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2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习:第1章 1.2 第3课时 Word版含解析


第一章

1.2

第 3 课时

一、选择题 1.函数 f(x)=a4+5a2x2-x6 的导数为 导学号 05300167( ) 3 2 6 3 A.4a +10ax -x B.4a +10a2x-6x5 C.10a2x-6x5 答案] C 解析] f′(x)=(a4)′+(5a2x2)′-(x6)′=-6x5+10a2x. 2.函数 y=2sinxcosx 的导数为 导学号 05300168( A.y′=cosx C.y′=2(sin2x-cos2x) 答案] B 解析] y′=(2sinxcosx)′=2(sinx)′· cosx +2sinx(cosx)′=2cos2x-2sin2x=2cos2x. 3.下列求导运算正确的是 导学号 05300169( 1 1 A.(x+ )′=1+ 2 x x C.(3x)′=3x 答案] B 解析] 根据对数函数的求导法则可知 B 正确. 4.曲线 f(x)=xlnx 在 x=1 处的切线方程为 导学号 05300170( A.y=2x+2 C.y=x-1 答案] C 解析] ∵f ′(x)=lnx+1,∴f ′(1)=1, 又 f(1)=0,∴在 x=1 处曲线 f(x)的切线方程为 y=x-1. 5.(2015· 锦州期中)下列结论: (1)若 y=cosx,则 y′=-sinx. (2)若 y= 1 1 ,则 y′= x 2x x B.y=2x-2 D.y=x+1 ) ) ) D.以上都不对

B.y′=2cos2x D.y′=-sin2x

1 B.(log2x)′= xln2 D.(x2cosx)′=-2xsinx

1 2 (3)若 f(x)= 2,则 f′(3)=- . x 27 其中正确的命题的个数为 导学号 05300171( A.0 个 )

B .1 个

C .2 个 答案] C

D.3 个

解析] (1)若 y=cosx,则 y′=-sinx 正确, (2)若 y= 1 1 =x- ,(x>0),则 2 x

1 1 1 3 1 1 1 y′=- x- -1=- x- =- × 3=- ,故(2)错误. 2 2 2 2 2 x 2x x 1 2 2 - - - (3)若 f(x)= 2=x 2,则 f′(x)=-2x2 1=-2x 3=- 3,则 f′(3)=- 正确. x x 27 故正确的命题的个数为 2 个. x2+a2 6.函数 f(x)= (a>0)在 x=x0 处的导数为 0,则 x0 是 导学号 05300172( x A.a C.-a 答案] B 解析] 解法 1:f′(x)=? x2+a2? ? x ?′ B .± a D.a2 )

2x· x-?x2+a2? x2-a2 = = 2 , x2 x
2 x2 0-a ∴f′(x0)= 2 =0,得:x0=± a. x0

解法 2:∵f′(x)=?

a2 x2+a2? a2 x+ ?′=1- 2 , ′=? ? x? x ? x ?

a2 2 ∴f′(x0)=1- 2 =0,即 x2 a. 0=a ,∴x0=± x0 故选 B. 7.(2015· 青岛市胶州市高二期中)已知函数 f(x)=(x-3)ex,则 f′(0)= 导学号 05300173( A.2 C .3 答案] B 解析] ∵f(x)=(x-3)ex, ∴f′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex, ∴f′(0)=(0-2)e0=-2,故选 B. 8.函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是 导学号 05300174( ) B.-2 D.4 )

A.f(x)=ax C.f(x)=xex 答案] D

B.f(x)=logax D.f(x)=xlnx

解析] 若 f(x)=ax,则 f′(x)=(ax)′=axlna,x∈R,不满足题意,排除 A;若 f(x)=logax, 1 则 f′(x)= (a>0,a≠1),x≠0,不满足题意,排除 B;若 f(x)=xex,则 f′(x)=ex+xex,x xlna ∈R,不满足题意,排除 C,故选 D. 二、填空题 9.函数 y=2x3-3x2+4x-1 的导数为____________. 导学号 05300175 答案] 6x2-6x+4 解析] y′=(2x3)′-(3x2)′+(4x)′=6x2-6x+4. 10. 若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0, 则点 P 的坐标是________. 导学号 05300176 答案] (e,e) 解析] 本题主要考查求导公式及导数的几何意义,∵y=xlnx,∴y′=lnx+1,设 P(x0, y0),∵P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,∴y|x=x0=lnx0+1=2,∴x0=e,将 x0=e 代入 y =x· lnx 得 y0=e,∴P 点坐标为(e,e),解答本题的关键在于掌握曲线在某点处的切线斜率为 此点处的导数值. 11.(2016· 全国卷Ⅱ理,16)若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x +1)的切线,则 b=________. 导学号 05300177 答案] 1-ln2 解析] 设 y=kx+b 与 y=lnx+2 和 y=ln(x+1)的切点分别为(x1, lnx1+2)和(x2, ln(x2+1)). 1 1 则切线分别为 y-lnx1-2= (x-x1),y-ln(x2+1)= (x-x2), x1 x2+1 化简得 y= 1 1 1 1 x2 x + lnx1 + 1 , y = x- + ln(x2 + 1) , 依 题 意 , x1 x2+1 x2+1

?x =x +1 ? x lnx +1=- +ln?x +1? ? x +1
1 2 1 2 2 2

1 ,解得 x1= , 2

从而 b=lnx1+1=1-ln2.

三、解答题 12.求下列函数的导数. 导学号 05300178 (1)y=3x-lgx; (2)y=(x2+1)(x+1); x+3 (3)y= 2 ; x +3 (4)y=-sinx+ex. 解析] (1)y′=(3x)′-(lgx)′=3x· ln3- (2)y=(x2+1)(x+1)=x3+x2+x+1, ∴y′=3x2+2x+1. (3)y′=? = = 1 . xln10

? x+3 ?′ ? ?x2+3?

?x+3?′?x2+3?-?x+3??x2+3?′ ?x2+3?2 ?x2+3?-?x+3?· 2x -x2-6x+3 = . ?x2+3?2 ?x2+3?2

(4)y′=(-sinx)′+(ex)′=-cosx+ex.

一、选择题 x2 1 1.已知曲线 y= -3lnx 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2 导学号 05300179( A.3 C .1 答案] A x 3 1 解析] 由 f′(x)= - = 得 x=3.故选 A. 2 x 2 π π? 2.曲线 y=xsinx 在点? ?-2,2?处的切线与 x 轴、直线 x=π 所围成的三角形的面积为 导学号 05300180( π A. 2
2

)

B .2 1 D. 2

)

B.π2 1 D. (2+π)2 2

C.2π2 答案] A

π π π2 - , ?处的切线方程为 y=-x,所围成的三角形的面积为 . 解析] 曲线 y=xsinx 在点? ? 2 2? 2 故选 A. 3.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= 导学号 05300181( A.0 C .2 答案] D 解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义. 1 令 f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a- . x+1 ∴f(0)=0,且 f′(0)=2.联立解得 a=3,故选 D. 4.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a= 导学号 05300182( A.9 C.-9 答案] D 解析] y′=4x3+2ax,y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6. 二、填空题 5.若 f(x)=log3(x-1),则 f′(2)=________. 导学号 05300183 答案] 1 ln3 B .6 D.-6 ) B .1 D.3 )

解析] ∵f′(x)=log3(x-1)]′ = 1 1 (x-1)′= , ?x-1?ln3 ?x-1?ln3

1 ∴f′(2)= . ln3 6.曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________________. 导学号 05300184 答案] 4x-y-3=0 解析] 本题考查导数的几何意义,考查切线方程的求法.y′=3lnx+4,故 y′|x=1=4, 所以曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=4(x-1),化为一般式方程为 4x-y-3=0.在求过某 一点的切线方程时,先通过求导得出切线的斜率,利用点斜式即可写出切线方程,注意最后 应将方程化为一般式. x 7.曲线 y= 在点(1,1)处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x2+y2+4x+3=0 上的点的最近 2x-1

距离是________. 导学号 05300185 答案] 2 2-1 1 解析] y′|x=1=- | = =-1,∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0,圆 ?2x-1?2 x 1 心(-2,0)到直线的距离 d=2 2,圆的半径 r=1, ∴所求最近距离为 2 2-1. 三、解答题 π ? 8.设 y=8sin3x,求曲线在点 P? ?6,1?处的切线方程. 导学号 05300186 解析] ∵y′=(8sin3x)′=8(sin3x)′ =24sin2x(sinx)′=24sin2xcosx, π ? ∴曲线在点 P? ?6,1?处的切线的斜率 π π π k=y′|x= =24sin2 · cos =3 3. 6 6 6 ∴适合题意的曲线的切线方程为 π x- ?,即 6 3x-2y- 3π+2=0. y-1=3 3? ? 6? 9.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线 y=x-3 相切, 求 a、b、c 的值. 导学号 05300187 解析] ∵y=ax2+bx+c 过(1,1)点, ∴a+b+c=1① ∵y′=2ax+b,y′|x=2=4a+b, ∴4a+b=1② 又曲线过(2,-1)点,∴4a+2b+c=-1③ 解由①②③组成的方程组,得 a=3,b=-11,c=9.


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