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高一数学常考立体几何证明题及答案


1、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 A

E

B

C

2、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点, 求证:

AC // 平面 BDE 。 1 B1

D A
1

D1

C E
1

A
3、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,
?

D

B
S

求证: AD ? 面 SBC .

C

D A B C
D1 A1 D O A B B1 C1

4、已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 1

求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1

C

5、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' . 6、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. A1 E D 7、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ? 求证: BD ? 平面 ACD D1 B1 F G C C1

2 AC , ?BDC ? 90? , A B 2

8、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面

BDG .

9、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点. (1)求证: AC // 平面 BDE ; 1 (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE .

10、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.

11、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱
0

形,

侧面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB .

12、如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO ? 平面 MBD. 1

13、 如 图 2 , 在 三 棱 锥 A - BCD 中 , BC = AC , AD= BD, 作 BE⊥ CD, E 为 垂 足 , 作 AH⊥ BE 于 H . 求 证 : AH⊥ 平 面 BCD.

14.(12 分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知:如图,三棱锥 S—ABC,SC∥截面 EFGH,AB∥截面 EFGH.

求证:截面 EFGH 是平行四边形.

15.(12 分)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN=

2 a,如图. 3

(1)求证:MN∥面 BB1C1C; (2)求 MN 的长. 16.(12 分)(2009· 浙江高考)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分 别为 AE,AB 的中点.

(1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

17.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD

.

1、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 A

BC ? AC ? 证明: (1) ? ? CE ? AB AE ? BE ? AD ? BD ? 同理, ? ? DE ? AB AE ? BE ?
又∵ CE ? DE ? E ∴ AB ? 平面 CDE B

E

C

D

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC

2、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点, 求证: AC // 平面 BDE 。 1 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A AC 的中位线 ∴ EO // AC 1 1 又 EO 在平面 BDE 内, AC 在平面 BDE 外 ∴ AC // 平面 BDE 。 1 1 B
3、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,
?

A
1

D1

B1 E

C
1

A

D

C

求证: AD ? 面 SBC . 又 SA ? 面 ABC

S

证明:∵?ACB ? 90 °

? BC ? AC ? S A? B C ? BC ? 面 SAC

? B C? A D
A
D1

D B C C1
B1

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC

4、已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 1

A1 D O A

求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1

AC ? B1D1 ? O1 ,连结 AO 证明: (1)连结 AC1 ,设 1 1 1 1 ∵ ABCD ? A B1C1D1 是正方体 ? A ACC1 是平行四边形 1 1 ∴A1C1∥AC 且 AC1 ? AC 1 又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO ? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1, AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D ∴C O∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 1 1

C B

(2)? CC1 ? 面 A1B1C1D1

?C C ? B D 1 1 ! ∵AC1 ? B1D1 , ? B D ? 面 A C C 即A C? B D 1 又 1 1 1 1 1 1 1 AC ? AD1 , 又 D1B1 ? AD1 ? D1 1 同理可证

? AC ? 面 AB1D1 1
5、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

6、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. A 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. A1 E

D1 B1

C1 F

D

G B

C

从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 7、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ?

2 AC , 2

?BDC ? 90? ,求证: BD ? 平面 ACD
证明:取 CD 的中点 G ,连 结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,∴ EG

2 1 1 1 // FG ? BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? AC ,∴在 ?EFG 中, EG 2 ? FG 2 ? AC 2 ? EF 2 2 2 2 ? AC ? CD ? C ∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , ∴ BD ? 平面 ACD

// 1 ? AC

8、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥平面

BDG .
证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G

EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG

EF ? D1E ? E , 平面 D EF ∥平面 BDG ? 1
9、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.

(1)求证: AC // 平面 BDE ; 1 (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC ∥ EO 1 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC ∥平面 BDE 1 1 (2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC ,

AC ? AA1 ? A , BD ? 平面 A AC , BD ? 平面 BDE , 平面 BDE ? 平面 A AC ? ? 1 1
的中

10、 已知 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,AB ? 2 ,PA ? AD ? 4 ,E 为 BC 点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.
2 2 2 证明:在 ?ADE 中, AD ? AE ? DE ,? AE ? DE

∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ? DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 30
0

11、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且
0

平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB . 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
12、如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO ? 平面 MBD. 1 证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A A ,DB⊥AC, 1

A1 A ? AC ? A ,

∴DB⊥平面 A ACC1 ,而 AO ? 平面 A ACC1 ∴DB⊥ AO . 1 1 1 1
2 设正方体棱长为 a ,则 A1O ?

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4


A 2 在 Rt△ A1C1M 中, 1M ?

9 2 2 2 a . AO2 ? MO ? A1M , A1 O ∵ 1 ∴ O ? M 4

∵OM∩DB=O,∴ AO ⊥平面 MBD. 1

13、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF ? DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD ? BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD. 14.(12 分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知:如图,三棱锥 S—ABC,SC∥截面 EFGH,AB∥截面 EFGH. 求证:截面 EFGH 是平行四边形.

证明:

∵SC∥截面 EFGH,SC?平面 EFGH,SC?平面 ASC,且平面 ASC∩平面 EFGH=GH, ∴SC∥GH. 同理可证 SC∥EF,∴GH∥EF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 15.(12 分)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 2 a,如图. 3 同理可证 HE∥GF.

(1)求证:MN∥面 BB1C1C; (2)求 MN 的长. 解:(1)证明:作 NP⊥AB 于 P,连接 MP.NP∥BC,

∴ MN?面 MPN,∴MN∥面 BB1C1C.

AP AN A1M = = ,∴MP∥AA1∥BB1,∴面 MPN∥面 BB1C1C. AB AC A1B

2 a NP AN 3 1 1 (2) = = = ,NP= a, BC AC 3 3 2a

2 同理 MP= a. 3

又 MP∥BB1,∴MP⊥面 ABCD,MP⊥PN. 在 Rt△MPN 中 MN= 4 2 1 2 5 a + a = a. 9 9 3

16.(12 分)(2009· 浙江高考)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分 别为 AE,AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值. 解:(1)证明:因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点,所以 PQ∥EB.又 DC∥EB,因此 PQ∥DC, 又 PQ?平面 ACD,从而 PQ∥平面 ACD.

(2)如图,连接 CQ,DP,因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC,所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,所以 EB⊥平面 ABC,因此 CQ⊥EB. 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC,又 PQ= EB=DC,所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP∥CQ,因此 DP⊥平面 ABE, 2 ∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角,在 Rt△DPA 中,AD= 5,DP=1,sin∠DAP= 5 , 5

17.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD. 证明:(1)在△ABD 中, ∵E、F 分别是 AB、BD 的中点,∴EF∥AD. 又 AD?平面 ACD,EF?平面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD. (2)在△ABD 中,∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. 在△BCD 中,∵CD=CB,F 为 BD 的中点,∴CF⊥BD. ∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面 EFC, 又∵BD?平面 BCD,∴平面 EFC⊥平面 BCD.


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