (xi--)(yi--)≈688,
i =1 i=1

8

8

1050≈32.4, 456≈21.4, 550≈23.5. 8 [解析] (1)选男生 15×40=3(人), 8 选女生 25×40=5(人). 688 (2)变量 y 与 x 的相关系数是 r≈ ≈0.99. 32.4×21.4 可以看出,物理与数学成绩是高度正相关. 以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标作散点图如图.

从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近, 并且在逐步 上升,故物理与数学成绩是高度正相关. ^ 设 y 与 x 线性回归方程是y=bx+a,根据所给的数据,可以计算 出 688 b=1050≈0.66,a=85-0.66×77.5=33.85,

^ 所以 y 与 x 的回归方程是y=0.66x+33.85. (理)(2013· 常德市模拟)我市某中学一研究性学习小组,在某一高 速公路服务区,从小型汽车中按进服务区的先后,每间隔 5 辆就抽取 一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速 公路的车速(km/h)分成六段: [70,75), [75,80), [80,85)[85,90), [90,95), [95,100]统计后得到如下图的频率分布直方图.

(1)此研究性学习小组在采样中,用到的是什么抽样方法?并求 这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值. (2)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取 3 辆,求车速在[80,85) 和[85,90)内都有车辆的概率. (3)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取 3 辆,求车速在[75,80) 的车辆数的数学期望. [解析] (1)此研究性学习小组在采样中,用到的抽样方法是系统 抽样. 这 40 辆小型汽车车速众数的估计值为 87.5,中位数的估计值为 87.5. (2)车 速在 [80,90)的 车 辆共 有 (0.2+ 0.3)×40= 20 辆 , 速度 在

[80,85),[85,90)内的车辆分别有 8 辆和 12 辆. 记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取 3 辆车,车速在[80,85)内的 有 2 辆,在[85,90)内的有 1 辆为事件 A,车速在[80,85)内的有 1 辆, 在[85,90)内的有 2 辆为事件 B,
1 C2C12 C1C2 864 72 8 8 12 则 P(A)+P(B)= C3 + C3 =1140=95. 20 20

(3)车速在[70,80)的车辆共有 6 辆, 车速在[70,75)和[75,80)的车辆 分别有 2 辆和 4 辆,若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取 3 辆,设车 速在[75,80)的车辆数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3.
2 C2×C1 4 1 4 P(X=1)= C3 =20=5, 6 1 C2×C2 12 3 4 P(X=2)= C3 =20=5, 6 0 C2×C3 4 1 4 P(X=3)= C3 =20=5, 6

故分布列为 X P 1 1 5 2 3 5 3 1 5

1 3 ∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为 E(X)=1× 5 +2× 5 + 1 3×5=2. 21.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 广东佛山质检)文科班某同学参 加吉林省学业水平测试,物理、化学、生物获得等级 A 和获得的等级 不是 A 的机会相等,物理、化学、生物获得等级 A 的事件分别记为 - W1、W2、W3,物理、化学、生物获得等级不是 A 的事件分别记为W 1、 - 、W . W 2 -3

(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如三科成绩均为 A 记为(W1,W2,W3)); (2)求该同学参加这次水平测试中恰好获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物 成绩情况的事件,使该事件的概率大于 85%,并说明理由. [解析] (1)该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩是 - 否为 A 的可能结果有 8 种,分别为(W1,W2,W3)、(W 1,W2,W3)、 - - - - - - (W1,W 2,W3)、(W1,W2,W 3)、(W 1,W 2,W3)、(W 1,W2,W 3)、 - - - - - (W1,W 2,W 3)、(W 1,W 2,W 3); - - (2)由(1)可知,恰有两个 A 的情况为(W 1,W2,W3)、(W1,W 2, 3 - W3)、(W1,W2,W 3)三个,从而其概率为 P=8. (3)方案一:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物 成绩不全为 A 的事件概率大于 85%, 理由如下:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成 - - 绩不全为 A 的事件有如下七种情况:(W 1,W2,W3)、(W1,W 2,W3)、 - - - - - - - (W1,W2,W 3)、(W 1,W 2,W3)、(W 1,W2,W 3)、(W1,W 2,W 3)、 7 - - - (W 1,W 2,W 3),概率是 P=8=0.875>85%. 方案二:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩 至少有一个为 A 的事件概率大于 85%, 理由如下:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成 - 绩至少有一个为 A 的事件有如下七种情况:(W1,W2,W3)、(W 1, - - - - - W2,W3)、(W1,W 2,W3)、(W1,W2,W 3)、(W 1,W 2,W3)、(W 1,

7 - - - W2,W 3)、(W1,W 2,W 3),概率是 P=8=0.875>85%.(方案一或二中 任意一种都可以) (理)(2013· 江西八校联考)甲、乙两名射击运动员参加射击选拔训 练,在相同的条件下,两人 5 次训练的成绩如下表(单位:环) 次数 甲 乙 1 6.5 10.0 2 10.2 9.5 3 10.5 9.8 4 8.6 9.5 5 6.8 7.0

(1)请画出茎叶图,从稳定性考虑,选派谁更好呢?说明理由(不 用计算).若从甲、乙两人 5 次成绩中各随机抽取一次,求抽取的成 绩至少有一个低于 9.0 环的概率; (2)若从甲、乙两人 5 次成绩中各随机抽取二次,设抽到 10.0 环 以上(包括 10.0 环)的次数为 X,求随机变量 X 的分布列和期望; (3)经过对甲、乙两人的很多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均 匀分布在[6.5,10.5]之间.现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝 对值小于 1.0 环的概率. [解析] (1)茎叶图如下:

从图上看,乙更集中,选派乙更好,从甲、乙两人 5 次成绩中各

2 4 17 随机抽取一次,则至少有一个低于 9.0 环的概率为 P=1-5×5=25. (2)由题可知:随机变量 X 可能为:0,1,2,3
2 2 C3C4 P(X=0)=C2C2=0.18, 5 5 1 1 1 C2C3C2+C2C1C4 4 3 1 P(X=1)= =0.48, C2C2 5 5 2 2 C2C4+C1C1C1 2 3 4 P(X=2)= =0.30, 2 2 C5C5 2 1 C2C4 P(X=3)=C2C2=0.04, 5 5

∴分布列为 X P 0 0.18 1 0.48 2 0.30 3 0.04

期望为 E(X)=1.2. (3)设甲的成绩为 x,乙的成绩为 y,则|x-y|<1, 即-1<y-x<1, 则 p(|x-y|<1)= 4×4-3×3 7 =16. 4×4

22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 淮南三校模拟)某食品厂为了检 查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各 抽取 40 件产品作为样本,并称出它们的重量(单位:克),重量值落 在[495,510)内的产品为合格品,否则为不合格品.表 1 是甲流水线样 本的频数分布表,图 1 是乙流水线样本的频率分布直方图. 产品重量(克) [490,495) [495,500) [500,505) 频数 6 8 14

[505,510) [510,515]

8 4

表 1:甲流水线样本的频数分布表

图 1:乙流水线样本的频率分布直方图 (1)根据上面表 1 中的数据作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线上分别任取 1 件产 品,该产品恰好是合格品的概率分别是多少; (3)由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并回答有多大的把握 认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关. 甲流水线 合格品 不合格品 合计 n?ad-bc?2 附:K = ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

乙流水线

合计

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

[解析] (1)甲流水线样本的频率分布直方图如下:

(2)由表 1 知甲流水线样本中合格品数为 8+14+8=30,故甲流 30 水线样本中合格品的频率为40=0.75, 由图 1 知乙流水线样本中合格品的频率为(0.06+0.09+0.03)×5 =0.9, 据此可估计从甲流水线上任取 1 件产品, 该产品恰好是合格品的 概率为 0.75; 从乙流水线上任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.9. (3)由(2)知甲流水线样本中合格品数为 30,乙流水线样本中合格 品数为 0.9×40=36. 2×2 列联表如下: 甲流水线 合格品 不合格品 合计 30 10 40 乙流水线 36 4 40 合计 66 14 80

n?ad-bc?2 ∵K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

80×?120-360?2 = ≈3.117>2.706, 66×14×40×40 ∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的 选择有关. [点评] 掌握读图、读表的方法,从图表中得到相应的数据,在 绘制频率分布直方图的时候,应注意纵轴的坐标并不是频率;第(2) 问用相应的频率估计概率即可;进行独立性检验时,要注意公式的正 确运用. (理)某中学研究性学习小组,为了考查高中学生的作文水平与爱 看课外书的关系,在本校高三年级随机调查了 50 名学生.调查结果 表明:在爱看课外书的 25 人中有 18 人作文水平好,另 7 人作文水平 一般;在不爱看课外书的 25 人中有 6 人作文水平好,另 19 人作文水 平一般. (1)试根据以上数据完成以下 2×2 列联表,并运用独立性检验思 想,指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系? 高中学生的作文水平与爱看课外书的 2×2 列联表 爱看课外书 作文水平好 作文水平一般 总计 (2)将其中某 5 名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为 1、 2、3、4、5,某 5 名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为 1、2、3、4、5,从这两组学生中各任选 1 人进行学习交流,求被选 取的两名学生的编号之和为 3 的倍数或 4 的倍数的概率. 不爱看课外书 总计

附表: P(K2 ≥k) k 0.50 0.45 5 0.40 0.70 8 0.25 1.32 3 0.15 2.07 2 0.10 2.70 6 0.05 3.84 1 0.02 5 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.00 5 7.87 9 0.00 1 10.8 28

[解析] (1)2×2 列联表如下: 爱看课外书 作文水平好 作文水平一般 总计
2

不爱看课外书 6 19 25

总计 24 26 50

18 7 25

50×?18×19-6×7?2 150 因为 K = = 13 ≈11.538>10.828.由表知, 25×25×24×26 P(K2≥10.828)≈0.001. 故有 99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系. (2)设“被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数”为事件 A, “被选取的两名学生的编号之和为 4 的倍数”为事件 B. 因为事件 A 所包含的基本事件为: (1,2), (1,5), (2,1), (2,4), (3,3), (4,2),(4,5),(5,1),(5,4),共 9 个,基本事件总数为 5×5=25.所以 9 P(A)=25. 因为事件 B 所包含的基本事件为: (1,3), (2,2), (3,1), (3,5), (4,4), (5,3),共 6 个. 6 所以 P(B)=25. 因为事件 A、B 互斥, 9 6 3 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)=25+25=5.

故被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数或 4 的倍数的概率是 3 5.

一、选择题 1.(2013· 泗县双语中学模拟)在频率分布直方图中,小长方形的 面积是该小组的( 频率 A. 样本容量 C.频率 [答案] C 2.(2012· 新疆维吾尔自治区检测)某学校从高三全体 500 名学生 中抽取 50 名学生做学习状况问卷调查,现将 500 名学生从 1 到 500 500 进行编号,求得间隔数 k= 50 =10,即每 10 人抽取一个人,在 1~ 10 中随机抽取一个号码,如果抽到的是 6,则从 125~140 的数中应 取的号码是( A.126 C.126 或 136 [答案] D [解析] 由题意知,这是系统抽样,∵在 1~10 中抽得号码 6, ∴在 125~140 中抽得号码为 6+12×10=126 和 6+13×10=136. 3.(文)(2013· 聊城质检)已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0}, A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域 Ω 上随机投一点 P, 则点 P 落入区域 A 内的概率为( ) ) B.136 D.126 和 136 ) B.组距×频率 D.样本数据

1 A.3 1 C.9 [答案] D

2 B.3 2 D.9

[解析] 如图,作出两集合表示的平面区域.容易得出 Ω 所表示 的平面区域为三角形 AOB 及其边界, 表示的区域为三角形 OCD 及 A 其边界.

容易求得 D(4,2)恰为直线 x=4, x-2y=0, x+y=6 三线的交点. 1 1 则可得 S△AOB=2×6×6=18,S△OCD=2×4×2=4. 4 2 所以点 P 落在区域 A 的概率为 P=18=9. (理)(2013· 许昌、新乡、平顶山调研)已知 a>0,在可行域内任取 一点(x,y),如果执行如图的程序框图,那么输出数对(x,y)的概率是 ( )

1 A.3 1 C.2 [答案] A [解析]

1 B.3a 1 D.2a

1 1 1 1 可行域三角形的面积为 S=2×a×a=2a2,其中可行域

1 1 内满足 y≥ax2 的区域的面积 S′=∫a0(x-ax2)dx=6a2,故所求事件 S′ 1 的概率为 P= S =3.

4.(文)(2013· 广州模拟)在△ABC 中,∠ABC=60° ,AB=2,BC

=3,在 BC 上任取一点 D,使△ABD 为钝角三角形的概率为( 1 A.6 1 C.2 [答案] B 1 B.3 2 D.3

)

[解析] 过 A 作 AD⊥BC 垂足为 D, BD=1, 则 所以△ABD 为钝 1 角三角形的概率为 P=3. (理)(2012· 湖南师大附中月考)一个盒子里有 6 支好晶体管,4 支 坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不放回,已知第一支是 好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( 2 A.3 5 C.9 [答案] C [解析] 记“第 i(i=1,2)支晶体管是好的”为事件 Ai(其中 i= 5 B.12 7 D.9 )

6×5 3 1,2), 依题意知, 要求的概率为 P(A2|A1). 由于 P(A1)=5, 1A2)= P(A 10×9 1 =3, 1 P?A2A1? 3 5 所以 P(A2|A1)= = = . P?A1? 3 9 5 5.(2013· 沈阳二检)甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测 试中,成绩统计用茎叶图表示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别是 X 甲,X 乙,则下列结论正确的是( )

A.X 甲>X 乙,甲比乙成绩稳定 B.X 甲>X 乙,乙比甲成绩稳定 C.X 甲<X 乙,甲比乙成绩稳定 D.X 甲<X 乙,乙比甲成绩稳定 [答案] A [解析] 由已知数据得 X 甲= 68+69+70+71+72 =70, X 乙= 而 5

63+68+69+69+71 =68,故 X 甲>X 乙, 5
2 又 s2 =2<s乙=7.2,故甲比乙稳定. 甲

6.(2012· 山东省实验中学一诊)为调查中学生每人每天平均参加 体育锻炼的时间 x(单位:分钟),按锻炼时间分下列四种情况统计: (1)0≤x<10;(2)10≤x<20;(3)20≤x<30;(4)x≥30.有 10000 名中学生 参加了此项调查,如图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果 是 6200,则平均每天参加体育锻炼时间少于 20 分钟的学生的频率是 ( )

A.3800 C.0.38 [答案] C

B.6200 D.0.62

[解析] 根据流程图可知,每天参加体育锻炼的时间少于 20 分 钟的学生人数为 10000-6200=3800,故其频率为 0.38. 7.(文)一个容量为 5 的样本数据,组成公差不为零的等差数列 {an},若 a1,a2,a5 成等比数列,a3=5,则此样本的平均数与方差分 别是( ) B.5,2 2 D.3,12

A.10,8 C.5,8 [答案] C

[解析] 设 an=a1+(n-1)d,则由条件得(a1+d)2=a1(a1+4d), ∵d≠0,∴d=2a1, ∵a3=a1+2d=5a1=5,∴a1=1,∴an=2n-1, 1 ∴样本平均数-=5(1+3+5+7+9)=5, x

1 样本方差 S2=5[(1-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(9-5)2]= 8. (理)(2012· 合肥第二次质检)若随机变量 X~N(1,4),P(X≤0)=m, 则 P(0<X<2)=( A.1-2m 1-2m C. 2 [答案] A [解析] 本题可利用正态曲线的对称性解答.据题意知正态曲线 1 1 关于直线 x=1 对称, P(0<X<1)=2-P(X≤0)=2-m, 故 因此 P(0<X<2) 1 =2P(0<X<1)=2(2-m)=1-2m. 8. (文)(2013· 北京海淀期末)某部门计划对某路段进行限速, 为调 查限速 60km/h 是否合理,对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检 测,将所得数据按[40,50),[50,60)[60,70),[70,80]分组,绘制成如图 所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽车有 ( ) ) 1-m B. 2 D.1-m

A.75 辆 C.180 辆 [答案] C

B.120 辆 D.270 辆

[解析] 据直方图可知 300 辆中车速低于限速的汽车所占的频率 为 10×0.025+10×0.035=0.6,故其频数为 300×0.6=180. (理)(2013· 四川文,7)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网 上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示。以组距为 5 将数据 分组成[0,5),[5,10),?,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图 是( )

[答案] A

[解析]

通过分析茎叶图可知在[0,5)和[5,10)内分别各有 1 个样

频率 本,故它们的 对应的数值均为 0.01,排除 B,C 与 D 不符合人数 组距 分组(组距为 5)的要求,故选 A. 9. (文)(2013· 广东佛山质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄 进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在 [20,45)岁之间, 根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直 方图如图所示, 利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机 年龄的中位数大约是( ... )

A.31.6 岁 C.33.6 岁 [答案] C

B.32.6 岁 D.36.6 岁

[解析] 因为中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此 可估计中位数的值.从残缺的频率分布直方图中可以知道,[25,30) 的频率/组距为 0.04,前两个矩形的面积之和为 0.25,将[30,35)的矩 5 形面积分成 5? 2两部分,则 5×7≈3.6,因此,中位数为 30+3.6= 33.6(岁).

(理)(2013· 南昌模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五 位的二进制数 A= a1 a2 a3 a4 a5 ,其中 A 的各位数中,a1=1,ak(k 1 2 =2,3,4,5)出现 0 的概率为3,出现 1 的概率为3.记 X=a1+a2+a3+a4 +a5,当程序运行一次时,X 的数学期望 E(X)等于( 8 A.27 11 C. 3 [答案] C 2 1 0 1 [解析] X=1 时,P1=C4(3)4(3)0=34, 8 1 1 2 X=2 时,P2=C4(3)3·=34, 3 2 24 2 1 X=3 时,P3=C4(3)2· )2= 34 , (3 32 3 1 2 X=4 时,P4=C4(3)·3)3= 34 , ( 16 4 2 X=5 时,P5=C4(3)4= 34 , 1 8 24 32 16 11 E(X)=1×34+2×34+3× 34 +4× 34 +5× 34 = 3 . 10. (2012· 福州质检)某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对 甲型 H1N1 流感的预防作用,把 1000 名注射了疫苗的人与另外 1000 名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种 疫 苗 不 能 起 到 预 防 甲 型 H1N1 流 感 的 作 用 ” , 并 计 算 出 P(K2≥6.635)≈0.01,则下列说法正确的是( ) 16 B.81 65 D.81 )

A.这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的有效率为 1% B.若某人未使用该疫苗,则他在半年中有 99%的可能性得甲型

H1N1 C.有 1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的 作用” D.有 99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的 作用” [答案] D [解析] 由 P(K2≥6.635)≈0.01 可得 1-0.01=99%,即有 99%的 把握认为“这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用”,故应选 D.本题考查了独立性检验问题.用 K2 的大小可以决定是否拒绝原来 的统计假设 H0:如果算出的 K2 值较大,就拒绝 H0,也就是拒绝“事 件 A 与事件 B 无关”,从而认为它们有关. 11.(文)(2012· 安徽皖南八校联考)如图⊙C 内切于扇形 AOB,∠ π AOB=3, 若在扇形 AOB 内任取一点, 则该点在圆 C 内的概率为( )

1 A.6 2 C.3 [答案] C

1 B.3 3 D.4

[解析] 设 OA=OB=R,圆 C 半径为 r,



r π =sin6,∴R=3r,l=Rθ=πr. R-r

πr2 πr2 2 ∴P=1 =1 =3. 3r 2lR 2πr·

(理)(2012· 杭州第一次质检)设不等式组

?x≥0,y≥0, ? ?x≤2, ?y≤2 ?

所表

示的平面区域为 A,现在区域 A 中任意丢进一个粒子,则该粒子落在 1 直线 y=2x 下方的概率为( 1 A.3 1 C.2 [答案] B [解析] 本题是线性规划问题,数形结合可解.如图所示,可行 1 域为正方形,易求得面积比为4.解决线性规划的实质是用数形结合的 方法解决问题,判断可行域可以采用取特殊点的方法. ) 1 B.4 3 D.4

12.(文)某赛季甲、乙、丙、丁四名篮球运动员五场比赛的得分 情况如表:

某篮球队要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选一人参加集训,你 认为应该选( A.甲 C.丙 [答案] A [解析] -甲=14,-乙=13.8, x x -丙=13.4,-丁=13.2. x x 故应选择甲参加集训. (理)(2012· 浙江宁波模拟)若(2x-3)5 =a0 +a1x+a2x2 +a3x3+a4x4 +a5x5,则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 等于( A.-10 C.5 ) ) B.乙 D.丁

B.-5 D.10

(提示:观察待求值式的结构特点考虑解法) [答案] D [解析] 本题考查二项式定理和导数的知识.对等式两边求导

数, 10(2x-3)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4, x=1 得结果为 10. 令

二、填空题 13.(文)(2013· 保定一模)一个频率分布表(样本容量为 50)不小心 被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)上的频率为 0.6,则估 计样本在[40,50),[50,60)内的数据个数之和是________.

[答案] 21 [解析] 设样本在[40,50),[50,60)内的数据个数分别是 x,y,则 4+5+x+y =0.6,则 x+y=21. 50 (理)(2013· 德阳二诊)一盒中放有大小相同的 10 个小球,其中 8 个黑球 2 个红球, 现甲乙二人先后各自从盒子中无放回的任意抽取两 ... 个小球,已知甲取到了两个黑球,则乙也取到两个黑球的概率是 ________. 15 [答案] 28 [解析] 已知甲取到了两个黑球,则盒子中还有 6 个黑球、2 个 红球,则乙取到 2 个黑球的概率为
2 C6 15 P=C2=28. 8

14.(文)一组数据共有 7 个数,记得其中有 10,2,5,2,4,2,还有一 个数没记清, 但知道这组数的平均数、 中位数、 众数依次成等差数列, 这个数的所有可能值构成集合 A,则 A=________. [答案] {-11,3,17}

25+x [解析] 设这个数为 x,则平均数为 7 ,众数为 2,若 x≤2, 25+x 则中位数为 2, 此时 x=-11.若 2<x<4, 则中位数为 x, 此时 2x= 7 25+x +2,x=3,若 x≥4,则中位数为 4,2×4= 7 +2,x=17,所有可 能值为-11,3,17. (理)(2013· 银川六校联考)若(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+? +a9(x-1)9,则 a8=________. [答案] -9 [解析] 由题知,(x-2)9=[(x-1)-1]9,则[(x-1)-1]9 的展开式 的通项是 Tr+1=Cr (x-1)9-r· (-1)r,令 r=1,则 T2=C1(x-1)8· (-1)1 9 9
1 =a8(x-1)8,则 a8=C9· (-1)1=-9.

15.(文)已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a, b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小, 则 a、b 的取值分别是________. [答案] 10.5 10.5 a+b [解析] 这 10 个数的中位数为 2 =10.5. 这 10 个数的平均数为 10. 要使总体方差最小. 即(a-10)2+(b-10)2 最小. 即 a2+b2-20(a+b)+200 最小, ?a+b?2 ∵a>0,b>0,∴a +b ≥ 2 (当 a=b 时取等号),
2 2

∵a+b=21,∴当 a=b=10.5 时,取得最小值. (理)(2012· 合肥月考)5 名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入

住一家宾馆,宾馆有 3 间客房可选,一间客房为 3 人间,其余为 2 人 间,则 5 人入住两间客房的不同方法有________种(用数字作答). [答案] 20
3 [解析] 2C5C2=20. 2

16.(文)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,若第一组至第六 组数据的频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27, 则 n 的值为________. [答案] 60 [解析] 根据已知条件知(2+3+4) : (2+3+4+6+4+1)=27:n, 所以 n=60. (理)若 a 与 b 是异面直线,则称(a,b)为一对异面直线,过四棱 锥任意两个顶点的直线共有 10 条,其中异面直线共有________对. [答案] 12 [解析] 底面上任意两条直线都不是异面直线,任意两条侧棱也 都不是异面直线, 故一对异面直线中必有一条侧棱和底面上的一条直 线,已知一条侧棱可构成 3 对异面直线,故共有 12 对异面直线. 三、解答题 17.(2013· 北京东城模拟)某中学高中学生有 900 名,学校要从中 选出 9 名同学作为国庆 60 周年庆祝活动的志愿者.已知高一有 400 名学生,高二有 300 名学生,高三有 200 名学生.为了保证每名同学 都有参与的资格,学校采用分层抽样的方法抽取. (1)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数; (2)若再从这 9 名同学中随机地抽取 2 人作为活动负责人,求抽 到的这 2 名同学都是高一学生的概率; (3)在(2)的条件下,求抽到的这 2 名同学不是同一年级的概率.

[解析] (1)样本容量与总体容量的比为 9? 900 =1? 100 , 则高一、高二、高三应分别抽取的学生为 1 1 1 400×100=4(人),300×100=3(人),200×100=2(人). (2)设“抽到的这 2 名同学都是高一的学生为事件 A”,则 P(A) 4×3 1 = = . 9×8 6 (3)设“抽到的这 2 名同学不是同一年级为事件 B”,则 P(B)= 4×3+4×2+3×2 13 =18. 1 2×9×8 18.(文)(2012· 新疆维吾尔自治区检测)甲、乙两条流水线包装同 一种产品,在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品,称其重 量,分别记录抽查数据如下: 甲:52、51、49、48、54、48、49、49 乙:60、63、40、45、46、58、43、45 (1)画出这两组数据的茎叶图,并求出甲组数据的方差; (2)从甲中任取一个数据 x(x≥50), 从乙中任取一个数据 y(y≤50), 求满足|x-y|≤10 的概率. [解析] (1)茎叶图如图,

则-甲=50, x 1 方差: 2 =8[3(50-49)2+2(50-48)2+(50-54)2+(50-52)2+(50 S甲

-51)2] 1 =8(1+1+1+4+4+16+4+1)=4. (2)所有可能的情况有 15 种,如下: (54,40),(54,43),(54,45),(54,45),(54,46),(52,40),(52,43), (52,45),(52,45),(52,46),(51,40),(51,43),(51,45),(51,45),(51,46), 满足|x-y|>10 的有:(54,40),(54,43),(52,40),(51,40)共 4 个, 4 11 所以 P(|x-y|≤10)=1-15=15. (理)(2013· 霍邱二中模拟)某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都
?1 ?当第n次出现正面时? ? 1 是2,构造数列{an},使得 an=? ,记 Sn ? ?-1 ?当第n次出现反面时?

=a1+a2+?+an(n∈N*). (1)求 S4=2 的概率; (2)若前两次均出现正面,求 2≤S6≤4 的概率. [解析] (1)S4=2,需 4 次中有 3 次正面 1 次反面,设其概率为 1 1 1 1 P1,则 P1=C3(2)3·=4×(2)4=4. 4 2 (2)6 次中前两次均出现正面,要使 2≤S6≤4,则后 4 次中有 2 次 正面、2 次反面或 3 次正面、1 次反面,设其概率为 P2. 1 5 2 1 3 1 1 则 P2=C4(2)2(2)2+C4(2)3·=8. 2 19.(文)(2013· 北京西城模拟、眉山二诊)某种零件按质量标准分 为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等级 进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件等级恰好相同的概率. [解析] (1)由频率颁布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45. 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 2 得 n=20=0.1. 所以 m=0.45-0.1=0.35. (2)由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1、x2、x3,等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1、y2, 从 x1、x2、x3、y1、y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2, y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2)共计 10 种. 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相 等”,则 A 包含的基本事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2) 共 4 个. 4 概率为 P(A)=10=0.4. (理)(2013· 东北三校模拟)某市统计局就本地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括 左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1000,1500)之间(单位: 元).

(1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3)若将频率视为概率,从本地随机抽取 3 位居民(看作有放回的 抽样),求月收入在[2500,3500)的居民数 X 的分布列和数学期望. [解析] (1) 依 题 意 及 频 率 分 布 直 方 图 知 , 居 民 月 收 入 在

[1500,2000)的概率约为 0.0004×500=0.2. (2)频率分布直方图知,中位数在[2000,2500),设中位数为 x,则 0.0002×500+0.0004×500+0.0005×(x-2000)=0.5, 解得 x=2400. (3)居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.0005+0.0003)×500= 0.4. 由题意知,X~B(3,0.4), 因此 P(X=0)= C 0 ×0.63 =0.216, P(X=1)=C 1 ×0.62×0.4= 3 3
3 0.432,P(X=2)=C2×0.6×0.42=0.288,P(X=3)=C3×0.43=0.064, 3

故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064

X 的 数 学 期 望 为 E(X) = 0×0.216 + 1×0.432 + 2×0.288 +

3×0.064=1.2. 20.(文)(2012· 淮北二模)时维壬辰,序属仲春,值春耕播种时机, 某中学生物研究性学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间 的关系进行研究, 记录了实验室 4 月 10 日至 4 月 14 日的每天昼夜温 差与每天每 50 颗稻籽浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/℃ 发芽数 y/颗 4 月 10 日 10 11 4 月 11 日 12 13 4 月 12 日 13 14 4 月 13 日 14 16 4 月 14 日 11 12

(1)从 4 月 10 日至 4 月 14 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别 为 m,n,求事件“m,n 均小于 14”的概率; (2)根据表中的数据可知发芽数 y(颗)与温差 x(℃)呈线性相关, 请 ^ ^ ^ 求出发芽数 y 关于温差 x 的线性回归方程y=bx+a. x y ?xiyi-n-- ^ ^ ^ ^ (参考公式:回归直线方程为y=bx+a,其中b=
i=1 n

^ ,a

x ?x2-n-2 i
i=1

n

=--b-) y ^x [解析] (1)从 4 月 10 日到 4 月 14 日中任选 2 天,共有 10 种不 同选法,其中两天的种子发芽数都小于 14 的有 3 种,∴所求概率 P 3 =10. (2)∵-=12,-=13.2, x y

?xiyi=804, ?xi2=730,
i =1 i=1

5

5

^ 804-5×12×13.2=1.2, ∴b= 730-5×122 ^ y ^x a=--b-=13.2-1.2×12=-1.2, ^ ∴回归直线方程为y=1.2x-1.2. (理)(2013· 德阳二诊)一个盒子中装有 5 张卡片,上面分别记着数 字 1,1,2,2,2.每张卡片从外观上看毫无差异, 现从盒子中有放回的任取 2 张卡片,记下上面的数字分别为 x 和 y,两次所得数字之和记为 M, 即 M=x+y. (1)求随机变量 M 的分布列和数学期望. (2)若规定所得数字之和为 3 即可获一定的奖品,现甲乙二人各 自玩了上面的游戏一次,试求两人之中至少有一人能获得奖品的概 率. [解析] (1)由题意:M 的取值可以是 2,3,4, C1×C1 4 2 2 P(M=2)= = , 5×5 25
1 2 C1C3A2 12 2 P(M=3)= =25, 5×5

C1×C1 9 3 3 P(M=4)= = , 5×5 25 ∴M 的分布列为 M P 2 4 25 3 12 25 4 9 25

4 12 9 16 M 的期望为:E(M)=2×25+3×25+4×25= 5 . (2)设“从 5 张卡片中有放回地抽取 2 次, 所得数字之和为 3”为 12 事件 A,则 P(A)=25,

则“甲乙二人中至少一人能获奖”相当于 2 次独立重复试验中 12 456 0 事件 A 至少发生一次,其概率为 1-C2(1-25)2=625. 21.(文)某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间 的关系,随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩(百分制)如下表 所示: 序号 数学成绩 物理成绩 1 95 90 2 75 63 3 80 72 4 94 87 5 92 91 6 65 71 7 67 58 8 84 82 9 98 93 10 71 81

序号 数学成绩 物理成绩

11 67 77

12 93 82

13 64 48

14 78 85

15 77 69

16 90 91

17 57 61

18 83 84

19 72 78

20 83 86

某数学成绩 90 分(含 90 分)以上为优秀, 物理成绩 85 分(含 85 分) 以上为优秀. (1)根据上表完成下面的 2×2 列联表: 数学成 绩 物理成绩 优秀 不优秀 合计 20 (2)根据题(1)中表格的数据计算,有多少的把握认为学生的数学 成绩与物理成绩之间有关系? (3)若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来了解有关情况:将一 12 优秀 不优秀 合计

个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个 数字的乘积为被抽取人的序号.试求:①抽到 12 号的概率;②抽到 “无效序号(序号大于 20)”的概率. [解析] (1)表格为 数学成绩 物理成绩 优秀 不优秀 合计 优秀 5 1 6 不优秀 2 12 14 合计 7 13 20

(2)提出假设 H0:学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系. 20?5×12-1×2?2 根据上述列联表求得 k= ≈8.802. 6×14×7×13 当 H0 成立时,K2>6.635 的概率约为 0.01,而这里 8.802>6.635, 所以我们有 99%的把握认为: 学生的数学成绩与物理成绩之间有 关系. 4 1 (3)①抽到 12 号的概率为 P1=36=9; 6 1 ②抽到“无效序号”的概率为 P2=36=6. (理)(2012· 银川一中二模)某班甲、乙两名同学参加 100 米达标训 练,在相同条件下两人 10 次训练的成绩(单位:s)如下: 1 甲 乙 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 (1)请作出样本数据的茎叶图;如果从甲、乙两名同学中选一名

参加学校的 100m 比赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛 更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回答结论).

(2)从甲、乙两人的 10 次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的 成绩中至少有一个超过 12.8s 的概率. (3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都 均匀分布在[11.5,14.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差 的绝对值小于 0.8s 的概率. [解析] (1)茎叶图

从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,应选 派乙同学代表班级参加比赛更好; (2)设事件 A 为:甲的成绩超过 12.8,事件 B 为:乙的成绩超过 12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个超过 12.8s 的概率为: 4 5 4 p=1-P(- -)=1-P(-)· -)=1-10×10=5. A B A P( B (3)设甲同学的成绩为 x,乙同学的成绩为 y, 则|x-y|<0.8, 得-0.8+x<y<0.8+x, 如图阴影部分面积为 3×3-2.2×2.2=4.16,则 P(|x-y|<0.8)=P(-0.8+x<y<0.8+x) = 4.16 104 = . 3×3 225

22.(文)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们 参加的 5 次预赛成绩记录如下: 甲 乙 82 82 79 95 87 95 75 80 90 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高 的概率; (3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你 认为选派哪位学生参加合适?说明理由. [解析] (1)作出茎叶图如下:

(2)记甲被抽到的成绩为 x,乙被抽到的成绩为 y,用数对(x,y) 表示基本事件:

(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85), (82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85), (79,95)(79,75),(79,80),(79,90),(79,85), (95,95),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85), (87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85). 基本事件总数 n=25. 记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件: (82,75),(82,80),(82,75),(82,80), (79,75),(95,75),(95,80),(95,90), (95,85),(87,75),(87,80),(87,85). 事件 A 包含的基本事件数 m=12. m 12 所以 P(A)= n =25. (3)派甲参赛比较合适.理由如下: -甲=1(70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5)=85, x 5 -乙=1(70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5)=85, x 5 1 s2 =5[(79-85)2+(82-85)2+(82-85)2+(87-85)2+(95-85)2] 甲 =31.6, 1 s2 =5[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(95-85)2] 乙 =50.
2 ∵-甲=-乙,s2 <s乙, x x 甲

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. (理)(2013· 哈三中模拟)从某校高三年级共 1000 名男生中随机抽

取 50 名测量身高.据测量,被测学生身高全部介于 155cm 到 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组,第一组[155,160),第二组 [160,165),??,第八组[190,195].下图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成 等差数列.

(1)求第六组、第七组的频率,并估算高三年级全体男生身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (2)学校决定让这 50 人在运动会上组成一个高旗队,在这 50 人 中要选身高在 180cm 以上(含 180cm)的三人作为队长, X 为身高在 记 [180,185)的人数,求 X 的分布列和数学期望. [解析] (1)∵第六、七两组的频率和为 1-(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.008)×5=0.14, ∴第六、七两组的频数和为 0.14×50=7. 第八组的频数为 0.008×5×50=2. 设第六、七组的频数分别为 x、y,则由条件知,
?x+y=7, ?x=4, ? ? ? ∴? ? ? ?2y=x+2, ?y=3.

4 ∴第六组的频率为50=0.08,

3 第七组的频率为50=0.06. 估计全班身高在 180cm 以上的人数为(0.08+0.06+0.04)×1000 =180 人.. (2)X 可能的取值为 0,1,2,3.
3 C5 5 P(X=0)=C3=42, 9 1 2 C4C5 20 10 P(X=1)= C3 =42=21, 9 2 1 C4C5 15 5 P(X=2)= C3 =42=14, 9 3 C4 2 1 P(X=3)=C3=42=21. 9

所以 X 的分布列为 X P 0 5 42 1 10 21 2 5 14 3 1 21

5 10 5 1 4 E(X)=0×42+1×21+2×14+3×21=3.


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