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北京市海淀区2014届高三下学期查漏补缺数学(文理)试题 Word版含答案


海淀区高三年级第二学期查漏补缺题 数 学
2014.5

【容易题】{要重视基础性题目的知识覆盖度,决不能有疏漏,不能满足四套试题的题目, 而是要全面温习每一个知识条目下的各个知识点} 1.已知集合 M ? {x | x ? a} , N ? {?2,0,1} ,若 M A. a ? 0 B. a ? 0
N ? {?2,0} ,则 a 的

取值范围(



C. 0 ? a ? 1 )

D. 0 ? a ? 1

2.已知 a、b ? R , a ? bi 是虚数的充分必要条件是( A. ab ? 0 B. a ? 0 C. b ? 0 )

D. a ? 0 且 b ? 0

3.极坐标方程 ( ? ? 1)? ? 0 ( ? ? 0) 表示的曲线是( A.圆 4.参数方程 ? A.圆 B.直线

C.圆和直线 )

D. 圆和射线

? x ? cos? ( ? 为参数)表示的曲线是( ? y ? 1 ? cos?
B.直线 C.线段

D.射线

【中等题】{本组试题主要是针对四套试题考点题目,补充一些可能呈现的方式,或者是缺 少的知识条目考查,请学生注意关注} 5.已知 OA ? (a,0), OB ? (0, a), OC ? (1,2) ,其中 a ? 0 ,若 A、B、C 三点共线,则 a ? 6.已知点 A(1,0) ,点 P 在圆 C : ? . ,

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)上,则圆 C 的半径为 ? y ? 1 ? 2 sin ?

| PA | 最小值为

.
A O C
A

7.如图,圆 O 与圆 O ' 相交于 A、B 两点, AD 与 AC 分别是圆 O 与 圆 O ' 的 A 点处的切线.若 BD ? 2 BC ? 2 ,则 AB ? 若 ?CAB ? 30 ,则 ?COB ? . ,

O' B D
E

8. 如图, CD、BE 是 ?ABC 的高,且相交于点 F .若 BF ? FE , 且 FC ? 4 FD ? 4 ,则 FE ? , ?A ?
D

.
B

F C

9.已知盒子里有大小质地相同的红、黄、白球各一个,从中有放回 的抽取 9 次,每次抽一个球,则抽到黄球的次数的期望 n = 次的概率 50%(填大于或小于) ,估计抽到黄球次数恰好为 n

10.三个同学玩出拳游戏(锤子、剪刀、布) ,那么“其中两人同时赢了第三个人”的结果有

种. 11. 函数 f ( x) ? 1 ? 2sin x cos x 的值域为 ________ . 12.在 ?ABC 中, cos A ?

1 ,则 sin( A ? 45 ) ? 3

. .

13.在 ?ABC 中,若 A ? B ? 120 且 cos A ? cos B ,则 B 的范围是 14.已知 a、b ? R , “ a ? b ”是“ 2a ? 3b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 15.已知 12a ? 3b ? 2 ,则 16. 若函数 f ( x ) ? ? 是 . )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 ? ? a b

.

?ax( x ? 1),x ? 0 为奇函数,则满足 f (t ? 1) ? f (2t ) 的实数 t 的取值范围 ? x(a ? x ), x ? 0

17.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 1 ,则 an ? _______. 18.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ?1 ? 1 ,且 a1 ? 2 ,则 S 2 = _________, an ? __________.

【难题】{7,8,13,14 位置的题目,供大家在本校最后的模拟练习中选用,基础一般的学校 可忽略本组试题} 19.已知 A(1,0) ,曲线 C : y ? eax 恒过点 B ,则点 B 的坐标为 (0,1) ,若 P 是曲线 C 上的动点, 且 AB ? AP 的最小值为 2 ,则 a ? .

20.对于函数 y ? f ( x) ,若在其定义域内存在 x 0 ,使得 x0 f ( x0 ) ? 1 成立,则称函数 f ( x) 具 有性质 P. (1)下列函数中具有性质 P 的有 ① f ( x) ? ?2x ? 2 2 ② f ( x) ? sin x ( x ?[0,2? ]) ③ f ( x) ? x ?

1 , ( x ? (0, ??)) x
.

(2)若函数 f ( x) ? a ln x 具有性质 P,则实数 a 的取值范围是

2 【理】21.已知函数 f ( x) ? x sin x ,各项均不相等的有限项数列 {xn } 的各项 xi 满足 | xi |? 1 .

令 F (n) ? ? xi ? ? f ( xi ) , n ? 3 且 n ? N ,
i ?1 i ?1

n

n

例如: F (3) ? ( x 1 ? x2 ? x3 ) ? ( f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )) . 下列给出的结论中: ① 存在数列 {xn } 使得 F (n) ? 0 ; ② 如果数列 {xn } 是等差数列,则 F (n) ? 0 ; ③ 如果数列 {xn } 是等比数列,则 F (n) ? 0 ; 正确结论的序号是____.

22.已知三棱锥 P ? ABC 的侧面 PAC ? 底面 ABC , 侧棱 PA ? AB ,且 PA ? PC ? AC ? AB ? 4 . 如图 AB ? 平面 ? ,以直线 AB 为轴旋转三棱锥, 记该三棱锥在平面 ? 上的俯视图面积为 S , 则 S 的最小值是 , S 的最大值是 .

P B A

?

C

23.已知点 E、F、G 分别是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1
D1

C1

P A1

B1

、CC1、DD1 的中点,点 M、N、Q、P 分别在 的棱 AA 1
线段 DF、AG、BE、C1B1 上. 以 M、N、Q、P 为顶点 的三棱锥 P ? MNQ 的俯视图不可能是( )
G M

F E C D N A Q B

A

B

C

D

【解答题】{本组题主要是针对常规题目求解过程,突出操作背后的道理的理解,在模拟题 讲评后再次演练落实模拟试题体现的解决过程中的“灵活与变通”} 1.【理】如图,三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,
AB ? BC , AF ? AC, AF // 2CE , G 是线段 BF 上一点,
F

AB ? AF ? BC ? 2 .

G A B

E

(Ⅰ)当 GB ? GF 时,求证: EG / / 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BF ? A 的余弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG ?并说明理由.
C

2.已知曲线 C : f ( x) ? 2 xe ax ? ax2 ?1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求曲线 C 与直线 y ? 2 x ? 1 的交点个数; (Ⅲ)若 a ? 0 ,求证:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.

3.【理】已知椭圆 C 的方程为

x y2 ? ?1. 4 16

2

(Ⅰ)求椭圆 C 的长轴长及离心率; (Ⅱ)已知直线 l 过 (1, 0) ,与椭圆 C 交于 A , B 两点, M 为椭圆 C 的左顶点. 是否存在直线 l 使得 ?AMB ? 60? ?如果有,求出直线 l 的方程;如果没有,请说 明理由. 【文】 (Ⅱ)已知 M 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过 (1, 0) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点(不与 M 重合).求证: ?AMB ? 90 (或者证明 ?AMB 是钝角三角形)

4.【文】已知椭圆 C 的右焦点 F ( 2,0) ,直线 l : y ? kx ? 1 恒过椭圆短轴一个顶点 B . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若 A(0,1) 关于直线 l : y ? kx ? 1 的对称点 P (不同于点 A )在椭圆上,求出 l 的方程.

5.【理】已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 2 ,且过点 A( , ) . a 2 b2 2 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知 l : y ? kx ? 1 , 是否存在 k 使得点 A 关于 l 的对称点 B (不同于点 A )在椭圆 C 上? 若存在求出此时直线 l 的方程,若不存在说明理由.

海淀区高三年级第二学期查漏补缺题参考答案 数
2014.5
【容易题】 1.C 2.C 3.D 4.C 【中等题】 5. 3 12. 6. 2 ,2 ? 2 7. 60 14. D 8. 2 , 60 9. 3 , 小于 10. 9 11. [0, 2]



4? 2 6

13. 60 ? B ? 120 .

15.答案: 2

分析:由 12a ? 3b ? 2 得 12 ? 2 a ,3 ? 2 b ,所以 所以

1

1

1 1 ? log2 12, ? log2 3 , a b

1 1 ? ? log2 12 ? log2 3 ? log2 4 ? 2 . a b

16.答案: t ? ? 1 .

分析:由函数 f ( x) 是奇函数,可得 f (1) ? f (?1) ? 0 ,得 a ? 1 (经检验符合奇函数) , 画图可知 f ( x) 单调递增,所以 f (t ? 1) ? f (2t ) ? t ? 1 ? 2t ? t ? ?1 . 17.答案: ?2n ?1 分析:由 Sn ? 2an ? 1 可得 a1 ? 2a1 ? 1 ,解得 a1 ? ?1 , 又 n ? 1 时, Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an ?1 ,即 an ? 2an?1 , 所以 an ? ?2n?1 .

? 2 , n ? 1, 7 a ?? 18.答案: , n ? 3 n ?1 ( ) ,n ?1 2 ? ? 2
分析:由 Sn ? 2an ?1 ? 1 可得 a1 ? 2a2 ? 1 ,解得 a2 ?

3 7 3 , S2 ? 2 ? ? . 2 2 2 3 又 n ? 1 时, Sn ? Sn?1 ? 2an?1 ? 2an ,即 an?1 ? an , 2
? 2 , n ? 1, ? 所以 an ? ? 3 n ?1 . ( ) ,n ?1 ? ? 2

【偏难题】 19.答案: 1

.

分析:因为 e0 ? 1 所以 B(0,1) ; 考察 AB ? AP 的几何意义,因为 | AB |? 2 ,所以 AB ? AP 取得最小时, 点 P 在 AB 上的投影长应是 2 ,所以 P, B 重合, 这说明曲线 C : y ? eax 在点 B(0,1) 处的切线与 AB 垂直, 所以 y '
x?0

? aeax

x?0

? a ?1 .

20.答案(1) ① ② , (2) a ? 0或a ? ?e . 分析: (1)在 x ? 0 时 f ( x) ?

1 有解即函数具有性质 P, x 1 ① 解方程 ?2 x ? 2 2 = ,有一个非 0 实根; x
② 作图可知; ③ 作图或解方程均可.

(2) f ( x) ? a ln x 具有性质 P,显然 a ? 0 ,方程 x ln x ?

1 有根, a

因为 g ( x) ? x ln x 的值域为 [? , ??) ,所以 解之可得 a ? 0 或 a ? ?e . 【理】21.答案:__① ③__. 分析:可得 f ( x) ? x2 sin x 是奇函数,

1 e

1 1 ?? , a e

只需考查 0 ? x ? 1 时的性质,此时 y ? x2 , y ? sin x 都是增函数, 可得 f ( x) ? x2 sin x 在 [0,1] 上递增, 所以 f ( x) ? x2 sin x 在 [ ?1,1] 上单调递增。 若 x1 ? x2 ? 0 ,则 x1 ? ? x2 ,所以 f ( x1 ) ? f (? x2 ) , 即 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 同理若 x1 ? x2 ? 0 ,可得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 0 时, ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 . ① 显然是对的,只需 {xn } 满足 x1 ? x2 ? ② 显然是错的,若 x1 ? x2 ?
? xn ? 0

? xn ? 0 , F (n) ? 0

③ 数列 {xn } 是等比数列,各项符号一致的情况显然符合; 若各项符号不一致,公比 q ? 0 , 若 n 是偶数, ( x2i ?1 ? x2i ) ? x1q2i ?2 (1 ? q), i ? 1,2,

n , 符号一致, 2

又 ( x2i ?1 ? x2i ),[ f ( x2i ?1 ) ? f ( x2i )] 符号一致, 所以符合 F (n) ? 0 ; 若 n 是奇数,可证明“ ( x2i ?1 ? x2i ) ? x1q2i ?2 (1 ? q), i ? 1,2, 和 xn ? x1qn?1 符号一致” 或者“ ( x2i ? x2i ?1 ) ? x1q2i ?1 (1 ? q), i ? 1,2, 和 x1 符号一致” , 同理可证符合 F (n) ? 0 ; 22.答案: 4 3 , 8 . 分析:因为侧面 PAC ? 底面 ABC , 所以旋转过程中等边 ?PAC 在底面上的射

,

n ?1 2

,

n ?1 2

P B A

?

C

影总在侧面 PAC 与平面 ? 的交线 l 上,且长度范围是 [2 3, 4],由已知可推证

AB ? l ,
所以 S 最小值为 4 3 ,最大值为 8 . 23.答案: C 分析:在底面 ABCD 上考察,

P、M、N、Q 四点在俯视图中它们分别在 BC 、CD、DA 、AB 上,
先考察形状,再考察俯视图中的实虚线,可判断 C 不可能! 因为正三角形且当中无虚线,说明有两个顶点投到底面上重合了, 只能是 Q、N 投射到点 A 或者 M、N 投射到点 D , 此时俯视图不可能是正三角形。

【解答题】 1.解: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连接 GD, CD , 又 GB ? GF ,所以 AF // 2GD . 因为 AF // 2CE ,所以 GD //CE ,四边形 GDCE 是平行四边形, 所以 CD // EG 因为 EG ? 平面 ABC , CD ? 平面 ABC 所以 EG // 平面 ABC . (Ⅱ)因为平面 ABC ? 平面 ACEF ,平面 ABC 且 AF ? AC ,所以 AF ? 平面 ABC , 所以 AF ? AB , AF ? BC 因为 BC ? AB ,所以 BC ? 平面 ABF . 如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 F (0,0,2), B(2,0,0), C (2,2,0), E (2,2,1) ,
B x G A E y C

平面 ACEF = AC ,
z F

BC ? (0,2,0) 是平面 ABF 的一个法向量.

设平面 BEF 的法向量 n ? ( x, y , z ) ,则

? ? 2 y ? z ? 0, ? n ? BE ? 0, ,即 ? ? ? ?2 x ? 2 z ? 0. ? ?n ? BF ? 0.

, x ?2 ? , 令 y ? 1, 则 z ? ?2 所以 n ? (?2,1, ?2) , 所以 cos ? n, BC ??

n ? BC 1 ? , | n || BC | 3

由题知二面角 E ? BF ? A 为钝角,所以二面角 E ? BF ? A 的余弦值为 ? . (Ⅲ)因为 BF ? AE ? (?2,0,2)(2,2,1) ? ?2 ? 0 ,所以 BF 与 AE 不垂直, 所以不存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG . 2.解: (Ⅰ) f (0) ? ?1 , 因为 f '( x) ? (2ax ? 2)eax ? 2ax ,所以 f '(0) ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线为 y ? 2 x ? 1 . (Ⅱ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? 2 xe? x ? x 2 ? 1 曲线 C 与直线 y ? 2 x ? 1 的交点个数与方程 x(2e? x ? x ? 2) ? 0 的解的个数相同,

1 3

x ? 0 显然是该方程的一个解.
令 g ( x) ? 2e? x ? x ? 2 ,则 g '( x) ? ?2e? x ? 1 由 g '( x) ? 0 得 x ? ln 2 因为 x ? ln 2 时 g '( x) ? 0 , x ? ln 2 时 g '( x) ? 0 所以 g ( x) 在 ( ??,ln 2) 上单调递减,在 (ln 2, ??) 上单调递增 所以 g ( x) 最小值为 g (ln 2) ? ln 2 ? 1 , 因为 ln 2 ? ln e ? 1 ,所以 g (ln 2) ? 0 , 因为 g (0) ? 0 , g (2) ? 2e?2 ? 0 , 所以 g ( x) 的零点一个是 0,一个大于 ln 2 , 所以两曲线有两个交点. (Ⅲ) f '( x) ? 2[(ax ? 1)eax ? ax] 因为 a ? 0 ,所以当 x ? 0 时, ax ? 0 ,所以 ax ? 1 ? 1,eax ? 1 所以 f '( x) ? 2[(ax ? 1)eax ? ax] ? 2[(ax ? 1) ? ax] ? 2 ? 0

所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.

3.解: (Ⅰ)由方程

x y2 ? ? 1 可知 a ? 4, b ? 2 4 16

2

所以长轴长为 8,且 c 2 ? a 2 ? b2 ? 12 所以离心率

3 . 2

(Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时, A(1, 2 3), B(1, ?2 3)

MA ? MB ? ?3
(2) 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 Ax ( , y, )Bx ( ,y 1 1 2)
? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得: (4 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 16 ? 0 ?1 ? ? ? 4 16
? 2k 2 x1 ? x2 ? ? ? 4 ? k2 ? 2 ? x x ? k ? 16 ? 1 2 4 ? k2 ?
2

,

MA ? MB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k ( x1 -1)k ( x2 ? 1)

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2

?3k 2 ? ?0 4 ? k2
综上, MA ? MB ? 0 恒成立, ? AMB 为钝角 所以,不存在直线 l 使得 ?AMB ? 60? (文科答案略) 4.解: (Ⅰ)因为 ?1 ? k ? 0 ? 1 ,所以直线 l : y ? kx ? 1 恒过 (0, ?1) ,即 B(0, ?1) 设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知可得 c ? 2, b ? 1 ,所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 3

(Ⅱ)法 1:当 k ? 0 时,直线 l : y ? ?1 ,点 B(0, ?3) 不在椭圆上;

当 k ? 0 时,可设 AP : x ? ?ky ? m ,代入椭圆方程

x2 ? y 2 ? 1 化简得 3

(k 2 ? 3) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 3 ? 0 ,
2k 2 m 6m 2km x ? x ? ? ? 2m ? 2 ,所以 A P 2 2 k ?3 k ?3 k ?3 3m km , 2 ) 在直线 y ? kx ? 1 上 若 A, P 关于直线 l 对称,则其中点 ( 2 k ?3 k ?3 km 3km ? 2 ? 1 ,即 2km ? k 2 ? 3 所以 2 k ?3 k ?3

yA ? yP ?

又 A(0,1) 在直线 AB : x ? ?ky ? m 上,所以 m ? k , 消 m 得 k 2 ? 3 ,解得 k ? ? 3 , 所以存在直线 y ? 3x ? 1 或 y ? ? 3x ? 1 符合题意. 法 2:设 A(0,1) 关于直线 l : y ? kx ? 1 的对称点 P( x0 , y0 ) 因为直线 l : y ? kx ? 1 恒过点 B , 所以 | BA |?| BP | , 所以 x02 ? ( y0 ? 1)2 ? 4 ① 又

x0 2 ? y0 2 ? 1 ② 3

?x ? ? 3 ? x0 ? 0 ? ?x ? 3 ? 联立①②解得 ? 或? 0 或? 0 ? y0 ? 1 ? ? ? y0 ? 0 ? y0 ? 0
因为 P 不同于点 A ,所以 P( 3,0) 或 P(? 3,0) , 所以存在直线 y ? 3x ? 1 或 y ? ? 3x ? 1 符合题意. 5.解: (Ⅰ)

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)法 1:当 k ? 0 时,直线 l : y ? ?1 ,点 B( , ? ) 不在椭圆上;

3 5 2 2 1 3 1 当 k ? 0 时,可设直线 AB : y ? ? ( x ? ) ? ,即 2 x ? 2ky ? 3 ? k ? 0 k 2 2 2 x ? y 2 ? 1 整理得 (4k 2 ? 12) y 2 ? 4k (k ? 3) y ? (k ? 3)2 ? 12 ? 0 代入 3 4k ( k ? 3) 因为 y1 ? y2 ? , 4k 2 ? 12
所以 x1 ? x2 ? (k ? 3) ? (ky1 ? ky2 ) ? k ? 3 ?

4k 2 (k ? 3) 12(k ? 3) ? 2 4k 2 ? 12 4k ? 12

若 A, B 关于直线 l 对称,

6( k ? 3) 2k ( k ? 3) , ) 在直线 y ? kx ? 1 上 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 2k ( k ? 3) 6k ( k ? 3) ? ? 1 ,解得 k ? 1 所以 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12
则其中点 ( 因为此时点 A( , ) 在直线 l 上, 所以对称点 B 与点 A 重合,不合题意 所以不存在 k 满足条件. 法 2:设 AB : x ? ?ky ? m ,代入椭圆方程

3 1 2 2

x2 ? y 2 ? 1 化简得 3

(k 2 ? 3) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 3 ? 0 ,
2k 2 m 6m 2km x ? x ? ? ? 2m ? 2 ,所以 A B 2 2 k ?3 k ?3 k ?3 3m km , 2 ) 在直线 y ? kx ? 1 上, 若 A, B 关于直线 l 对称,则其中点 ( 2 k ?3 k ?3 km 3km ? ? 1 ,即 2km ? k 2 ? 3 . 所以 2 k ? 3 k2 ? 3 3 1 又 A( , ) 在直线 AB : x ? ?ky ? m 上, 2 2

y A ? yB ?

所以 2m ? k ? 3 , 消 m 得 (3 ? k )k ? k 2 ? 3 ,所以 k ? 1 因为此时点 A( , ) 在直线 l 上, 所以对称点 B 与点 A 重合,不合题意, 所以不存在 k 满足条件. 法 3:由 l : y ? kx ? 1 可知直线 l 恒过点 P(0, ?1) , 设点 A 关于 l 的对称点 B 坐标为 ( x0 , y0 ) , 因为点 A , B 关于 l 对称,所以 | PA |?| PB |

3 1 2 2

9 ① 2 x2 又 B 在椭圆上,所以 0 ? y0 2 ? 1 ② 3 3 ? 3 ? x0 ? x0 ? ? ? ? ? 2 2 或? 联立①②解得 ? ? 1 1 ? y ? ?y ? 0 0 ? 2 2 ? ? ?
所以 x02 ? ( y0 ? 1)2 ?

3 1 2 2 3 1 因为 B(? , ) 与 A 关于 x ? 0 对称 2 2
因为 B( , ) 与 A 点重合,舍, 所以不存在 k 满足条件.


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