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2011年高考数学真题(全国卷)理科(详细解析)


年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学(理工农医类) 数学(理工农医类)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是满足题目要求的。 有一项是满足题目要求的。 1.复数 z = 1 + i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 = (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数 y = 2 x ( x ≥ 0 ) 的反函数为 (A) y =

x2 ( x ∈ R) 4
2

(B) y =

x2 ( x ≥ 0) 4
2

(C) y = 4 x

( x ∈ R)

(D) y = 4 x

( x ≥ 0)
(D) a > b
3 3

3.下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a > b + 1 (B)

a > b ? 1 (C) a 2 > b 2

4.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2, S k + 2 ? S k = 24 ,则 k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数 f ( x ) = cos ω x (ω > 0 ) ,将 y = f ( x ) 的图像向右平移 像与原图像重合,则 ω 的最小值等于 (A)

π
3

个单位长度后,所得的图

1 3

(B)

3

(C) 6

(D) 9

6.已知直二面角 α ? l ? β ,点 A ∈ α , AC ⊥ l , C 为垂足, B ∈ β , BD ⊥ l , D 为垂足,若

AB = 2, AC = BD = 1 ,则 D 到平面 ABC 的距离等于

(A)

2 2

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 为朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种 8.曲线 y = e 2 x + 1 在点 ( 0, 2 ) 处的切线与直线 y = 0 和 y = x 围成的三角形的面积为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D) 1

9.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ,则 f ? ?

? 5? ?= ? 2?

(A) ?

1 1 (B) ? 2 4

(C)

1 4

(D)

1 2

10.已知抛物线 C:y 2 = 4 x 的焦点为 F, 直线 y = 2 x ? 4 与 C 交于 A、 两点, cos ∠AFB = B 则 (A)

4 5

(B)

3 5

(C)

?

3 5

(D) ?

4 5
o

11.已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60 二面角的平面 β 截该球面得圆 N, 若 该球面的半径为 4.圆 M 的面积为 4π ,则圆 N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π 12. 设向量 a, b, c 满足 a = b = 1, a b = ? (A) 2 (B)

r r r

r

r

r r

r 1 r r r r , a ? c, b ? c = 60o ,则 c 的最大值等于 2
1

3

(C)

2

(D)

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 填空题: 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1 ?

(

x

)

20

的二项展开式中, x 的系数与 x 的系数之差为

9

.

14. 已知 α ∈ ?

5 ?π ? ,则 tan 2α = , π ? , sin α = 5 ?2 ?

.

15. 已知 F1、F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? = 1 的左、 右焦点, A ∈ C , M 的坐标为 ( 2, 0 ) , 点 点 9 27
.

AM 为 ∠F1 AF2 的角平分线,则 AF2 =

16. 已知点 E、F 分别在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1 E = 2 EB ,

CF = 2 FC1 ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

.

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 17. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 。 已 知

A ? C = 90o , a + c = 2b ,求 C
18.(本小题满分 12 分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (Ⅰ)求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。 19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 S-ABCD 中 ,

AB / / CD, BC ⊥ CD ,侧面 SAB 为等边三角形, AB=BC=2, CD=SD=1.

(Ⅰ)证明: SD ⊥ 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

20.(本小题满分 12 分)设数列 {an } 满足 a1 = 0, (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn =

1 1 ? =1 1 ? an +1 1 ? an

1 ? an +1 n

,记 S n =

∑b
k =1

n

k

,证明: S n < 1 。

21.(本小题满分 12 分)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆

C : x2 +

y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 ? 2 的 2
uuu uuu uuu r r r

直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA + OB + OP = 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一个圆上。 22. 本小题满分 12 分) ( (Ⅰ) 设函数 f ( x ) = ln (1 + x ) ?

2x , 证明: x > 0 时, f ( x ) > 0 当 x+2
19

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续

1 ?9? 抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ,证明: p < ? ? < 2 e ? 10 ?

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学(理工农医类) 数学(理工农医类)试题参考答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 选择题:本题考查基础知识和基本运算. 1. B 2. B 3. A 4. D 5.C 6. C 7. B 8. D 9. A 10.D 11. D 12. A

1. 复数 z = 1 + i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 = (A) ?2i (B) ?i (C) i (D) 2i

【思路点拨】先求出的 z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。 【精讲精析】选 B. z = 1 ? i, z z ? z ? 1 = (1 + i )(1 ? i ) ? (1 ? i ) ? 1 = ?i 2. 函数 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为

x2 (A) y = ( x ∈ R) 4
(C) y = 4 x ( x ∈ R )
2

x2 (B) y = ( x≥0) 4
(D) y = 4 x ( x≥0)
2

【思路点拨】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围,它是反函数的定义域。 【 精 讲 精 析 】 选 B. 在 函 数 y = 2 x ( x≥0) 中 , y ≥ 0 且 反 解 x 得 x =

y2 ,所以 4

x2 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为 y = ( x ≥ 0) . 4
3. 下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a>b + 1 (B) a>b ? 1 (C) a 2>b 2 (D) a 3 > b3

【思路点拨】 本题要把充要条件的概念搞清, 注意寻找的是通过选项能推出 a>b , 而由 a>b 推不出选项的选项. 【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 P ? a > b, a > b 推不出 P,逐项验证可选 A。 4. 解:设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2 , Sk + 2 ? Sk = 24 ,则 k = (A)8 (B)7 (C)6 (D)5

【思路点拨】思路一:直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。思路二: 利用 S k + 2 ? S k = ak + 2 + ak +1 直接利用通项公式即可求解,运算稍简。 【精讲精析】 S k + 2 ? S k = ak + 2 + ak +1 = a1 + ( k + 2 ? 1) d + a1 + ( k + 1 ? 1) d = 2a1 + (2k + 1) d

= 2 ×1 + (2k + 1) × 2 = 4k + 4 = 24 ? k = 5 故选 D。
5. 设函数 f ( x) = cos ω x (ω>0) ,将 y = f ( x) 的图像向右平移 像与原图像重合,则 ω 的最小值等于

π
3

个单位长度后,所得的图

(A)

1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将 y = f ( x) 的图像向右平移 单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 【精讲精析】 f ( x ?

π
3



π
3

是此函数周期的整数倍。

π

∴?

ωπ
3

) = cos[ω ( x ? )] = cos ω x 即 cos(ω x ? ) = cos ω x 3 3 3

π

ωπ

= 2kπ + 2π (k ∈ Z ) ? ω = ?6k ? 6 z 则 k = ?1 时 ωmin = 6 故选 C

6.已知直二面角 α ? l ? β , A ∈ α , AC ⊥ l ,C 为垂足, ∈ β , BD ⊥ l , D 为垂足. AB=2, 点 B 若 AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A)

2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

【思路点拨】本题关键是找出或做出点 D 到平面 ABC 的距离 DE,根据面面垂直的性质不难 证明 AC ⊥ 平面 β ,进而 平 面 β ⊥ 平面 ABC,所以过 D 作 DE ⊥ BC 于 E,则 DE 就是要求的 距离。 【精讲精析】选 C. 如图,作 DE ⊥ BC 于 E,由 α ? l ? β 为直二面角, AC ⊥ l 得 AC ⊥ 平面

β ,进而 AC ⊥ DE ,又 BC ⊥ DE , BC I AC = C ,于是 DE ⊥ 平面 ABC,
故 DE 为 D 到平面 ABC 的距离。 在 Rt ?BCD 中,利用等面积法得 DE =

BD × DC 1× 2 6 = = BC 3 3

7. 某同学 有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种

【思路点拨】本题要注意画册相同,集邮册相同,这是重复元素,不能简单按照排列知识来 铸。所以要分类进行求解。 【精讲精析】分两类:取出的 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有 C4 = 4 种;取出的 2
1

本画册,2 本集邮册,此时赠送方法有 C4 = 6 种。故共有赠送方法 4+6=10 种,故选 B
2

8. 曲线 y= e

?2 x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为

(A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)1

【思路点拨】利用导数求出点(0,2)切线方程然后分别求出与直线 y=0 与 y=x 的交点问题 即可解决。 【精讲精析】 y′ = ?2e
?2 x

, y′ |r =0 = ?2 切线方程是: y = ?2 x + 2 ,

? y=x ? ? y = ?2 x + 2

2 ? ?x = 3 1 2 1 ? 得? 即得 S = × 1× = 2 3 3 ?y = 2 ? 3 ?

故选 A。

9. 设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ,则 f ( ? ) = (A) -

5 2

1 2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2 5 转化到区间[0,1]上进行 2

【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 ? 求值。 【精讲精析】先利用周期性,再利用奇偶性得:

5 5 1 1 1 1 1 Q f (? ) = f (? + 2) = f (? ) = ? f ( ) = ?2 × ( )(1 ? ) = ? 2 2 2 2 2 2 2

故选 A

直线 y = 2 x ? 4 与 C 交于 A, 两点. cos ∠AFB = B 则 10. 已知抛物线 C:y 2 = 4 x 的焦点为 F, (A)

4 5

(B)

3 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5

【思路点拨】方程联立求出 A、B 两点后转化为解三角形问题。 【精讲精析】联立 ?

? y2 = 4x 2 ,消 y 得 x ? 5 x + 4 = 0 ,解得 x = 1, x = 4 . ? y = 2x ? 4

不妨设 A 在 x 轴上方,于是 A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2), 可求 AB = 3 5, AF = 5, BF = 2 ,利用余弦定理 cos ∠AFB =
0

AF 2 + BF 2 ? AB 2 4 =? . 2 AF × BF 5

11. 已知平面α截一球面得圆 M,过圆心 M 且与α成 60 二面角的平面β截该球面得圆 N.若 该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 π ,则圆 N 的面积为 (A)7 π (B)9 π (C)11 π (D)13 π

【思路点拨】做出如图所示的图示,问题即可解决。 【精讲精析】作示意图如,由圆 M 的面积为 4

π ,易得

MA = 2, OM = OA2 ? MA2 = 2 3 . OM = 2 3 , 在 Rt ONM 中 , ∠OMN = 300 ,
2 1 ∴ ON = OM = 3, 在Rt ONB中,NB= 4 2 ? 3 = 13 , 2

故选 D 12. 设向量 a, b, c 满足 | a |=| b |= 1, a ? b = ? (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1 形,

r r r

r

r

r r

r 1 r r r r , < a ? c, b ? c >= 60o ,则 | c | 的最大值等于 2

【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图

r
然后分析观察不难得到当线段 AC 为直径时, | c | 最大. 【精讲精析】选 A.如图,构造

uuu r uuur r uuur r r AB = a, AD = b, AC = c, ∠BAD = 120o , ∠BCD = 60o , , r
所以 A、B、C、D 四点共圆,分析可知当线段 AC 为直径时, | c | 最大,最大值为 2. 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. 填空题:本题考查基础知识和基本运算. 13. 0 14.

?

4 3

15. 6

16.

2 3
.
r n?r

13. (1- x ) 的二项展开式中,x 的系数与 x 的系数之差为:

20

9

【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式,另一个要注意 Cn = Cn 【精讲精析】 Tr +1 = (?1) c20 ( x ) = (?1) c20 x 2 ,令
r r r r r
2 2 2 9

.

r

r r = 1 得 r =2,令 =9 得 r = 18 , 2 2
2

所以 x 的系数为 ( ?1) c20 = c20 , x 的系数为(-1) c20 = c20
18 18

故 x 的系数与 x 的系数之差为 c20 - c20 =0

9

2

2

14. 已知 a∈(

π
2

, π ),sinα=

5 ,则 tan2α= 5

【思路点拨】 本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围, 再求出正切值,最后利用正切函数的倍角公式即可求解。 【精讲精析】 ?

4 π 5 2 5 sin α 1 .由 a∈( , π ),sinα= 得 cos α = ? , tan α = =? , 3 2 5 5 cos α 2

tan 2α =

2 tan α 4 =? . 2 1 ? tan α 3

15. 已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0), 9 27
.

AM 为∠F1AF2 的平分线.则|A F2| =

【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。 【精讲精析】6. 由角平分线定理得:

| AF2 | | MF2 | 1 = = ,| AF1 | ? | AF2 |= 2a = 6 ,故 | AF2 |= 6 | AF1 | | MF1 | 2

16. 己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB 1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面

AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

.

【思路点拨】本题应先找出两平面的交线,进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的 关键,延长 EF 必与 BC 相交,交点为 P,则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线. 【精讲精析】

2 .延长 EF 交 BC 的延长线于 P,则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线,因为 3

∠CAP = 90o ,所以 ∠FCA 为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角。

2 FC 2 tan ∠FCA = = 3 = CA 3 2
小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答题: 17. (本小题满分 l0 分)△ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a、 c.己知 A—C=90°, B、 b、 a+c= 2 b, 求 C. 【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系,然后再 结合 A—C=90°,得到 sin A = cos C .即可求解。 【精讲精析】由 A ? C = 90 ,得 A 为钝角且 sin A = cos C ,
o

利用正弦定理, a + c =

2b 可变形为 sin A + sin C = 2 sin B ,
2 sin(C + 45o ) = 2 sin B ,

即有 sin A + sin C = cos C + sin C = 又 A、B、C 是 ?ABC 的内角,故

C + 45o = B 或 (C + 45o ) + B = 180o (舍去)
o o o 所以 A + B + C = (90 + C ) + (C + 45 ) + C = 180 。

所以 C = 15 .(本小题满分 10 分)
o

18. (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种 保险 的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲 种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为 p,利用乙种保险但不购买甲 种保险的概率为 0.3,即可求出 p=0.6.然后(ii)利用相互独立事件的概率计算公式和期望 公式计算即可. 【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为 p,由题意知: p × (1 ? 0.5) = 0.3 ,解得

p = 0.6 。
(I) 设所求概率为 P1,则 P = 1 ? (1 ? 0.5) × (1 ? 0.6) = 0.8 . 1

故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8。 (II) 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1 ? 0.5) × (1 ? 0.6) = 0.2 。

X

B(100, 0.2) , EX = 100 × 0.2 = 20

所以 X 的期望是 20 人。 19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB // CD , BC ⊥ CD ,侧面 SAB 为 等边三角形, AB = BC = 2, CD = SD = 1 . (Ⅰ)证明: SD ⊥ 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. 【思路点拨】本题第(I)问可以直接证明,也可建系证 明。 (II)建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算计 算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量 小。 【精讲精析】 (Ⅰ)证明: 在直角梯形 ABCD 中, AB=BC=2,CD=1, AB / / CD, BC ⊥ CD ,

易算得: AD = BD = 5 , 又因为侧面 SAB 为等边三角形,SD=1,AB=2, 所以 SD + SA = 5 = AD , SD + SB = 5 = BD
2 2 2 2 2 2

于是 SD ⊥ SA , SD ⊥ SB , 所以 SD ⊥ 平面SAB . (II) (向量法)过 D 做 Dz ⊥ 平 面 ABCD ,如图建立空间直角坐标系 D-xyz, A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), S ( , 0,

1 2

3 ) 2
uuu r

可计算平面 SBC 的一个法向量是 n = (0, 3, 2), AB = (0, 2, 0)

r

uuu r r uuu r r | AB ? n | 2 3 21 r = | cos < AB, n >|= uuu r = . 7 | AB | ? | n | 2 7
所以 AB 与平面 SBC 所成角为 arcsin

21 7

(几何法)设点 A 到平面 SBC 的距离为 d, 因为 SD ⊥ 平面SAB ,所以 SD ⊥ AB ,从而 SD ⊥ CD , 因而可以算得: SC =

2 ,又 SB = BC = 2 ,故 S ?SBC =

7 2

又因为 CD / / 平面SAB ,所以点 C 到平面 SAB 的距离为 SD = 1 另外,显然 S ?SBA =

3 2 ×2 = 3 , 4

所以 V四棱锥A? SBC =

1 7 1 × d = V四棱锥C ? SAB = × 3 × 1 3 2 3

得: d =

2 21 7

设 AB 与平面 SBC 所成的角为 α ,则

2 21 21 sin α = 7 = , 2 7

即 AB 与平面 SBC 所成的角为 arc sin

21 (显然 α 是锐角) 7

20.(本小题满分 12 分)设数列 {an } 满足 a1 = 0 且 (Ⅰ)求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn =

1 1 ? = 1. 1 ? a n +1 1 ? a n

1 ? an +1 n

, 记Sn = ∑ bk , 证明:S n < 1.
k =1

n

【思路点拨】解本题突破口关键是由式子

1 1 1 ? = 1. 得到 { } 是等差数列, 1 ? a n +1 1 ? a n 1? a n

进而可求出数列 {a n } 的通项公式.(II)问求出 {bn } 的通项公式注意观察到能采用裂项相 消的方式求和。 【精讲精析】 (I) (Ⅰ)由

1 1 ? = 1 得: 1 ? an +1 1 ? an

数列 ?

? 1 ? 1 =1 ? 是等差数列,首项为 1 ? a1 ?1 ? an ?



1 1 = 1 + ( n ? 1) × 1 = n ,从而 an = 1 ? 1 ? an n

(II) bn =
n

1 ? an +1 n

=

1?

n n +1 = 1 ? 1 n n n +1

S n = ∑ bk = (
k =1

1 1 1 1 1 1 1 ? )+( ? ) +L + ( ? ) = 1? < 1. 1 2 2 3 n n +1 n +1
2

21.(本小题满分 12 分)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x +

y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦 2

点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足 OA + OB + OP = 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路,注意把

uuu uuu uuu r r r

uuu uuu uuu r r r OA + OB + OP = 0. 用坐标表示后求出 P 点的坐标, 然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也
用 A、B 两点的横坐标表示出来。从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 P 在 C 上。(II)此问题证明有两种思路:思路一:关键是证明 ∠APB, ∠AQB 互补.通过证明这两 个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用倒角公式。 思路二:根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根据两条弦的垂直平分线的 交点找出圆心 N,然后证明 N 到四个点 A、B、P、Q 的距离相等即可. 【精讲精析】 (I)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 直线 l : y = ? 2 x + 1 ,与 x +
2

y2 = 1 联立得 4 x 2 ? 2 2 x ? 1 = 0 2

x1 =

6? 2 6+ 2 , x2 = 4 4 2 1 , x1 x2 = ? 2 4

x1 + x2 =

由 OA + OB + OP = 0. 得 P ( ?( x1 + x2 ), ?( y1 + y2 ))

uuu uuu uuu r r r

?( x1 + x2 ) = ?

2 , 2

?( y1 + y2 ) = ?(? 2 x1 + 1 + ? 2 x2 + 1) = 2( x1 + x2 ) ? 2 = ?1
(? 2 2 (?1) 2 ) + =1 2 2

所以点 P 在 C 上。

(II)法一: tan ∠APB =

k PA ? k PB 1 + k PA k PB

y1 ? (?1) y ? (?1) ? 2 2 2 x1 ? (? ) x2 ? (? ) 2 2 = y ? (?1) y ? (?1) 1+ 1 ? 2 2 2 ) x2 ? (? ) x1 ? (? 2 2

=

3( x2 ? x1 ) 4( x2 ? x1 ) = 3 3 2 9 3 x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 2 2

同理, tan ∠AQB =

kQB ? kQA 1 + kQA kQB

y2 ? 1 y1 ? 1 ? 2 2 ) x2 ? x1 ? (? 2 2 = y ?1 y1 ? 1 1+ 2 ? 2 2 x2 ? x1 ? (? ) 2 2

=

( x1 ? x2 ) 4( x2 ? x1 ) =? 3 2 1 3 x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 2 2

所以 ∠APB, ∠AQB 互补, 因此 A、P、B、Q 四点在同一圆上。 法二:由 P ( ?

2 2 2 , ?1) 和题设知, Q( ,1) ,PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 y = ? x …① 2 2 2 2 1 2 1 , ) ,AB 的垂直平分线 l2 的方程为 y = x + …② 4 2 2 4 2 1 , ) 8 8

设 AB 的中点为 M,则 M (

由①②得 l1 、 l2 的交点为 N ( ?

| NP |= (?

2 2 2 1 3 11 + ) + ( ?1 ? ) 2 = , 2 8 8 8 3 2 2

| AB |= 1 + (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |=

| AM |=

3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 , | MN |= ( + ) +( ? ) = , 4 4 8 2 8 8 3 11 8

| NA |= | AM |2 + | MN |2 =

故 | NP |=| NA | . | NP |=| NQ |,| NA |=| NB | 所以 A、P、B、Q 四点在同一圆圆 N 上. 22 . 本小题满分 12 分) ( (Ⅰ) 设函数 f ( x) = ln(1 + x) ?

2x , 证明: x>0 时, f ( x)>0 ; 当 x+2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取

20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p<(

9 19 1 ) < 2 10 e

【思路点拨】本题第(I)问是利用导数研究单调性最值的常规题,不难证明。 第(II)问证明如何利用第(I)问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。

1 2( x + 2) ? 2 x x2 ? = ≥0 【精讲精析】(I) f ′( x) = x +1 ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 (1 + x)
所以 f ( x ) 在 (?1, +∞) 上单增。 当 x > 0 时, f ( x ) > f (0) = 0 。 (II) p =

100 99 98 81 × × ×L × 100 100 100 100 2x x+2

由(I),当 x<0 时, f ( x ) < f (0) = 0 ,即有 ln(1 + x ) <

故 19 ln

9 1 = 19 ln(1 ? ) < 19 × = ?2 1 10 10 ? ×2+2 10
9 10

(?

1 ) 10

于是 e

19ln

9 1 < e ?2 ,即 ( )19 < 2 . 10 e x1 + x2 + L + xn n ≥ x1 x2 L xn , xi > 0 n
19

利用推广的均值不等式:

81 ? ? 100 99 98 ? 100 + 100 + 100 + L + 100 ? 100 99 98 81 9 19 p= × × ×L × <? ? =( ) 100 100 100 100 ? 19 10 ? ? ?
另解: (ln x )′′ = ( )′ = ?

1 x

1 < 0, x2

所以 y = ln x 是上凸函数,于是 ln x1 + ln x2 + L + ln xn < ln

x1 + x2 + L + xn n

100 99 98 81 + ln + ln + L + ln 100 100 100 100 81 ? ? 100 99 98 ? 100 + 100 + 100 + L + 100 ? < 19 ln ? ? 19 ? ? ? ? 9 = 19 ln( ) , 10 9 19 故p<( ) 10
因此 ln p = ln

综上: p < (

9 19 1 ) < 2 10 e


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