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《抛物线定义及其标准方程》


抛物线及其标准方程
一、教学目标
1.知识目标:①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导;②掌握焦点、焦点 位置与方程关系;③进一步了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标:使学生充分认识到“数与形”的联系,体会“数形结合”的思想。

二、教学过程
(一) 、复习引入 问题 1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述?其离心率 e 的取值范围各是什么? 平面内,到一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹,当 0<e<1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线。自然引出问题:那么,当 e ? 1 时,轨迹是什么形状的 曲线呢? (二).创设情境 问题 2、用制作好的教具实验:三角板 ABC 的直角边 BC 边上固定一个钉子,一根 绳子连接钉子和平面上一个固定点 F, 并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点 C 的距离。 用笔尖绷紧绳子,并且使三角板 AC 在定直线 l 上滑动,问笔尖随之滑动时,在平面上 留下什么图形?如何用方程表示该图形? 设计意图:从实际问题出发,激发学生的求知欲,将问题交给学生,充分发挥学生的 聪明才智,体现学生的主体地位,同时引入本节课的内容. 师生活动: (1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来,教师可适当引导:当笔 尖滑动时, 笔尖到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距 离,在满足这样条件下,笔尖画出的图形。并抽象数 学问题: (三) 、新课讲授: (1)抛物线定义:平面内,到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线,F 到直线 l 的距离简
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N K A F

M

称焦准距。 特别提醒:定点 F 在定直线 l 外。 (并假设 F 在直线 l 上)
抛物线及其标准方程教学设计 第1页 共4页

换种说法:平面内,到一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 1 的轨 迹,叫做抛物线。 归纳总结:平面内,到一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨 迹有三种曲线:椭圆、抛物线、双曲线,它们统称为圆锥曲线。 思考题: 一个动点 P( x, y) 满足下列条件 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( ) A圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
3x - 4 y 5

则动点 P 的轨迹是

师生活动:教师引导学生将抽象的代数语言翻译成几何语言 (2)抛物线的标准方程 类比椭圆、双曲线标准方程的推导,抛物线的标准方程又如何推导?方程有什么特 点? 设计意图:利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法(利用定义来推导) , 并巩固复习建系、列方程的方法步骤(建、设、限、代、化) 。 师生活动:利用求曲线方程的方法步骤求抛物线的标准方程。求解过程学生若有困 难老师可适当引导,师生共同完成求解过程: 如图所示,利用对称性建立直角坐标系系, 设|KF|= p ( p >0),
p p 那么焦点 F 的坐标为 ( ,0) ,准线 l 的方程为 x ? ? , 2 2
D y M

设抛物线上的点 M ( x, y) ,则有 ( x ? 化简方程得 y 2 ? 2 px 方程 y 2 ? 2 px

p 2 p ) ? y 2 ?| x ? | 2 2

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K O (1)

F

x

? p ? 0?

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? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程

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问题 3 椭圆、 双曲线的标准方程不止一个, 那么抛物线的标准方程呢?还有其它形式? 该如何推导? 设计意图: 通过复习初中最基本的抛物线方程 y ? x 2 和 y ? ? x 2 , 让学生观察并总结出 开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程. 师生活动:学生回答上述问题,老师补充,师生共同得出:一条抛物线,由于它在坐标 系的位置不同,除上述一种外还有三种不同的情况,所以抛物线的标准方程也相应有另 外三种形式: y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦 点坐标以及准线方程如下表
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y

y

y
l

y O F

x

图形

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

l

开口方向 方程 焦点 准线

X 轴的正方向

X 轴的负方向

Y 轴的正方向

Y 轴的负方向

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
p ,0 ) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

(?

观察总结:抛物线的标准方程的特点 (1)都过原点;(2)对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴;(3)焦 准距为 p ,半焦距等于等于一次项系数绝对值的
2p p 1 ? ,即 4 4 2
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(4)一次项的字母为

对称轴,二次项单独在某一边,且系数为 1.(5)一次项系数正负决定图像开口方向

(四) 、精讲范例 例题 (1)已知抛物线标准方程是 y 2 ? -4 x ,作图并求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,
1 ) ,求它的标准方程 2
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设计意图:让同学们熟悉抛物线标准方程的形式和特点,进一步理解抛物线标准方程 的本质. 师生活动: (1) 在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用 p 的代数式表示的, 所以只要求出 p 即 可; (2)抛物线标准方程过原点且对称,因此结合图像、准线和焦点坐标求出 p ,问题 即解. 解析: (1) y 2 ? -2px 则 p ? 2 ,焦点坐标是(-1,0)准线方程是 x=1. (2)焦点在 y 轴正半轴上,
p 1 = ,所以抛物线的标准方程是 x 2 ? y . 2 2

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变式练习: 1、已知抛物线的标准方程风别是: (1) y ? 6x 2 , (2) x ? ay2 ( a ? 0 ) 求它们的焦点坐标和准线方程.

特别提醒:一定先将抛物线化为标准方程!
2、求下列抛物线的标准方程: 3 (1)焦点坐标是 (0,? ) ; 2 (2)抛物线的准线方程为 y ? 1 ; (3)过点 (4,1) . 设计意图: 让学生通过方程形式辨别抛物线的位置, 进而求出焦点坐标和准线方程. 或 通过焦点坐标和准线方程辨别抛物线的开口,写出抛物线方程. 师生活动:先让学生自己分析解答,然后抽取部分学生检查解答过程,若有问题老师 适当补充:解此题的关键是(1)会根据示意图确定属于哪类标准形式, (2)想办法求出 参数 p 的值. (五) 、小结 ①抛物线的定义、标准方程、以及与图像的联系; ②解抛物线问题时,要做到先“定位” ,后“定量” . ③圆锥曲线的统一定义。 (六) 、作业 (1) 教材 P120 练习 2、3、4、5. (2) 《小练习》 (七) 、强调: (1)先由焦点位置或准线方程确定抛物线标准方程的类型; (2)一定先将抛物线化为标准方程

三、兴趣培养:圆锥曲线统一定义的背景和应用 (1) 统一定义:用一个平面去切两个共点且对称的圆锥,不同的切法可切出这三个 曲线 (2)应用:吊桥、电筒

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