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复数知识点归纳及习题



一.知识网络图



二.复数中的难点
(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算 的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地 加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方 .有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定 的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都 具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.

三.复数中的重点
(1)理解好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. (2)熟练掌握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能准确地求出复数的模和辐角 .复 数有代数,向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐 角在解决具体问题时经常用到,是一个重点内容. (3)复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质 .复数的运 算是复数的主要内容,掌握复数各种形式的运算,特别是复数运算的几何意义更是重点内容. (4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

四.基础知识
1

1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常 用 C 来表示。 (1) z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; (2) z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); (3) z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; (4) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2. 复数的几种形式。 对任意复数 z=a+bi (a,b∈R) ,a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么 z 与坐标平面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间 的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去 掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一 一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式 3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1)
? z1 (2)z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; (3)z ? z ?| z |2 ; (4)? z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; ?z ? 2 ? z1 ? ; (5) | z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | ; ?? ? z2

(6)|

z1 | z1 | ; (7)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|; (8)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2; |? z2 | z2 |

1 。 z 4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算 结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; ( 2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和 三角形法则; 复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i; (2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

(9)若|z|=1,则 z ?

(3) z1÷z2 =

(a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠0) ; ? ac 2 ? i (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2

几个重要的结论: (1) (1 ? i) 2 ? ?2i (2) i 性质: T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;
1 (3) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? 。 ;⑷ 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i; z 1? i 1? i

运算律: (1) z m ? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z2 ) m ? z1 z2 (m, n ? N );
m m

共轭的性质:⑴ ( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2 ;⑵ z1 z 2 ? z1 ? z 2 ;⑶ (

z1 z ) ? 1 ;⑷ z ? z 。 z2 z2

模的性质:⑴ || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ;⑵ | z1 z 2 |?| z1 || z 2 | ;⑶ |
2

z1 | z1 | ;⑷ |? z2 | z2 |

| z n |?| z | n ;
5.复数相等的充要条件:两个复数实部和虚部分别对应相等。 6.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0).

五.习题
1.已知 a∈R,若(1-ai)(3+2i)为虚数,则 a 的值为( 3 3 2 2 A.- B. C.- D. 2 2 3 3 2.复数 A. )

i
1+2i

(i 是虚数单位)的实部是(

)

2 2 1 1 B.- C. D.- 5 5 5 5 3.复数 z 是实数的充要条件是( A. z ? z B. z ? z

) D. z ? z 为实数 ) D. 3 ? 4i

C. z 2 为实数

4.若复 数 z 满足 z ? z ? A. ?3 ? 4i 5.
1 ? 3i ( 3 ? i)2
1 4 3 i 4

10 ,则 z 等于( 1 ? 2i

B. ?3 ? 4i 等于( ) B. ? ?
1 4

C. 3 ? 4i

A. ?

3 i 4
2

C. ? )

1 2

3 i 2

D. ? ?

1 2

3 i 2

6. z ? C ,若 M ? z |( z ? 1)2 ? z ? 1 ,则( A. M ? ?实数? B. M ? ?虚数?

?

?

C. ?实数? 苘M

?复数?


D. M ? ???

7.已知复数 z1 ? a ? bi , z2 ? ?1 ? ai(a,b ? R) ,若 z1 ? z2 ,则( A. b ? ?1 或 b ? 1 8. (3 ? 2i) ? (1 ? i) 表示( B. ?1 ? b ? 1 ) C. b ? 1 D. b ? 0

2) 与点 (11) , 之间的距离 A.点 (3, 2) 与原点的距离 C.点 (3,

2) 与点 ( ?1 , ? 1) 之间的距离 B.点 (3,
1) 之间的距离 1) 与点 (2, D.点 (3,

9.已知 z ? C , z ? 2 ? 1 ,则 z ? 2 ? 5i 的最大值和最小值分 别是( A. 41 ? 1 和 41 ? 1 10.设 0<θ < B.3 和 1



C. 5 2 和 34 D. 39 和 3 )

π 2 2 ,(a+ i)(1-i)=cosθ + i,则 θ 的值为( 2 2 2
3

A.

2π 3

B.

3π 4

C.

π 3

D.

π 4 ) C. ?4 ? 3i D. ? ?
1 2 3 i 2

11.若 x ? C ,则方程 x ? 1 ? 3i ? x 的解是( A. ?
1 2 3 i 2

B. x1 ? 4,x2 ? ?1

12.满足条件 z ? i ? z ? 2 ? 2 的复数 z 在复平面内对应的点的轨迹 是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线





D.一条射线

13.设 A , B 为锐角三角形的两个内角,则复数 z ? (cot B ? tan A) ? (tan B ? cot A)i 对应的点位于复 平面( ) A.第一象限 14 .已知复数 z ? B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

a 2 ? 7a ? 6 ? (a 2 ? 5a ? 6)i (a ? R) ,那么当 a=_______ 时, z 是实数;当 2 a ?1
?z ?

a ? __________时,z 是虚数;当 a=______时,z 是纯虚数。
1 15.若 f ( z) ? 1 ? z( z ? C) ,已知 z1 ? 2 ? 3i , z2 ? 5 ? i ,则 f ? ?z ? ?? ? 2?



16. 复数 z ? (m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 2m ? 8)i 的共轭复数在复 平面上的对应点在第一象限内, 则实数 m 的取范围是 . .

17.已知 z ? 1 ,则复数 ? ? 2 z ? 3 ? 4i ,对应点的轨迹是

18 .设 z ? log2 (m2 ? 3m ? 3) ? i log2 (m ? 3)(m ? R) ,若 z 对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,则 m 的值 是 .

19.已知向量 OZ1 对应的复数是 5 ? 4i ,向量 OZ2 对应的复数是 ? 5 ? 4i , 则 OZ1 + OZ2 对应的复数是___________。 20.复数 z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为 A,B,C 若∠BAC 是钝角,则实数 c 的取值范围为________. 21.已知复数 3 z ? z 对应的点落在射线 y ? ? x( x ≤ 0) 上, z ? 1 ? 2 ,求复数 z .
z 均为实数,且复数 ( z ? ai)2 在复平面上对应的点在第一象限, 2?i

22.已知 z 是复数, z ? 2i 与 求实 数 a 的取值范围.

4


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