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向量的线性相关性及其应用


向量的线性相关性及其应用
摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点,线性相关性的有关结论,对学生来说是很难理 解的。向量的相关性所反映的是在数域上的 n 维向量空间中向量之间的关系。文章总结出了判断向量线性 相关和线性无关的几种方法。同时给出了线性相关性的一些应用。 关键词:线性相关;线性无关;线性组合;极大无关组;坐标变换;过渡矩阵

一. 向量线性相关性及线性组合的基本概念
1. 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域 F 上 n 维向量 空间中向量之间的关系。在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数 k 使得 ? ? k ? ,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。所谓线性组合,就是 如果有数域 F 中的数 k 1 , k 2 ? k s , 使得 ? = k 1? 1 ? k 2? 2 ? ? k s ? s ,那么向量 ? 称为 向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 的一个线性组合,或说 ? 可以由向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性表示。特 别地,零向量是任一向量组的线性组合。于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:

定义 1:对 s 个 n 维向量 ? 1 , ? 2 , ? ? s , 若存在一组不全为 零的数 k 1 , k 2 ? k s ,使得
k 1? 1 ? k 2? 2 ? ? k s ? s ? 0 , 则 称 向 量 组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线 性 相 关 ; 否 则 称 向 量 组

? 1 , ? 2 , ? ? s 线性无关 。即没有不全为 0 的数,使 k 1? 1 ? k 2? 2 ? ? k s? s ? 0 ,就称为

线性无关。 定义2:对于向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 和向量 ? ,如果存在s 个数 k 1 , k 2 ? k s 使得
k 1? 1 ? k 2? 2 ? ? k s ? s ? ?

则称向量 ? 是向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 的线性组合 二. 关于线性相关性的几种判定

1. 利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用 的一种方法。具体步骤是: ⑴可令 k 1? 1 ? k 2? 2 ? ? k s? s ? 0 ,其中 k 1 , k 2 ? k s 为常数;

⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若 k 1 , k 2 ? k s 不全为0 , 则原向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性相关; 若 k 1 , k 2 ? k s 全

为0 ,则原向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性无关 2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”,线性无关解释为“没有多余”。 由于 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示,因此 向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性无关看成是 ? 1 , ? 2 , ? ? n 中“ 没有多余”的向量,如:“如果 一个向量组中的部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关”,解释为如果一个向量 组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。 “如果一个向量组线性无 关,则它的任意一个部分组也线性无关”,解释为如果一个向量组中没有多余的向量, 则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。 下面两个定理是学习向量组的线性相关性的过程中最难理解和掌握的。 引理1【1】 设向量组(Ⅰ) ? 1 , ? 2 , ? ? s 可由向量组(Ⅱ) ? 1 , ? 2 , ? ? t 线性表示, 且s>t,则 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性相关。 我们作如下解释:,向量组(Ⅰ)? 1 , ? 2 , ? ? s 称为“被表示向量组”,向量组(Ⅱ)
? 1 , ? 2 , ? ? t 称为“表示向量组”。条件s>t,看成是有”多余”的向量。即“被表

示向量组(Ⅰ) ? 1 , ? 2 , ? ? s 相对于表示向量组(Ⅱ) ? 1 , ? 2 , ? ? t 有多余的向量, 则 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性相关,这样解释便于理解和记忆。 推论1 如果一个向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性无关, 并且可由向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? t 线性表示。 则s≤t。 推论1可解释为:如果“被表示向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性无关,则被表示的向量组
? 1 , ? 2 , ? ? s 相对于表示向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? t 没有多余的向量,即s≤t。

推论2 两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。 两个向量组都线性无关,且彼此可相互线性表示,两个向量组彼此相对于另一个向量 组都没有多余的向量,得两个向量组所含的向量的个数相同。 下面再举一些例子进行说明。 例1 设向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性无关, 且可由向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? t 线性表示,则必有( )。 A.t≤s B.t≥s C.t<s D.t>s 分析: 被表示向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性无关, 则被表示向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? s 相对于表示向 量组 ? 1 , ? 2 , ? ? t 来说,没有多余的向量,因此有t≥s,故选择B。

例2 设向量组(Ⅰ) ? 1 , ? 2 , ? ? s ;向量组(Ⅱ) ? 1 , ? 2 , ? ? t 的秩分别为
r1 和 r2 ,若(Ⅰ)中每一个向量均可由(Ⅱ)线性表示,则 r1 与 r2 的关系

是什么? 解:应填“ r1 ≤ r2 ”其理由是:
? ? 设向量组 (Ⅰ) 1 , ? 2 , ? ? s 的极大无关组为 a i1 , a i 2 , ? a ir , 向量组 (Ⅱ) 1 , ? 2 , ? ? t
1

的极大无关组为。 可由 b j 1 , b j 2 , ? b jr 线性表示, a i1 , a i 2 , ? a ir 线性无关, 被表 则 因
2 1

示向量组 a i1 , a i 2 , ? a ir 相对于表示向量组 b j 1 , b j 2 , ? b jr 没有多余的向量,则 r1 ≤
1 2

r2 。

3. 向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n ( n ≥2) 线性相关的充分必要条件是 ? 1 , ? 2 , ? ? n 中某一个向量 是其余向量的线性组合 。根据此充要条件可以得到以下两个结论: ⑴ 任一个含零向量的向量组必线性相关, 即零向量是任意向量组的线性组合。

⑵ 单位向量组{1,0, ? ,0};{0,1, ? ,0};{0,0, ? ,1}必线性无关。
4.若向量组A : ? 1 , ? 2 , ? ? n 均为n 维向量且线性相关,则向量组B : ? 1 , ? 2 , ? ? n , ? n ? 1 也 线性相关。反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关 。 利用定义即可证明 5. 向量与矩阵的概念联系向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) 有r ( A) <n ;向量组线性无关的充分必要条件是秩r ( A) =n 。 证明:若 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性相关,则方程组
? k1 ? k2 ?? 1 , ? 2 ,? , ? n ? ? ? ? ? ? kn ? ? ??0 ? ? ?

有非零解。 于是 A ? 0 ,等价于秩 r ? A ? ? n 。 若矩阵A 的秩 r ? A ? ? n ,则 A ? 0 ,因而上述方程组有非零解。即:存在不全为0 的 m 个数 k 1 , k 2 ? k m ,使得 k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? k n ? n ? 0 ,也就是 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性相

关。 这种方法一般用来直接判断具体向量组线性相关性,且可以摆脱求方程组的麻烦, 但对 矩阵的行、列变换要求比较高。 6. m 个 n 维向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关 。 证明: m 个 n 维向量 ? 1 , ? 2 , ? ? m 构成矩阵 An ? m ? ( ? 1 , ? 2 , ? ? m ) ,有 r ? A ? ? n 。若
n < m ,则 r ? A ? ? m ,故 m 个向量 ? 1 , ? 2 , ? ? m 线性相关

7. 若向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? r 可由 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性表出,且 r ? s ,则 ? 1 , ? 2 , ? ? r 线性相 关 。同时,这个命题还有一个等价说法, 即:如果向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? r 可由 ? 1 , ? 2 , ? ? s 线性表出,且 ? 1 , ? 2 , ? ? r 线性无关,那么 r ? s 。 至于这个命题的证明,直接应用上述命题即可。 8. ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) = ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) A , A 是n阶满秩矩阵, 则 ? i ? i ? 1, 2, ? , n ? 与
? 1 , ? 2 , ? ? n 线性相关。
? a1 j ? a2 j 9.设, ? j ? ? ? ? ? ?a ? nj ? ? a1 j ? ? ? ? ,? ? ? j ? ? a nj ? ? ? ?a ? ? n ? 1, j ? ? ? ? ? ? ?
j

?

j ? 1, 2, ? , m ?

即向量 ? j 添上一个分量后得向量 ?

。若向量组A : ? 1 , ? 2 , ? ? m 线性无关, 则向量组

B : ? 1 , ? 2 , ? ? m 也线性无关。反言之,若向量组B 线性相关,则向量组A 也线性无关
三.应用. 在两组向量组线性相关性的问题中,较常用和特殊的应用是在基变换和过渡矩阵的问题 中
1.定义3: 设( ? 1 , ? 2 , ? ? n

)和( ? 1 , ? 2 , ? ? n )是数域P 上n 维线性空间V (简称V ) 的两个

基, 那么
? ? 1 ? a1 1? 1 ? a 2 1? 2 ? ? a n 1? n ? ? ? 2 ? a1 2? 1 ? a 2 2? 2 ? ? a n 2? n ? ? ? ?? ? a ? ? a ? ? ? a ? 1n 1 2n 2 nn n ? n

这里 ? ? 1 j , ? 2 j , ? , ? n j ? 就是 ?

j

关于基的坐标 ? j ? 1, 2, ? , n ? 。 以这 n 个坐标为列作一个 n

级矩阵

? a1 1 ? ? T ? ? ? a n1 ?

? ? ?

a1 n ? ? ? , 矩阵 T 叫做由基 ? 1 , ? 2 , ? ? n 到基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )的过渡 ? a nn ? ?

矩阵。上述关系式(1) 又可以写成下面的形式: ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) =( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) T 2. 过渡矩阵的求法 2.1,利用定义中的关系式求由基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )到基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )的过渡矩阵是T , 只 要能计算出 ?
j

关于基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )的线性组合系数

? 1 j , ? 2 j , ? , ? nj

?

j ? 1, 2, ? , n ? , 就可得出T 的第j 列元素, 从而写出过渡矩阵T。

例3 在 P ? x ? 4 中, 求由基 1, x ? a , ? x ? a ? , ? x ? a ?
2

?

3

? 到基 ?1, x , x

2

,x

3

? 的过渡矩阵,



中a ? P 。 解: 因为1= 1
x ? a ? ?a ? x

?x ? a? ?x ? a?

2

? a ? 2ax ? x
2 3 2

2

3

? ? a ? 3a x ? 3ax ? x
2

3

所以所求的过渡矩阵为

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

?a 1 0 0

a

2

?2a 1 0

3 ?a ? 2 ? 3a ? ?3a ? ? 1 ? ?

2. 2 利用性质(1):如果( ? 1 , ? 2 , ? ? n ), ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) ,{ ? 1 , ? 2 , ? ? ? n }都是V 的 基, 并且由基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )到基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )的过渡矩阵是A , 由基( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) 到基{ ? 1 , ? 2 , ? ? ? n }的过渡矩阵是B , 则由基 ?? 1 , ? 2 , ? ? n ? 到基{ ? 1 , ? 2 , ? ? ? n } 的过渡矩阵是A B 。 2.3, 利用性质(2):如果由基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )到基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )的过渡矩阵是T, 则 由基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )到基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )的过渡矩阵是 T
?1



例4:设基{ e1 = (1, 0, 0) , e 2 = (0, 1, 0) , e 3 = (0, 0, 1) }, 则由基{ e1 , e 2 , e 3 } 到基{ ? 1 , ? 2 , ? 3 }的过渡矩阵是A

??3 ? = 1 ? ??2 ?

1 ?1 1

2 ? ? 3 , 由性质(2) 知, 由基{ ? 1 , ? 2 , ? 3 }到基{ e1 , e 2 , e 3 }的过渡 ? ? 1? ? ?2 ? ? 5 ? ?1 ? ?3 ?7 ?1 ?5 ? ? ?11 ? ?2 ? ? 1 2 3 2? ? 0 ? ? 1?

矩阵是 A

? `1

?1 ? 又因为由基{ e1 , e 2 , e 3 }到基{ ? 1 , ? 2 , ? 3 }的过渡矩阵是B = 1 ? ? ?1

所以由性质( 1 ) 可知所求的由基{ ? 1 , ? 2 , ? 3 } 到基{ ? 1 , ? 2 , ? 3 } 的过渡矩阵是
? ?6 ? B = ?13 ? ? ?2 ? ?19 ?42 ?7 ? 1? ? ?1 ? 0 ? ?

A

?1

2. 4 利用性质:如果向量关于基{ ? 1 , ? 2 , ? ? n }的坐标是( x1 , x 2 , ? x n ) ; 关于基 {β 1 ,β 2 , ?,β n }的坐标是( y1 , y 2 , ? y n ) , 则有坐标变换关系式:
? ? ? ? ? ? x1 ? ? y1 ? ? x2 y ??T? 2 ? ? ? ? ? ? xn ? ? yn ? ? ? ? ? ?

例5

在V 中, 对任一向量A, 设A在基{ ? 1 , ? 2 , ? ? n }下的坐标为( x1 , x 2 , ? x n ) , 在基{ ? 1 , ? 2 , ? ? n }下的坐标为( y1 , y 2 , ? y n ) , 且两组基下的坐标有关系
y 1 ? x1 ? ? y ? x 2 ? x1 ? 2 ? ? y 3 ? x 3 ? x 2 , 求由基{ ? 1 , ? 2 , ? ? n }到基{ ? 1 , ? 2 , ? ? n }的过渡矩阵。 ? ? ? ? y n ? x n ? x n ?1 ?

y 1 ? x1 ? ? y ? x 2 ? x1 ? 2 ? 解: 由坐标变换关系式(3) 可知 ? y 3 ? x 3 ? x 2 ? ? ? ? y n ? x n ? x n ?1 ?

?1 ? 1 则所求过渡矩阵为A = ? ?? ? ?1

0 1 ? 1

? ?

1

0? ? 0 ? ?? ? 1?

但对于利用坐标变换关系 求过渡矩阵一定要慎重,不要出错。 2. 5 利用定义中关系式 如果在V 中有三组基, 基如果在V 中有三组基, 基{ ? 1 , ? 2 , ? ? n }和基
? a1 1 ? ? a1 2 ? ? ? a a ? 21 ? , ? 22 }的坐标列分别是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a n1 ? ? a n 2 ? ? ? ,? ? ? ? ? a1 n ? a2n ,? ? ? ? ? a nn ? ? ? 和 ? ? ?

{ ? 1 , ? 2 , ? ? n }关于基{ e1 , e 2 , ? e n

? b1 1 ? ? b1 2 ? ? ? b b ? 21 ? , ? 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? bn1 ? ? bn 2
? b1 1 ? ? ? ?b ? n1 ? ? ?

? ? b1 n ? ? b ? ,? , ? 2 n ? ? ? ? ? ? ? bnn

? ? ? , 则可将坐标列直接代入关系式(2) 得变形式 ? ? ?
a1 n ? ? ? T ? a nn ? ? ? a1 1 ? ) ? ? ?a ? n1 ? b1 1 ? ) ? ? ?b ? n1 ? ? ? ? ? ? a1 n ? ? ? ? a nn ? ? b1 n ? ? ? ? bnn ? ?

b1 n ? ? a 1 1 ? ? ? = ? ? ? bnn ? ? a n1 ? ?

? ? ?

证明: 因为 ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) = ( ? 1 , ? 2 , ? ? n

( ?1 , ? 2 ,? ? n ) = ( ? 1 , ? 2 ,? ? n

代入关系式(2) ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) = ( ? 1 , ? 2 , ? ? n ) T 得
? b1 1 ? )? ? ?b ? n1 ? ? ? b1 n ? ? a1 1 ? ? ? = ( ? 1 , ? 2 ,? ? n ) ? ? ? ? ?a bnn ? ? n1 ? ? ? a1 n ? ? ? T ? a nn ? ?

( ? 1 , ? 2 ,? ? n

而( ? 1 , ? 2 , ? ? n )是基向量线性无关, 所以
? b1 1 ? ? ? ?b ? n1 ? ? ? b1 n ? ? a 1 1 ? ? ? = ? ? ? bnn ? ? a n1 ? ?

? ? ?

a1 n ? ? ? T ? a nn ? ?

如果在 P

n

中, 上述基( ? 1 , ? 2 , ? ? n )一般默认为标准基{ e1 = (1, 0, 0, ?, 0) ,

e 2 = (0,1, 0, ?, 0) , ?, e n = (0, 0, 0, ?, 1) }。

结束语: 线性相关性作为线性代数的重要内容之一,在许多方面有着广泛的应用,限于篇幅,不 再详述。

[参考文献] [ 1 ] 张禾瑞, 等. 高等代数(第四版) [M ]. 高等教育出版社, 1999.

[ 2 ] 胡金德, 等. 线性代数辅导(第二版) [M ]. 清华大学出版社, 2000. 228. [ 3 ] 郝炳新. 高等代数思考与训练[M] . 成都:成都科技大学出版社,1991. [ 4 ] 黎伯堂,刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M] . 济南:山东科学技术社,1999. [ 5 ] 龚德恩等.经济数学基础(第二分册线性代数)(最新修订本)[M].四川人民出 版社,2000 年. [ 6 ] 刘庆华,韩云瑞.提高数学教学课堂效果的几点思考[J].大学数学,2005,21. [ 7 ] 崔国生, 杨学锋;典型相关系数与线性相依性 [J] ;沈阳师范学院学报(自然科学版);1999 年03期 [ 8 ]杨喜寿;关于两个随机变量的线性关系[J];应用数学学报;1986年02期 [ 9 ]庞善起;正交表的构造方法及其应用[D];西安电子科技大学;2003年 [ 10 ]张应山;正交表的数据分析及其构造[D];华东师范大学;2006年 [ 11 ] 林文元,林春土;广义相关系数和若干极值[J];高校应用数学学报A辑(中文版);1991 年02期 [ 12 ]王松桂;典型相关与广义相关系数[J];科学通报;1984年11期 [ 13 ]努尔古丽·艾力;相关性度量及指标聚类方法的改进[D];新疆农业大学;2008年 [ 14 ]董晓萌;多个数量性状间的相关性研究[D];西北农林科技大学;2008年 [ 15 ]刘勇. 线性方程组的解的结构[J]. 科技创新导报, 2009, (35) :33 [ 16 ]马丽杰. 关于线性代数的教学的几点思考[J]. 改革与开放, 2009, (12) :198-199 [ 17 ]吴娟. 大学数学教学中的几点思考[J]. 科技信息, 2009, (29) :140-141 [ 18 ]Chris Rorres and Howard Anton, , Applications of Linear Algebra (Third edition). John Wiley and Sons. 1984 [ 19 ]Stephen Wolfram, Mathematica (Section edition), Addition-Wesley Publishing Company, 1993 [ 20 ]David C.Lay, Linear Algebra and Its Applications (third Edition), Addison Wesley, 2004 [ 21 ]Steven J.Leon, Linear Algebra with Applications , Sixth Edition, Prentice Hall/Pearson, 2004 [ 22 ] Serge Lang , Introduction to Linear Algebra,Second Edition , Springer-Verlag , 2004 [ 23 ]Elias Deeba,Ananda Gunawardena , Interactive Linear Algebra with MAPLE V , Springer-Verlag , 1999

Linear algebra, linear correlation of a small summary
Name:Liu Xiaoyu Student Number:200640501413

Advisor:Feng Yangang
Abstract: linear correlation of the linear algebra curriculum content is key and difficult points, linear correlation of the findings, it is very difficult for students to understand. Vector correlation is reflected in the number of domains-dimensional vector space vector relationship. The article summed up to determine the linear correlation and linear independent vectors of several methods. As well as special demand that the transition matrix method. Key Words: linear correlation linearly independent linear combinations of a great transition to independent group of coordinate transformation matrix


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