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上海2013届高三虹口二模数学-文


虹口区 2013 年数学学科高考练习题(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、函数 f ( x) ? (2k ? 1) x ? 1 在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是 . 2013.4

(1 ? i ) 3 2、已知复数 z ? ,则 z ? 1? i
3、已知





cos? sin ?

sin ? cos ?

?

1 ,则 cos 2(? ? ? ) ? 3



4、设 (1 ? 2 x) n 展开式中二项式系数之和为 a n ,各项系数之和为 bn ,则 lim

n ??

a n ? bn ? a n ? bn



5、已知双曲线与椭圆 则此双曲线方程为

x2 y2 1 ? ? 1 有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ? x , 16 6 2
. . .

6、如果 log a 4b ? ?1 ,则 a ? b 的最小值为 7、数列 ?a n ?的通项 a n ? n ? sin 8、设 F1 、 F2 是椭圆

n? ,前 n 项和为 S n ,则 S13 ? 2

x2 ? ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ?F1 PF2 ? , 4 2


则 ?F1 PF2 的面积等于

1 9、从集合 ? ,
概率是

2, 3?的所有非空子集中,等可能地取出一个,所取出的子集中含数字 1 的
. . .

2 10、对于 x ? R ,不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a ? 2a 恒成立,则实数 a 的取值范围是

11、在 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ? 2 , ( AB ? AC ) ? AB ? 2 ,则 ?ABC 面积等于 12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积 最大值等于 .

13、设 a n ? log n ?1 (n ? 2) (n ? N ? ) ,称 a1 a 2 a3 ? a k 为整数的 k 为“希望数” ,则在 (1,
所有“希望数”的个数为

2013 ) 内


-1-

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14、已知函数 f ( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合, 2 x 2 ? ax ? 2a


如果对于定义域内的任意实数 x ,函数值均为正,则实数 a 的取值范围是
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

?x ? y ? 5 ? 15、已知不等式组 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 f ? x ? 2 y 的最大值是( ?y ? 0 ?



A. 1

B. 5

C. 7

D. 8
)条.

16、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中与异面直线 AB , CC1 均垂直的棱有(

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.
1 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记 2


17、已知函数 y ? 2 sin(x ?

?
2

) cos(x ?

?
2

) 与直线 y ?

为 M 1 , M 2 , M 3 ,??,则 M 1 M 13 等于(

A. 6?
18、若 ?

B. 7?
?? ?

C. 12?

D. 13?

?
2

?
2

,?

?
2

?? ?

?
2

, m ? R ,如果有 ? 3 ? sin ? ? m ? 0 , ? ? 3 ? sin ? ? m ? 0 ,

则 cos( ? ? ) 值为( ?

) .

A. ? 1

B. 0

C.

1 2

D. 1

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分) 如图,PA ? 平面 ABCD ,PA ? 1 , 矩形 ABCD 的边长 AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)求异面直线 PE 与 AB 所成的角的大小; (2)求四棱锥 P ? ABED 的侧面积. 20、 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为
B

P

A

D

E

C

a , b , c ,向量 m ? (2 sin B, 2 cos B) , n ? ( 3 cos B, ? cos B) ,且 m ? n ? 1 .
(1)求角 B ; (2)若 a , b , c 成等差数列,且 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

-2-

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21、 (本题满分 14 分)已知复数 z n ? a n ? bn ? i ,其中 a n ? R , bn ? R , n ? N ? , i 是虚数单位,且

z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式; (2)求和:① z1 ? z 2 ? ? ? z n ;② a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn .

22、 (本题满分 16 分)已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 ,
2

y1 ) 、

B( x 2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线 l 过点 M (? p,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记 N ( p,

0) ,如果直线 l 过点 M (? p, 0) ,设线段 AB 的中点为 P ,线段 PN 的中点为 Q .

问是否存在一条直线和一个定点,使得点 Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点; 若不存在,请说明理由.

23、 (本题满分 18 分)定义域为 D 的函数 f (x) ,如果对于区间 I 内 ( I ? D) 的任意两个数 x1 、 x 2 都有

f(

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数” . 2 2
2

(1)判断函数 f ( x) ? ? x 在 R 上是否是“凸函数” ,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x) ? x 2 ? (3)对于区间 [c,

a 在区间 [1, 2] 上是“凸函数” ,求实数 a 的取值范围; x
n

d ] 上的“凸函数” f (x) ,在 [c, d ] 上的任取 x1 , x 2 , x 3 ,??, x 2 ,证明:
)? 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x2n )] . 2n

f(

x1 ? x2 ? ? ? x2n 2
n

-3-

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虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(文)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (? ?, 6、1;

1 ); 2
7、7;

2、2;

3、 ?

7 ; 9
4 ; 7

4、 ? 1; 10、 [? 1, 3] ;

5、

x2 y2 ? ? 1; 8 2

8、1;

9、

11、

3 ; 2

12、

2 2 ; 3

13、9;

14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 C ; 16、 D ; 17、 A ; 18、 D ;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)取 AD 的中点 F ,连 EF 、 PF .
P

? EF // AB ,? ?PEF 的大小等于异面直线 PE 与 AB 所成的角
或其补角的大小.??2 分 由 PA ? 1 , AB ? BE ? 1 , PA ? 平面 ABCD, ABCD 是矩形, 得 EF ? 1 , AE ?
A F D

2 , PF ? 2 , PE ? 3 , ?
? 3 .??????5 分 3

B

E

C

cos ?PEF ?

3 ?1? 2 2 3

?异面直线 PE 与 AB 所成的角的大小等于 arccos

3 .??????6 分 3

(2)? PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 , AB ? 1 , AD ? 1 , S ?PAB ?

1 , S ?PAD ? 1 . 2
2 . 2

? PA ? BE , BE ? AB ,? BE ? 平面 PAB ,? BE ? PB , PB ? 2 , S ?PBE ?
??????????9 分 连 AE , 由 AB ? BE ? 1 , 得 AE ?

2 , 同 理 DE ? 2 , PE ? PA2 ? AE 2 ? 3 , 又
6 .? 2

PD ? PA2 ? AD 2 ? 5 ? PE 2 ? DE 2 ? PD 2 ,由勾股定理逆定理得 ?AED ? 90? ,? S ?PED ?
3? 2 ? 6 .??????12 分 2
-4-

四棱锥 P ? ABED 的侧面积为

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20 、 14 分 ) 解 : 1 ) ? m ? n ? 1 , ? 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos B ? 1 , ( (
2

3 sin 2B ? cos 2B ? 2 ,

sin(2 B ?

?
6

) ? 1 ,????????5 分

又 0 ? B ? ? ,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

11? ? ? ? ,? 2 B ? ? ,? B ? ??????7 分 6 6 2 3

(2)? b ? 2 , 2b ? a ? c ,? a ? c ? 4 . 又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ,? 4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos

?
3

,即 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ??10 分

将 a ? c ? 4 代入得 a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ,得 a ? 2 ,从而 c ? 2 ,三角形为等边三角形.??12 分

? S? ?

1 ac sin B ? 3 .??????14 分 2

21、 (14 分)解: (1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 . 由

z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i



an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3a n ? (bn ? 2) ? i



?

?a n ?1 ? 3a n ??????3 分 ? ?bn ?1 ? bn ? 2
数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数列, a n ? 3 n ?1 , ?数列 ?a n ?是以 1 为首项公比为 3 的等比数列, ?

bn ? 2n ? 1 .????????6 分
(2)由(1)知 a n ? 3 n ?1 , bn ? 2n ? 1 . ① z1 ? z 2 ? ? ? z n ? (a1 ? a 2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? i ?

1 n (3 ? 1) ? n 2 ? i .??10 分 2
(Ⅰ)

②令 S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn , S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 2 ? 5 ? ? ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) 将(Ⅰ)式两边乘以 3 得 3S n ? 3 ? 1 ? 3 2 ? 3 ? 33 ? 5 ? ? ? 3 n ? (2n ? 1) (Ⅱ)

2 3 n ?1 n 将(Ⅰ)减(Ⅱ)得 ? 2S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? (2n ? 1) .

? 2S n ? ?2 ? 3n (?2n ? 2) , S n ? (n ? 1) ? 3n ? 1 .????????14 分

22、 (16 分)解: (1) l 过点 M (? p,

0) 与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设 l : y ? k ( x ? p) ,

-5-

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其 中 k ? 0 ( 若 k ? 0 时 不 合 题 意 ), 由 ?

? y ? k ( x ? p) ? y ? 2 px
2

得 k ? y ? 2 py ? 2 p k ? 0 , ?
2 2

y1 ? y 2 ? 2 p 2 .??????4 分
注:本题可设 l : x ? my ? p ,以下同. (2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意) . 由?

?y ? kx? b ? y ? 2 px
2

得 ky ? 2 py ? 2 pb ? 0 .
2

? y1 y 2 ?

2 pb k ? ? p ,从而 b ? ? .??????6 分 k 2
1 ? k 1 ? x0 ? y0 ) ,则 y 0 ? kx0 ? b ,从而 y 0 ? kx0 ? ,得 ( x0 ? )k ? y 0 ? 0 ,即 ? 2, 2 2 ? y0 ? 0 ?

假设直线 l 过定点 ( x0 ,

即过定点 ( ,

1 2

0) .??????8 分

2 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x0 , 代 入 y ? 2 px 得 y 2 ? 2 px0 , y ? ? 2 px0 ,

? y1 y 2 ? 2 px0 ? (? 2 px0 ) ? ?2 px0 ? ? p ,从而 x0 ?
综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,

1 1 1 ,即 l : x ? ,也过 ( , 0) . 2 2 2

1 2

0) .??????10 分 1 p ( y1 ? y 2 ) ? , 代 入 2 k

( 3 ) 依 题 意 直 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 为 零 , 由 ( 1 ) 得 点 P 的 纵 坐 标 为 yP ?

l : y ? k ( x ? p) 得 x P ?

p p ? p ,即 P( 2 ? p, 2 k k

p ) .????12 分 k

设 Q( x,

1 p ? ? x ? 2 ( k 2 ? p ? p) p ? y) ,则 ? 消 k 得 y 2 ? x ????14 分 2 ?y ? 1 ? p ? 2 k ?
p p ,点 ( , 0) ,点 Q 到它们的距离相等.????16 分 8 8

由抛物线的定义知存在直线 x ? ?

23、 (18 分)解: (1)设 x1 , x 2 是任意两个实数,则有

f(

x1 ? x2 x ? x2 2 1 1 1 2 2 ) ? ?( 1 ) ? (? x12 ? 2 x1 x2 ? x2 ) ? (? x12 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] . 2 2 4 2 2

.??????4 分 ?函数 f ( x) ? ? x 2 在 R 是“凸函数”

-6-

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( 2 ) 若 对 于 [1,

2] 上 的 任 意 两 个 数 x1 , x 2 , 均 有 f (

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 成 立 , 即 2 2

(

x1 ? x 2 2 a 1 a a 1 2 ) ? ? [( x12 ? ) ? ( x2 ? )] ,整理得 ( x1 ? x2 ) 2 a ? ? ( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 2 2 x1 x2 2 2

????????7 分 若 x1 ? x2 , a 可以取任意值. 若 x1 ? x2 ,得 a ? ?

1 1 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ? ?1 ,? a ? ?8 . 2 2

综上所述得 a ? ?8 .??????10 分 (3)当 k ? 1 时由已知得 f (

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 成立. 2 2
x1 ? x 2 ? ? ? x 2 k 2
m ?1

假设当 k ? m (m ? N ) 时,不等式成立即 f (

?

)?

1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 m )] 成立. 2m

那么,由 c ?

x1 ? x 2 ? ? ? x 2 m 2m

? d ,c ?

x 2m ?1 ? x 2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m 2m

?d

得 f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m ?1 2
m ?1

1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2m x 2m ?1 ? x 2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m ) ? f{ [ ? ]} 2 2m 2m

x1 ? x 2 ? ? ? x2m x m ? x2m ? 2 ? ? ? x2m ? 2m 1 ? [f( ) ? f ( 2 ?1 )] m 2 2 2m
1 1 1 ? { m [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x2m )] ? m [ f ( x2m ?1 ) ? f ( x2m ? 2 ) ? ? ? f ( x2m ?1 )]} 2 2 2 1 ? m?1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2m ?1 )] . 2
即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.??????18 分

-7-

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