koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年湖北省理科数学高考试题


2013 年湖北省理科数学高考试题 一、选择题

z?
1、在复平面内,复数 A. 第一象限

2i 1 ? i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(
C. 第三象限 D. 第四象限



B. 第二象限

z?
【解析与答案】 故选 D

r />
2i ? 1? i 1? i ,? z ? 1 ? i 。

【相关知识点】复数的运算
x ? ? ? ?1? ? A ? ? x ? ? ? 1? B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ?2? A ? CR B ? ( ? ? ? ? R 2、已知全集为 ,集合 , ,则



A. C.

?x | x ? 0?

B. D. ,

?x|2?4?

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?
A ? ? 0, ?? ?

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

【解析与答案】

B ? ? 2, 4? ,? A ? CR B ? ?0, 2 ? ? ? 4, ?? ? 。

故选 C 【相关知识点】不等式的求解,集合的运算 3、在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围” , q 是“乙降落在指定范围” ,则命题 “至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.

? ?p ? ? ? ?q ?

B.

p ? ? ?q ?

C.

? ?p ? ? ? ?q ?

D. p ? q

【解析与答案】 “至少有一位学员没有降落在指定范围” 即: “甲或乙没有降落在指定范围内” 。 故选 A。 【相关知识点】命题及逻辑连接词 4、将函数 值是(

y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ?


的图像向左平移

m ? m ? 0?

个长度单位后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小

?
A. 12

?
B. 6

?
C. 3

5? D. 6

?? ? ? ? ? y ? 2 cos ? x ? ? y ? 2 cos ? x ? ? m ? 6 ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后变成 6 ? ? ? ,所以 m 的最小值是 【解析与答案】
?
6 。故选 B。
【相关知识点】三角函数图象及其变换

0?? ?
5、已知 A.实轴长相等

?
4 ,则双曲线

C1 :

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 C : ? ?1 2 cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ? 与 的(
C.焦距相等 D. 离心率相等



B.虚轴长相等

sin 2 ? ?1 ? tan 2 ? ? 1 1 e2 ? ? e ? 1 C sin ? cos ? ,故选 D cos ? ,双曲线 C2 的离心率是 【解析与答案】双曲线 1 的离心率是
【相关知识点】双曲线的离心率,三角恒等变形 6、已知点

A ? ?1,1?



B ?1, 2 ?



C ? ?2, ?1?



D ? 3, 4 ?

,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为(

??? ?

??? ?



3 2 A. 2

3 15 B. 2

?
C.

3 2 2

【解析与答案】

??? ? AB ? ? 2,1?



??? ? CD ? ? 5,5?



3 15 2 D. ??? ? ??? ? AB ?CD 15 3 2 ? ??? ? ? ? 2 5 2 CD ?

,故选 A。

【相关知识点】向量的坐标运算,向量的投影

7、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是( A. 1 ? 25ln 5 )

v ? t ? ? 7 ? 3t ?

25 1 ? t ( t 的单位: s , v 的单位: m / s )

8 ? 25ln
B.

11 3

C. 4 ? 25ln 5

D. 4 ? 50ln 2

【解析与答案】令

v ? t ? ? 7 ? 3t ?

4? 25 ? 25 ?0 ? 7 ? 3t ? ? dt ? 4 ? 25ln 5 ? 0 1 ? t ? ? t ? 4 1? t ,则 。汽车刹车的距离是 ,故选 C。

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 8、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( A. C. )

V1 ,V2 ,V3 ,V4 ,上面两个

V1 ? V2 ? V4 ? V3 V2 ? V1 ? V3 ? V4

B. D.

V1 ? V3 ? V2 ? V4 V2 ? V3 ? V1 ? V4

【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选 C 【相关知识点】三视图,简单几何体体积 9、如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体。经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体, 记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为

E?X ? ?

126 A. 125

6 B. 5

168 C. 125

7 D. 5

第 9 题图 【解析与答案】三面涂有油漆的有 8 块,两面涂有油漆的有 36 块,一面涂有油漆的有 54 块,没有涂有油漆的有 27 块,所



E ? X ? ? 3?

8 36 54 6 ? 2? ? 1? ? 125 125 125 5 。故选 B。
f ( x ) ? x ? ln x ? ax ?

【相关知识点】古典概型,数学期望 10、已知 a 为常数,函数 有两个极值点

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则(
1 2 1 2



A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

C.

D.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

ln xi ? 2axi ? 1(i ? 1, 2) 。 ? 【解析与答案】令 f ( x ) ? 1 ? 2ax ? ln x ? 0 得 0 ? 2a ? 1 ,
? 1 ? f ?? ? ? 0 ? 2a ?
? 0 ? x1 ? 1 ? 1 ? x2 2a
? f ( x1 ) ? x1 ln x1 ? ax12 ? x1 ? 2ax1 ? 1? ? ax12 ? ax12 ? x1 ? 0









2 f ( x2 ) ? ax2 ? x2 ? x2 ? ax2 ? 1? ? ax2 ? 1 ? a ?

1 1 ?1 ? ? 2a 2

故选 D。 【相关知识点】函数导数与极值,函数的性质 二、填空题 (一)必考题 11、从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图所示。 (I)直方图中 x 的值为 ; (II)在这些用户中,用电量落在区间 。

?100, 250? 内的户数为

第 11 题图

【解析与答案】

? 0.006 ? 0.0036 ? 0.0024 ? 2 ? 0.0012 ? x ? ? 50 ? 1 , x ? 0.0044

? 0.0036 ? 0.006 ? 0.0044 ? ? 50 ? 100 ? 70
【相关知识点】频率分布直方图

12、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ? 开始
a ? 10, i ? 1



a ? 4?



否 是 a 是奇数 否
?

a ? 3a ?1

a?

a 2

输出
i

i ? i ?1

结束

【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示: i 1 2 3 a 10 5 16 【相关知识点】程序框图

4 8

5 4

13、设 x, y , z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ?
2 2 2



?1 【解析与答案】由柯西不等式知

2

? 22 ? 32 ?? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ? ? x ? 2 y ? 3z ?

2

x y z ? ? ,结合已知条件得 1 2 3 ,从而解得

x y z 14 3 14 ? ? ? x? y?z? 1 2 3 14 , 7 。
【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件)

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n 2 2 2 。 14、 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。 如三角形数 1,3,6,10, ?, 第 n 个三角形数为
记第 n 个 k 边形数为

N ? n, k ? ? k ? 3?

,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:

三角形数 正方形数

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

五边形数 六边形数 ?? 可以推测

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n N ? n, k ? N ?10, 24 ? ?

的表达式,由此计算



【解析与答案】观察 n 和 n 前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列,故

2

N ? n, 24 ? ? 11n 2 ? 10n



? N ?10, 24 ? ? 1000
【相关知识点】归纳推理,等差数列 (二)选考题

CE 15 、如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E 。若 AB ? 3 AD ,则 EO 的值
为 。
C

A

E

D O

B

第 15 题图

AD ?? AB ? AD ? CE CD 2 AD ?BD ? ? ? ?8 2 2 2 EO OD ?OA ? AD ? ? 1 AB ? AD ? ? ? ?2 ? 【解析与答案】由射影定理知
【相关知识点】射影定理,圆幂定理

? x ? a cos ? ? y ? b sin ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? 。在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取 16、在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ?
相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为

? sin ? ? ?


? ?

??

2 m ?? ? m为非零常数 ? 与 ? ? b 。若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率 4? 2


【解析与答案】直线 l 的方程是 x ? y ? m ,作出图形借助直线的斜率可得 c ? 【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化,椭圆的几何性质,直线与圆 三、解答题 17、在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c 。已知 (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。 【解析与答案】 (I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

2b ,所以

c2 ? 2 ? a 2 ? c2 ?

e?


6 3

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1



? 2 cos A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得
2

cos A ?

1 2 ,角 A ? 60?

S?
(II)

a2 1 2 2 R ? ? 28 bc sin A ? 5 3 ? ? ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , 2 sin 2 A
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

【相关知识点】二倍角公式,解三角函数方程,三角形面积,正余弦定理 18、已知等比数列

?an ? 满足: a2 ? a3

? 10



a1a2a3 ? 125



(I)求数列

?an ? 的通项公式;

1 1 1 ? ??? ?1 a a2 am (II)是否存在正整数 m ,使得 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由。
【解析与答案】 (I)由已知条件得:

a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 ,

a?5???1? a ? 5 ? 3n ?2 ?a ? 所以数列 n 的通项n或 n
n

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 a a2 am 5 (II)若 q ? ?1 , 1 ,不存在这样的正整数 m ;
m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? a a2 am 10 ? ? ? 3? ? ? 10 ,不存在这样的正整数 m 。 若q ? 3, 1

【相关知识点】等比数列性质及其求和 19、如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA , PC 的中点。 (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明;

???? 1 ??? ? DQ ? CP 2 (II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 。记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 ? ,异
面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角 E ? l ? C 的大小为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? 。

第 19 题图

EF ? 平面ABC 【解析与答案】 (I)? EF ? AC , AC ? 平面ABC ,
? EF ? 平面ABC
又 EF ? 平面BEF

? EF ? l
? l ? 平面PAC
(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证。 (这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的 表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。 )

【相关知识点】

N ?800,50 ? 20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超
2

过 900 的概率为 (I) 求

p0



p0

的值; (参考数据: 若

X ? N ? ?,? 2 ?
。 )

, 有

P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544




P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974

(II)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次, A 、 B 两种车辆的载客 量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆。公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车 队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 营成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?

p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运

1 p0 ? 0.5 ? ? 0.9544 ? 0.9772 2 【解析与答案】 (I)
(II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件得

? x ? y ? 21 ?36 x ? 60 y ? 900 ? ? y?x?7 ? ? x, y ? N ? ,而 z ? 1600 x ? 2400 y

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 12 。 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小。 【相关知识点】正态分布,线性规划

21、如图,已知椭圆

C1



C2

的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 2m , 2n

? m ? n ? ,过原点且

不与 x 轴重合的直线 l 与 积分别为

C1



C2

的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C , D 。记

??

m n , ?BDM 和 ?ABN 的面

S1



S2



(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若

S1 ? ? S2

,求 ? 的值;

(II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 y

S1 ? ? S2

?并说明理由。

A B
N x

M

O

m ?1 ? ?1 ?? ? n ? m ?1 ? ?1 ? m ? n ? ? m ? n ? ? S ? ? S n 1 2 【解析与答案】 (I) ,
解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

(II)设椭圆

C1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 a ? m C : ? ?1 ? ? 2 a 2 m2 a2 n2 , ,直线 l : ky ? x

? ky ? x ? 2 am ?x y2 a 2 ? m 2k 2 2 ? ? 1 ? y ? 1 ? yA ? ? 2 2 2 2 2 a ? m 2k 2 m ?a am
yB ?
同理可得,

an a ? n 2k 2
2

又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等

?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得

S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,

2 2 a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? 2 k ? ? 2 2 2 2 2 4n 2? 3 a ? n 2k 2 ,解得 即: a ? ? n k

2 2 ? 当 ? ? 1 ? 2 时, k ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k ? 0 ,不存在这样的直线 l 。

【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂)

22、设 n 是正整数, r 为正有理数。 (I)求函数

f ( x ) ? ?1 ? x ?

r ?1

? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1)
? nr ?

的最小值;

n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1 (II)证明:
(III) 设 x?R , 记

r ?1

? n ? 1?

? n r ?1 r ?1 ;
?2? ??2 ?

r ?1

? x? ? ?

为不小于 x 的最小整数, 例如

? 3? ? ? ? ? ?1 3 3 3 3 ? ? 4 ? ? ,? ? ,? 2 ? 。 令 S ? 81 ? 82 ? 83 ? ? 125 ,

?S ? 求 ? ? 的值。

(参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 )
r r f ?( x ) ? ? r ? 1??1 ? x ? ? ? r ? 1? ? ? r ? 1? ??1 ? x ? ? 1? ? ? 证明: (I)

4 3

4 3

4 3

4 3

? f ( x ) 在 ? ?1,0 ? 上单减,在 ? 0, ?? ? 上单增。

? f ( x ) min ? f (0) ? 0
(II)由(I)知:当 x ? ?1 时,

?1 ? x ?

r ?1

? ? r ? 1? x ? 1

(就是伯努利不等式了)

r ?1 r ?1 r ? ? n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1? ? r ?1 r ?1 n ? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1? ? ? 所证不等式即为:

若 n ? 2 ,则

n

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r

r ?1

? 1? ? ? n ? r ? 1? ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? ? 1? r ? 1? ? ?1 ? ? n ? 1 ? n ? ????①
r

r

r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? r ? ? r n ? n? n ?1 , n r r ? 1? ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ? 1 ,故①式成立。 ? n?
r

r

n 若 n ? 1,
n
r ?1

r ?1

? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1?
r r ?1

r ?1

显然成立。
r

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?

? 1? ? n ? r ? 1 ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? ? 1? r ? 1? ? ?1 ? ? n ? 1 ? n ? ????②
r

r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? 1 r ? r ? n? n , n n ?1 r r ? 1? ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ? 1 ,故②式成立。 ? n?
综上可得原不等式成立。
1 4 4? 4 ? 3? 4 3? 3 3 ? k3 ? 3 ?k3 k ? k ? 1 k ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? * 4 4? ? ? (III)由(II)可知:当 k ? N 时, ?

r

r

?S ?

4 4 4? ? 3 125 ? 4 3? 3 3 3 3 ? k ? k ? 1 125 ? 80 ? ? ? ? ? ? 210.225 ? ? 4 k ?81 ? ? 4? ?

4 4 4 4 ? 3? ? 3 125 ? 3 3 3 3 S ? ? ?? k ? 1? ? k ? ? ? 126 ? 81 ? ? 210.9 4 k ?81 ? ? 4? ?

?? ?S ? ? ? 211


推荐相关:

2013年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)

2013年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)2013 年湖北省高考数学试卷(理科)一、选...


2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)

2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013湖北高考数学试卷2013 年湖北高考数学试卷(理科)WORD 版绝密 ★ 启用前 2013 年...


2013年湖北高考理科数学试题及答案

2013年湖北高考理科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数注意事项: 学(理工类) 本试题卷共 6...


2013年湖北省理科数学高考试题及其答案完全解析版

2013年湖北省理科数学高考试题及其答案完全解析版_高考_高中教育_教育专区。如题。完整解析,非下载,个人纯手工打造,完全免费。供老师童鞋们学习交流!!!...


2013年湖北高考理科数学试卷答案解析

2013年湖北高考理科数学试卷答案解析_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北高考理科数学试卷答案解析 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册,免费下载! 2013 年普通...


2013年湖北高考数学试题和答案 理科 Word解析版

2013年湖北高考数学试题和答案 理科 Word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013年湖北高考数学试题和答案理科Word解析版 2013 年湖北省理科数学高考试题 WORD 解析版...


2013年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷

2013年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷_高考_高中教育_教育专区。2013 年湖北省理科数学高考试题 WORD 解析版一、选择题 1、在复平面内,复数 z ? A. 第一...


2013年湖北省理科数学高考试题

2013年湖北省理科数学高考试题_数学_高中教育_教育专区。2013 年湖北省理科数学高考试题 一、选择题 z? 1、在复平面内,复数 A. 第一象限 2i 1 ? i ( i ...


2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)

2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)_高考_高中教育_教育专区。2013 年湖北高考数学试卷(理科)WORD 版绝密 ★ 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com