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2015北师大附中高三理科数学期末复习4《三角函数》


2015 高三理科数学期末复习 4《三角函数》
班级: 姓名: 号数: π 3 π 1 1、已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan(α+ )等于( ) A、 2 5 4 7 成绩: B、7 1 C、- D、-7 7 π π 2、函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是( ) A、2π B、4π C、 D、 4 2 3、“等式 sin(α+γ)=sin2β 成立”是“α,β,γ 成等差数列”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 π π 4、函数 y=2sin( -x)+cos( +x)(x∈R)的最小值等于( ) 3 6 A、-3 B、-2 C、-1 D、- 5 5、已知△ABC 的周长为 4( 2+1),且 sinB+sinC= 2sinA,则角 A 的对边 a 的值为( ) A、2 B、4 C、 2 D、2 2 6、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 acosA=bsinB, 1 1 则 sinAcosA+cos2B=( ) A、- B、 C、-1 D、1 2 2 π π 7、已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( ) 3 4 2 3 A、 B、 C、2 D、3 3 2 8、已知函数 f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是( ) π A、y=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称 B、y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2 3 C、f(x)的最大值为 D、f(x)既是奇函数,又是周期函数 2 π π 9、把函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图像向左平移 个单位, 2 3 所得曲线的一部分如图所示,则 ω,φ 的值分别为( ) π π π π A.1, B.1,- C.2, D.2,- 3 3 3 3 10、已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π, π 且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( ) 2 A、f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B、f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C、f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D、f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 π 11、在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tanA=2,则 sinA=________;a=________. 4 12、设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ=________. 13、下面有五个命题: kπ ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π. ②终边在 y 轴上的角的集合是{α|α= ,k∈Z}. 2 ③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图像和函数 y=x 的图像有三个公共点. π π ④把函数 y=3sin(2x+ )的图像向右平移 得到 y=3sin2x 的图像. 3 6 π ⑤函数 y=sin(x- )在[0,π]上是减函数. 2 其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)
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14、设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. 3-1 (1)求 B; (2)若 sinAsinC= ,求 C. 4

→ → 15、在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,AB· AC=8,∠BAC=θ,a=4. π (1)求 bc 的最大值及 θ 的取值范围. (2)求函数 f(θ)=2 3sin2( +θ)+2cos2θ- 3的最值. 4

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2015 高三理科数学期末复习 4《三角函数》
π 3 4 3 π tanα+1 1 1、A 解析:∵α∈( ,π),sinα= ,∴cosα=- ,tanα=- .∴tan(α+ )= = . 2 5 5 4 4 1-tanα 7 1 2π π 2、D 解析:y=sin2xcos2x= sin4x,所以最小正周期为 T= = . 2 4 2 3、B 解析:若等式 sin(α+γ)=sin2β 成立,即 α+γ=2β+2kπ,或 α+γ+2β=π+2kπ,k∈Z; 若 α,β,γ 成等差数列,即 α+γ=2β,可得等式 sin(α+γ)=sin2β 成立. π π π π π π π 4、A 解析:y=2sin( -x)+cos( +x)=2cos[ -( -x)]+cos( +x)=2cos( +x)+cos( +x)= 3 6 2 3 6 6 6 π 5 3cos( +x).当 x= π+2kπ,k∈Z 时,ymin=-3. 6 6 5、B 解析:因为 sinB+sinC= 2sinA,所以由正弦定理得 b+c= 2a,又周长为 4( 2+1), 所以 a=4. 6、D 解析 ∵acosA=bsinB,∴sinAcosA=sin2B. ∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1. π π T π π π 3 7、B 解析 方法一:画图知[- , ]内包含最小值点,∴ ≤ ,即 ≤ ,∴ω≥ . 3 4 4 3 2ω 3 2 2kπ π π π π 方法二:∵f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2 时,ωx=2kπ- ,x= ω - 3 4 2 2ω ω≥8k-2, ? ? π 2kπ π π (k∈Z),∴- ≤ - ≤ ,得? -12k+3 3 ω 2ω 4 ?ω≥ 2 ? 3 ?ω≥ . 2

8、C 解析 由题意知 f(x)=2cos2x· sinx=2(1-sin2x)sinx,令 t=sinx,t∈[-1,1], 3 则 g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3,令 g′(t)=2-6t2=0,得 t=± ,当 t=± 1 时,函数值为 0; 3 3 4 3 3 4 3 当 t=- 时,函数值为- ;当 t= 时,函数值为 . 3 9 3 9 4 3 4 3 ∴g(t)max= ,即 f(x)的最大值为 .故选 C. 9 9 1 2π 7π π π 9、D 解析 由题知, × = - ,∴ω=2,∵函数的图像过点( ,0), 4 ω 12 3 3 π π π ∴2( + )+φ=π.∴φ=- .故选 D. 3 3 3 2π 2π 1 π 1 π π 10、A 解析 ∵T=6π,∴ω= = = . 又∵f( )=2sin( × +φ)=2sin( +φ)=2, T 6π 3 2 3 2 6 x π π π π π ∴ +φ= +2kπ,k∈Z,即 φ= +2kπ,k∈Z. 又∵-π<φ≤π,∴φ= .∴f(x)=2sin( + ). 6 2 3 3 3 3 5 π π 7 ∴f(x)的单调递增区间为[- π+6kπ, +6kπ],单调递减区间为[ +6kπ, π+6kπ],k∈Z. 2 2 2 2 观察各选项,故选 A. 2 5× 5 5 sinA bsinA 2 π 11、 解析 ∵tanA= =2, ∴sinA= 5.又∵b=5, B= , 根据正弦定理, 得 a= = cosA 5 4 sinB 2 2 =2 10. 1 2 1 2 12、解析 f(x)=sinx-2cosx= 5( sinx- cosx),令 cosα= ,sinα=- , 5 5 5 5 π 则 f(x)= 5sin(α+x),当 x=2kπ+ -α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值 1,f(x)有最大值 5, 2
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π π π 2 2 5 即 θ=2kπ+ -α(k∈Z),所以 cosθ=cos(2kπ+ -α)=cos( -α)=sinα=- =- . 2 2 2 5 5 13、①④ 解析 考查①y=sin2x-cos2x=-cos2x,所以最小正周期为 π. ②k=0 时,α=0,则角 α 终边在 x 轴上. ③由 y=sinx 在(0,0)处切线为 y=x,所以 y=sinx 与 y=x 图像只有一个交点. π π π π ④y=3sin(2x+ )图像向右平移 个单位得 y=3sin[2(x- )+ ]=3sin2x. 3 6 6 3 π ⑤y=sin(x- )=-cosx 在[0,π]上为增函数,综上知①④为真命题. 2 14、解析 (1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 1 由余弦定理,得 cosB= =- ,因此 B=120° . 2ac 2 (2)由(1)知 A+C=60° , 所以 cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC 3-1 1 3 =cos(A+C)+2sinAsinC= +2× = . 2 4 2 故 A-C=30° 或 C-A=30° ,因此 C=15° 或 C=45° . → → 15、解析 (1)∵AB· AC=8,∠BAC=θ,∴bc· cosθ=8,又∵a=4,∴b2+c2-2bccosθ=42, 2 2 2 2 即 b +c =32. 又 b +c ≥2bc,∴bc≤16,即 bc 的最大值为 16. 8 8 1 π 而 bc= ,∴ ≤16,∴cosθ≥ .又 0<θ<π,∴0<θ≤ . cosθ cosθ 2 3 π π (2)f(θ)=2 3sin2( +θ)+2cos2θ- 3= 3· [1-cos( +2θ)]+1+cos2θ- 3 4 2 π π π π 5π 1 π = 3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+ )+1. ∵0<θ≤ ,∴ <2θ+ ≤ ,∴ ≤sin(2θ+ )≤1. 6 3 6 6 6 2 6 π 5π π 1 当 2θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)min=2× +1=2; 6 6 3 2 π π π 当 2θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)max=2×1+1=3. 6 2 6

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