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概率1.2


§1.2 随机事件的概率及其性质
研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件,更重 要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是事件的概率.

概率是随机事件 发生可能性大小 的度量

事件发生的可能 性越大,概率就 越大!

历史上概率的三次定义

① 古典定义

概率的

最初定义

② 统计定义
③ 公理化定义

基于频率的定义

于1933年由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

一、概率的统计定义
1. 频率
定义1.2.1 在相同的条件下,重复进行 n 次试验,随机事件A在 n 次试验中发生的次数 nA 称为事件A发生的频数, 比值

nA n

称为事件A的频率,

f n ( A), 记为



nA f n ( A) ? n

例如 掷骰子100次,“1点”出现20次,它与试验总次 数之比为0.2,即 20 f n ? A? ? ? 0 .2 . 100

频率具有下列性质:
非负性: 对任意随机事件A,有
规范性:

0 ? f n ? A? ? 1 ;

f n ??? ? 1 ;


有限可加性:

A1 , A2 ,?, An
n

是一组两两互不相容的事件,则有

f n ? A1 ? A2 ? ? ? An ? ? ? f n ? Ai ?.
i ?1

抛硬币试验
试验者 迪摩根 浦 丰

n
2048 4040

nH
1061 2048

频率 f n ( H ) 0.5158 0.5069

f n ( H ) ? 0.5
0.0181 0.0069

费 勒
皮尔逊 皮尔逊

10000
12000 24000 30000

4979
6019 12012 14994

0.4979
0.5016 0.5005 0.4998

0.0021
0.0016 0.0005 0.0002

维 尼

2. 概率的统计定义
定义1.2.2 事件A发生的频率 f n ( A) 在某常数 p 附近摆动,且 n越 大,摆动幅度越小,称常数 p为事件A的概率,记作

P ? A?,



P? A? ? p.

因此,在实际应用中,当重复试验的次数较大时,可用 事件的频率作为概率的近似值.



p ? P? A? ? f n ? A?.

注意:频率与概率的区别和联系:
(1)频率是概率的近似值,随着实验次数的增加,频 率会稳定在概率附近; (2)频率本身是随机的,在实验前不能确定;

(3)概率是先于试验而客观存在的理论值,是客观存 在的,与每次实验无关。

例1 抽查某厂的某一产品100件,发现有5件次 品,则次品(事件A)的概率为 统计概率具有下列性质: 非负性: 对任意随机事件A,有

5 P ? A? ? ? 5% 100

规范性:

P?? ? ? 1;


0 ? P? A? ? 1;

有限可加性: 互不相容的事件,则有

A1 , A2 ,?, An 是一组两两
?? ? n P? ? ? Ai ? ? ? ? P? Ai ?. ? i ?1 ? i ?1

概率统计定义的价值与缺陷
概率的统计定义的价值在于提供了一种估计概率的方法,即用 试验次数 N 较大的时候得到的频率作为概率的估计。

概率的统计定义的缺点

1、不严密 试验怎么做都得不到那个我们并不知晓的“确定数值” (概率) 2、不现实 有些试验是不能够大量重复做的(自然现象)且代价 大。

二、概率的古典定义
两个试验:

E1: 掷一颗均匀的骰子,观察出现的点数,基本事件共6个,且每
一个基本事件出现的可能性是相等的.

E2: 一个袋中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1—10,
基本事件共10个. 从中任取一球,每个球被取出的机会是相等的,

均为

1 10

上述两个试验都有以下特点:
有限性: 等可能性: 试验的基本事件总数有限; 每次试验中,各个基本事件出现的可能 性相同,且任何两个基本事件不可能同 时发生.

在概率论中,把具有上述两个特点的试验称为古典 型试验,可通过定义直接计算其事件的概率.

定义1.2.3(概率的古典定义)
古典型试验由n个基本事件组成,事件 A 包含 k 个基本 事件组成,则事件 A 的概率为:

k P ? A? ? n

A中包含的基本事件数 ? ?中包含的基本事件数

说明

(1) 古典概型的判断方法(有限性 、等可能性); (2) 古典概率的计算:
①弄清试验与基本事件;

②数清样本空间中基本事件数与随机事件中的基本事件数; ③列出比式进行计算.

(3) 古典概率也满足非负性、规范性、有限可加性 三个性质.

三、排列组合
1. 加法原理与乘法原理 例 2 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.一天中 火车有4个班次,轮船有2个班次,那么,从甲地到乙地有几种 不同的走法.
分析: 甲地 乘轮船2种 乘火车4种 乙地

所以从甲地到乙地的走法一共有4+2=6种.

分类加法原理:
完成某件事有n类方式,第一类方式中有

M1 种

方法,第二类方式中有 M 2 种方法,……,第 n 类
方式中有

Mn

种方法,则完成这件事共有

M1 ? M 2 ?
种不同的方法. 加法原理的特点是:

? Mn

完成某件事只需选择(多类方式中的)一类方式中的一种即可,即 “一步到位”.

例3 从甲地到丙地要经过乙地,从甲地到乙地有2条路线, 从乙地到丙地有3条路线,问从甲地经乙地到丙地有几条不同 的路线.
分析:







从甲地经乙地到丙地要分两个步骤才能完成: ) 第一步,从甲到乙有2条线路可供选择; 第二步,从乙到丙有3条线路可供选择.

所以,从甲地经乙地到丙地的所有不同路线有2×3=6(条).

分步乘法原理: 完成某件事要分成有n个步骤,第一步共有

M1

种方法,第二步共有
共有

M2

种方法,……,第 n 步

Mn

种方法,依次完成n个步骤后才能完成此件

事,那么完成这件事有 M1 ? M 2 乘法原理的特点是:

Mn

种不同的方法.

完成某件事需要通过若干步骤的组合才 行,即“多步到位”.

2 . 排列与组合
(1) 排列

从n个不同元素中,每次取出 m(1≤ m ≤ n)个元素,按一 定的顺序排成一列,叫做从 n 个元素里每次取出 m 个元素 的一个排列. . 若n>m,叫做选排列;若n=m,叫做全排列. 注:排列与元素的顺序有关.
求排列的基本公式: 从 n个不同的元素中任取m个排成一列没有 重复的排列,记为 m

An

A ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) n An ? n(n ?1)(n ? 2)?2 ?1 ? n! 特别当 n=m 时,
m n

规定0!=1.

(2) 组合
从n个不同元素中,每次任取 m(1≤ m ≤ n)个元素,不管 怎样的顺序合并成一组,叫做从 n 个不同元素中每次取出 m 个元素的组合. 记作 C m
n

A n(n ? 1)? (n ? m ? 1) C ? ? m! m! n! ? m!(n ? m)!
m n
规定

m n

C ? C ?1
n n 0 n

性质

C ?C
m n

n?m n

四. 古典概型的基本模型1:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球 ,n个黑球的概率? 解 设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球} 样本点总数为 C
m?n M ?N
m n C C A 所包含的样本点个数为 M N

? P ( A) ? C C / C
m M n N

m?n M ?N

(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A ? {前2次摸到黑球, 第三次摸到红球 }

第3次摸到红球 4种

1次摸到黑球 6种 第2

第3 2 1次摸球

10种

四.古典概型的基本模型2:球放入杯子模型
(1)杯子容量不限制 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3 3 3 3

4个球放到3个杯子的所有放法 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 34 种,

????? ????? ?

C

2 4

2 C2

2个

2个

因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

p?C C
2 4

2 2

3

4

2 ? . 27

(2) 每个杯子只能放一个球

问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率 . 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 4 ? 3 ? 2 ?1 A4 p? 4 ? A10 10 ? 9 ? 8 ? 7

1 ? . 210

例4 某批产品一共有100件,次品5件,从中任取3件,求取到恰有1 件次品的概率? 解:

设 A ? {任取3件中恰有一件次品 }
3 则 基本事件总数 n ? C100 ? 161700

2 1 事件A所包含的基本事件个数 k ? C95 ? C5 ? 22325

k 22325 ? P ( A) ? ? ? 0.138 n 161700

例5 将n个球随机放入N个盒子中,每个球放入各盒 是等可能的,试求下列事件的概率。(设盒子的容量 是不限的) (1)A=“指定n个盒子各含一个球”; (2)B=“每个盒子至多一个球”;
解 先求样本空间中所含样本点的个数。 n 首先,把 n 个球随机放入N个盒子共有N 种分法, 其次,求每种情形下事件所含的样本点个数。

五、概率的几何定义

如果试验的所有可能结果为无限多个,每个试验 结果出现的可能性相等,古典定义就不适用,这时 可借助于几何上的度量 (比如面积,长度) 来合理地 规定的概率,称为概率的几何概型.
几何概型的特点: 有限区域、无限样本点; 等可能性.

定义1.2.4 概率的几何定义(几何概率)
在几何概型试验中,设样本空间为 ? ,事件 则事件A发生的概率为

A ? ?,

m( A) A的几何度量 P ? A? ? ? , m(?) ?的几何度量
其中,几何度量指长度、面积、体积等.

注意:几何概率满足非负性、规范性、可 列可加性

例6 两个人约定于上午8点到9点之间在某地见面,并约定 先到者等候另一个人30分钟后就可以离开,求这两个人能 见面的概率。


设 x(分钟), y(分钟) 分别表示两人到达时刻,

0 ? x ? 60, 0 ? y ? 60,
则x, y构成边长为T的正方形. 样本空间可表示为

? ? {( x, y) | 0 ? x ? 60, 0 ? y ? 60}, 两人能会见的事件 A ? {( x, y) || x ? y |? 30},
A为图中阴影面积,

y

60

m( A) 602 ? ?60 ? 30?2 3 30 A ? P( A) ? ? ? . 2 m(?) 60 4 0 30

60 x

六、 概率的公理化定义
1. 定义1.2.5 设随机试验E的样本空间为 ?
, 对试验

E的任一随机事件A,定义实值函数P(A),若它满足以下三 个公理:
非负性:
规范性: 可列可加性:

P? A? ? 0; P?? ? ? 1;
对两两互不相容的事件

A1 , A2 ,?,



?? ? ? P? ? ? Ai ? ? ? ? P? Ai ?, ? i ?1 ? i ?1

则称P(A)为事件A的概率.

2. 概率的性质 性质 1 不可能事件的概率为0,即

P?? ? ? 0.

反之是否成立呢?即概率为0的事件一定不可能发生 吗?

概率为1的事件一定发生吗?

性质 2 (有限可加性)
若事件

A1 , A2 ,?, An 两两互不相容,则
? n ? n P? ? ? Ai ? ? ? ? P? Ai ? . ? i ?1 ? i ?1



?

?A ? A ? A
i ?1 i 1

n

2

? ? ? ? ? ? ? ?,

由可列可加性及性质1得

? n ? n P? ? ? Ai ? ? ? ? P? Ai ? . ? i ?1 ? i ?1

性质3 减法公式和概论的单调性 设A、B是两个事件,若 则 有
A? B ,

P ( B ? A) ? P ( B) ? P ( A)

P( B) ? P( A)
P( B) ? P( A ? ( B ? A))
由可加性 移项得

? P( A) ? P( B ? A)

P( B ? A) ? P( B) ? P( A)

A ? ( B ? A) ? ?

再由

P ( B) ? P ( A)

注意:
? 对任意两个事件A, B, 有

P( B ? A) ? P( B) ? P( AB)
A AB B - ABB

B=AB+(B – A) P(B)=P(AB)+

P(B – AB)

性质4

对与任意一个事件A,有

P ( A) ? 1
性质5 逆事件公式 对任一事件A ,有

P ( A ) ? 1 ? P ( A)



A

?

注意: 性质5在概率的计算上很有用,如果 正面计算事件A的概率不容易,而计算其 对立事件A 的概率较易时,可以先计算 P ( A ) ,再计算P(A).

P( A) ? 1 ? P( A )

性质4 广义加法公式

对任意两个事件A、B,有
P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) ? P ( AB)

P ( A ? B) ? P ( A ? ( B ? AB)) ? P ( A) ? P ( B ? AB)

又因

A ? ( B ? AB) ? ?

再由性质 3得证 .

推广: P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P ( ABC ) 一般:
P(? Ai ) ? ? P( Ai ) ?
i ?1 i ?1 n n 1?i ? j ?n

? P( Ai Aj )
n ?1

?

?

1?i ? j ? k ? n

? P( Ai Aj Ak ) ? ? ? (?1)
右端共有 2 n

n

P( A1 A2 ? An )

? 1 项.

例 7 设A,B是互不相容的事件,已知 P ( A) ? 0.4

P( B) ? 0.5


P ( A), P ( A ? B ), P ( A B ), P ( A B ), P ( A ? B )

例8 设事件A、B互不相容,已知

P?B? ? q,




P? A ? B?, P A ? B , P AB , P A B .
?

?

? ? ? ? ?
A

P? A? ? p,

P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ? p ? q,
B ? A, 从而 P A ? B ? P A ? 1 ? P? A? ? 1 ? p,
由于

? ? ?? A、B 互斥 P?AB? ? P?B? ? q, P?A B? ? P?A ? B? ? 1 ? P? A ? B? ? 1 ? p ? q.

AB ? ? ,



B

练习: 将两封信随机地投入4个邮筒,求:

(1) 第2个邮筒恰好投入一封信的概率;
(2) 前两个邮筒各有一封信的概率.
解 设 A= {第二个邮筒只投入一封信}, B= {前两个邮筒各投入一封信}, 基本事件总数

n ? 4 ? 16
2

种可能投法.
1 2 1 3

(1) ? m ? C C ? 6,
1 1 2 3
1 2

(2) ? m ? C ? 2,

CC 3 ? P( A) ? 2 ? . 4 8 1 C2 1 ? P( B) ? 2 ? . 4 8


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