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幂函数的性质


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题 幂函数的性质 函数综合 幂函数性质的应用 函数综合性质的运用

函数零点

教学目标

重点、难点

教学内容

教学过程: 一、幂函数
1.幂函数的定义 ⑴一般地,形如 y ? x? ( x ?R)的函数

称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数; ⑵ y ? x2 , y ? x 3 , y ? x 4 等都是幂函数,在中学里我们只研究 ? 为有理数的情形; ⑶幂函数与一、二次函数,正、反比例函数及指、对数函数一样,都是基本初等函数. 2.幂函数的图像
y ? x2
1 ? 1

y y ? x3

y?x
1

y ? x2
y ? x ?2 y ? x ?1

O

x

⑵归纳幂函数的性质: ① 当 ? ? 0 时: ⅰ)图象都过 ? 0, 0 ? , ?1,1? 点。 ⅱ)在第一象限内图象逐渐上升,都是增函数,且 ? 越大,上升速度越快。 ⅲ)当 ? ? 1 时,图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时,图象上凸。 ② 当 ? ? 0 时: ⅰ)图象都过 ?1,1? 点。 ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数,且 ? 越小,下降速度越快。 思考 1:如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象? 思考 2:如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象? 例题讲解:
1

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例1

写出下列函数的定义域和奇偶性 (2) y ? x 4
1

(1) y ? x 4

(3) y ? x ?3

(4) y ? x ?2

例2

比较下列各组中两个值的大小:
1 1

(1) 2 6 , 36

; (2) 3.14 4 与 ?

?

3

?

3 4

5

; (3) (?0.88) 3 与 (?0.89) 3 .
3 3 2 ? 3 ? 3 3

5

思考:.比较下列各数的大小:(1) 1.14 ,1.4 4 ,1.13 ; (2) 0.16 4 ,0.5 2 ,6.258.

例3

已知函数 f ? x ? ? ? m 2 ? 2m ? x m

2

? m ?1

. 则当 m 为何值时, f ? x ? 是

(1)正比例函数; (2)反比例函数; (3)幂函数?

例4

已知函数画出 y ? x 3 的大致图象。
? 2 3

?

2

⑴求其定义域、值域;⑵判断奇偶性和单调性;⑶画出 y ? x 的大致图象。

二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点(zero point). 方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴 有交点 函数 y=f(x)有 零点 连续函数 在某个区间上存在零点的判别方法: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么,函 数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得 f(c )=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2、二分法 对于在区间[a,b]上连续不断、且 f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断把函数 f(x)的零 点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。 步骤:1、确定区间[a,b],验证 f(a) · f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点 x1 3、计算 f(x1); (1) 若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点
2

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(2) 若 f(a) · f(x1)<0,则令 b= x1(此时零点 x0∈(a,x1)) (3) 若 f(b)· f(x1)<0,则令 a= x1(此时零点 x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|< ε ,则得到零点的近似值 a(或 b);否则得复 2~

★典型例题
例 2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到 0.1) 解:原方程即 2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数 f(x)=2x+3x-7 与图象(如下): x f(x)=2x+3x-7
4

对应值表

0 -6

1 -2

2 3

3 10

4 21

5 40

6 75

7 142

3

f? x? = ?2x+3? x?-7

2

1

-2 -1

0

1

2

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.33 (1,1.5) 1.25 -0.87 (1.25,1.5) 1.375 -0.28 (1.375,1.5) 1.4375 0.02 (1.375,1.4375) 由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到 0.1 的近似值都是 1.4,所以原方程精确到 0.1 的 近似解为 1.4。

★补充例题:
例 1. (1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( ) D.(3,+∞)
y
3 2

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

(2)设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个数。 解析:

1

o

1

2 x0 3

x
3

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(1)在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图)。它们的交点横坐标
x0 ,显然在区间(1,3)内,由此可排除 A,D 至于选 B 还是选 C,由于画图精确性的限制,单凭直观
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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就比较困难了。实际上这是要比较 x0 与 2 的大小。当 x=2 时,lgx=lg2,3-x=1。由于 lg2<1,因 此 x0 >2,从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应选 C。
?x ? 1 ? 0 ?3 ? x ? 0 ?a ? ? x 2 ? 5 x ? 3 ? (2)原方程等价于 ? 即? ?1 ? x ? 3 ?a ? x ? 0 ? ?( x ? 1)(3 ? x) ? a ? x
Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 X

y?a

x?5 2 Y(x)=-x^2+5x3

? ?ì ?? ?? ·? ?? ?? ?? ± í ?? ?? ?é ° ?± ? - http://www.alentum.com/agrapher/

构造函数 y ? ? x 2 ? 5x ? 3 (1 ? x ? 3) 和 y ? a ,作出它们的图像,易知平行于 x 轴的直线与抛物 线的交点情况可得: ①当 1 ? a ? 3 或 a ? 13 时,原方程有一解; 4 ②当 3 ? a ? 13 时,原方程有两解; 4 ③当 a ? 1或 a ? 13 时,原方程无解 4
点评:图象法求函数零点,考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解 所在的区间。数形结合,要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值, 通过比较其大小进行判断。

(四)巩固提高
一、选择题:
? 2? 2, 1.已知幂函数 f ? x ? 的图象经过点 ? ? 2 ? ? ,则 f ? 4 ? 的值等于( ? ? y



A. 16

B.

1 16

C.

1 2

D. 2

C1 C2 1 O C1 1 C4 x C3
4

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2.已知幂函数 y ? x a 、 y ? xb 、 y ? x c 、 y ? x d 在第一象限内的图象分别是 C1 、 C2 、 C3 、 C4 , 则 a 、 b 、 c 、 d 的大小关系是____________. 3.下列幂函数中,定义域为(0,+∞)的是( A. y ? x
2 3


3 ? 2

B. y ? x

3 2

C. y ? x

2 ? 3

D. y ? x )

4.若 a<0,则下列不等式正确的是(

A. 2a ? 2? a ? 0.2a ; B. 0.2a ? 2? a ? 2a ; C. 2? a ? 0.2a ? 2a ;D. 2a ? 0.2a ? 2? a 5.关于幂函数 y ? x? ,下列结论正确的是( )

A.图象都通过(0,0) , (1,1)两点;B.当 ? ? 0 时,幂函数为增函数; C.当 ? ? 0 时,图象是一条直线; D.幂函数的图象不可能出现在第四象限。 6.若幂函数 y ? x ( p 、 q ? Z 且 p 、 q 互质)的图象过点(-1,1) ,则( A. p 为奇数, q 为偶数, p ? q ? 0 C. p 为奇数, q 为偶数, p ? q ? 0 7、已知 log a B. q 为奇数, p 为偶数, p ? q ? 0 D. q 为奇数, p 为偶数, p ? q ? 0 ( D、 a ? b ? 1 ( C、2 D、3 ( C. c ? b ? a D. c ? a ? b ) ) )
q p



1 1 ? log b ? 0 ,则下列不等式成立的 3 3 A、 0 ? b ? a ? 1 B、 0 ? a ? b ? 1 C、 b ? a ? 1

8、方程 log 2 ( x ? 4) ? 3 x 的实根个数为 A、0 B、1 9、设 a ? 6 0.7 , b ? 0.7 6 , c ? log 0.7 6 ,则 A. a ? b ? c B. b ? c ? a

一、选择题
1.函数 f ( x) ? e ? x ? 2
x

的零点所在的区间是( ) (C) (0,1) ) (D) (1,2)

(A)(-2,-1) (B) (-1,0)

2.函数 f(x)= 2x ? 3x 的零点所在的一个区间是 (

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 3.若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ;
5



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D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 4.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( A.无穷多 B. 3
2

) D. 0 )

C. 1

5.如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. ?? 2,6?
3

B. ?? 2,6?

C. ?? 2,6?

D. ? ??, ?2 ? ? ? 6, ?? ?

6.函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 ( ) A. 1 B. 2
x

C. 3

D. 4
x

7 . 设 f ?x ? ? 3 ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间(
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5)
2

) D.不能确定

C. (1.5, 2)

8.直线 y ? 3 与函数 y ? x ? 6 x 的图象的交点个数为( ) A. 4 个
x

B. 3 个

C. 2 个

D. 1 个

9.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( ) A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, 2) D. (0, ??)

10.已知 f ( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下 面命题错误的( ) A.函数 f ( x) 在 (1, 2) 或 ? 2, 3 ? 内有零点 C.函数 f ( x) 在 (2,5) 内有零点 B.函数 f ( x) 在 (3,5) 内无零点 D.函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 ( )

11.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1). (B) (1,1.25).

(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

12.已知 x0 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x 1 ∈(1, x 0 ) , x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则 1? x
(B)f( x 1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x 1 )>0,f( x 2 )>0
x

(A)f( x 1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x 1 )>0,f( x 2 )<0

13.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x 2 是 10 ? x ? 3 的解,则 x1 ? x2 的值为( A.



3 2

B.
5

2 3

C. 3

D.

1 3
)

14.函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2] C. [2,3] D. [3, 4]

6

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15.在 y ? 2 , y ? log 2 x, y ? x , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使 f (
x 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的函数的 )? 2 2

个数是( ) A. 0 个 B. 1个

C. 2 个

D. 3 个

16.若函数 f ( x) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( ) B.函数 f ( x) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 D.函数 f ( x) 在区间 (1,16) 内无零点

A.函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点 C.函数 f ( x) 在区间 ? 2,16 ? 内无零点
3

17.求 f ( x) ? 2 x ? x ? 1 零点的个数为 ( ) A. 1
3

B. 2

C. 3

D. 4 )

18.若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为( A. ?1 B. ?2 C. ?3 D. ?4

二、填空题
19.已知函数 f ( x) ? 3 ? x ? 5 的零点 x0 ? ? a, b ? ,且 b ? a ? 1, a , b ? N ,则 a ? b ?
x

?

20 .用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么下一个有根的区间
3





21.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为

。 ,方程 f ( x) ? 0 在 ? a , b ? 上有实根.

22.设函数 y ? f ( x) 的图象在 ? a , b ? 上连续,若满足 23.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是_____.

[来源:学#科#网]

24 . 函 数 f ( x) 对 一 切 实 数 x 都 满 足 f ( ? x) ? f ( ? x) , 并 且 方 程 f ( x) ? 0 有 三 个 实 根 , 则 这 三 个 实 根 的 和 为 。
2

1 2

1 2

25.若函数 f ( x) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? _____。

答案:

1.C,2.B3.C,4.D,5.D,6.C,7.B,8.A,9.A,10.C,11.D,12.B,13.C,14.B,15.B,16.C,17.A,18.C
25. 4_

19. 3 20. [2, 2.5) 21. 2 22. f (a) f (b) ? 0 23. 0, 2_24. 1.5

7

[键入文字]

8


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