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1.2.2组合(第二课时)


1.2.2 组合

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ? A
n n

m

m

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) C ? ?

A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m !(n ? m)!
m n

问题1 计算 猜想
m n

①C ;②C
n-m n

7 10

3 10

C =C

练:C

97 100

问题2、一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,其中含有1个黑球,共有 多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,没有黑球,共有多少种不 同的取法?

猜想

C +C

m n

m -1 n

=C

m n +1

组合数的两个性质 性质1 规定: 性质2

C =C

m n

n -m n

C= 1
C +C
m n m -1 n

0 n

=C

m n +1

注:

1? 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和, 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的 相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.

知识要 点
组合的两个性质
性质1 性质2

C =C
C
m n+1

m n

n-m n

.
m-1 n

= C +C

m n

.

例题分析

例1 已知 C = C ,求 C
(3) 2 已知
(4) 3求

4 n

6 n

9 n+ 2

的值.

C

3 n

?

A

2 n

,求 n .

C

38-n 3n

+C 的值.

3n 21+n

例 求证:

C
m n

m n

m ?1 m ?1 ? ? C n .( P 25练习6) n?m

n! 证明: ? C ? , m( ! n ? m) !
m ? 1 m?1 m ? 1 n! ? Cn ? ? n?m n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! m ?1 n! ? ? (m ? 1)! (n ? m)( n ? m ? 1)!
n! m ? ? Cn . m !(n ? m) !

选人问题: 例8:在100件产品中有98件合格品,2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?

说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类 法或间接法求解。

变式练习

选人问题:

按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法? 3 2 (1)甲、乙、丙三人必须当选; C3 C9 ? 36 0 5 (2)甲、乙、丙三人不能当选; C3 C9 ? 126 (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;C11C94 ? 126 (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; C1C 4 ? 378 3 9 (5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
3 1 4 5 (5)方法一:C32C9 ? C3 C9 ? C30C9 ? 756

方法二:C ? C C ? 756 1 4 (6)方法一:C C ? C C ? C3C9 ? 666 方法二:C ? C C ? 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9

选人问题: 例8、某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要 派5人参加支边医疗队,至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加,有多少种选法? 5 5 5 练:某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一 门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语与 日语的各1人,有多少种不同的选法?
解:由于7+3=10>9,所以9人中必有1人既会英语又会日语. (1)从只会英语的6人中选1人,只会日语的2人中选1人, 有N1=6×2=12 (2)既会英语又会日语的那位选定,其余8人中选1人, 有N2=1×8=8 由分类计数原理得N= N1+ N2=20.

C20 ? C8 ? C12

课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果,排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念


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