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2.3(2)等差前n项和教师版 王绍青


09 级高一数学学案

制作人: 张贺果 陈艳敏 王绍青 审核人:薛向东

使用时间:2010.01

3.3-2 等差数列的前 n 项和
一、学习目标
(一)知识与技能目标 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; (二)过程与方法目标 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; (三)情感态度与价值观目标 提高学生的应用意识,渗透方程思想.

二、阅读要求与检测
复习引入: 1、等差数列的前 n 项和 Sn = 2、若数列 {an } 的前 n 项和 Sn = An2 + Bn ,则数列 {an } 为 3、在等差数列 {an } 中,若 a1 > 0, d < 0 ,则 Sn 存在 . 4、等差数列 {an } 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,那么数列 Sk , S2 k - Sk , S3k - S2k ,? 成 , (k ? N * ) 公差为 . . . ,若 a1 < 0, d > 0 ,则 Sn 存在

三、精选例题讲解
例 1、一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,求这个等差 数列的通项公式. 分析:将已知条件转化为数学语言,然后求解. 解:根据题意,得 S 4 =24, S 5 - S 2 =27 则设等差数列首项为 a1 ,公差为 d,

4(4 ? 1)d ? 4a1 ? ? 24 ? ? 2 则 ? ?(5a ? 5(5 ? 1)d ) ? (2a ? 2(2 ? 1)d ) ? 27 1 1 ? 2 2 ?
?a1 ? 3 解之得: ? ?d ? 2
∴ an =3+2(n-1)=2n+1.

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制作人: 张贺果 陈艳敏 王绍青 审核人:薛向东

使用时间:2010.01

发散题、 两个数列 1, x1 , x2 , ……, x7 , 5 和 1, y1 , y 2 , ……, y6 , 5 均成等差数列公差分 别是 d1 , d 2 , 求

x ? x2 ? ?? ? x7 d1 与 1 的值 d2 y1 ? y 2 ? ?? ? y6

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解:5=1+8 d1 , d1 =

d 1 4 7 , 又 5=1+7 d 2 , d 2 = , ∴ 1 = ; 2 7 d2 8
1? 5 =21, 2

x1 + x2 +……+ x7 =7 x4 =7×

y1 + y 2 + ……+ y6 =3×(1+5)=18,


x1 ? x2 ? ?? ? x7 7 = . y1 ? y 2 ? ?? ? y6 6
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例 2、在小于 100 的正整数中共有多少个数能被 3 除余 2,并求这些数的和 解:分析题意可得满足条件的数属于集合 M={m|m=3n+2,m<100,n∈N*} 由 3n+2<100,得 n<32

2 ,且 m∈N*, 3

∴n 可取 0,1,2,3,…,32. 即 在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2. 把这些数从小到大排列出来就是:2,5,8,…,98. 它们可组成一个以 a1 =2,d=3, a33 =98,n=33 的等差数列. 由 Sn =

n(a1 ? an ) 33(2 ? 98) ,得 S 33 = =1650. 2 2

答:在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2,这些数的和是 1650. 例 3、已知数列 {an }是等差数列, S n 是其前 n 项和,求证: ⑴ S 6 , S12 - S 6 , S18 - S12 成等差数列; ⑵ S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )成等差数列. 证明:设 {an }首项是 a1 ,公差为 d ,则 S 6 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6 ∵ S12 ? S 6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12

? (a1 ? 6d ) ? (a2 ? 6d ) ? (a3 ? 6d ) ? (a4 ? 6d ) ? (a5 ? 6d ) ? (a6 ? 6d )
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使用时间:2010.01

? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ) ? 36d ? S 6 ? 36d S18 ? S12 ? a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? a17 ? a18





? (a7 ? 6d ) ? (a8 ? 6d ) ? (a9 ? 6d ) ? (a10 ? 6d ) ? (a11 ? 6d ) ? (a12 ? 6d ) ? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ) ? 36d ? (S12 ? S 6 ) ? 36d ?S 6 , S12 ? S 6 , S18 ? S12 是以 36d 为公差的等差数列
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同理可得 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 是以 k d 为公差的等差数列. 例 4、在等差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值 解法 1:∵ a4 = a1 +3d, ∴ -15= a1 +9, a1 =-24, ∴ S n =-24n+ ∴ 当|n-
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3n(n ? 1) 3 51 2 512 = [(n- ) - ], 2 2 6 36

51 |最小时, S n 最小, 6

即当 n =8 或 n =9 时, S8 = S 9 =-108 最小. 解法 2:由已知解得 a1 =-24, d=3, an =-24+3(n-1), 由 an ≤0 得 n≤9 且 a9 =0, ∴当 n =8 或 n =9 时, S8 = S 9 =-108 最小.

四、自主练习题 1、一凸 n 边形各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小内角为 100°,求边数 n . n(n - 1) ? 10 , 解:由 (n - 2) ?180 100n + 2
2 求得 n - 17n + 72 = 0 , \ n = 8或n = 9 .

当 n=9 时, 最大内角 100+(9-1)×10=180°不合题意,舍去,∴ n=8. 2、两个等差数列,它们的前 n 项和之比为

5n ? 3 , 求这两个数列的第九项的比 2n ? 1
3

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使用时间:2010.01

17 (a1 ? a17 ) a9 a1 ? a17 S 8 解: ? ? 2 ? 17 ? . ' 17 b9 b1 ? b17 S17 3 (b1 ? b17 ) 2
3、一个等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前 110 项和 解:在等差数列中,
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S10 , S 20 - S10 , S 30 - S 20 , ……, S100 - S 90 , S110 - S100 , 成等差数列,
∴ 新数列的前 10 项和=原数列的前 100 项和, 10 S10 +

10 ? 9 ·D= S100 =10, 解得 D=-22 2

∴ S110 - S100 = S10 +10×D=-120, ∴ S110 =-110.

五、点评及总结
本节课学习了以下内容: 则 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ?an ?是等差数列,S n 是其前 n 项和, ( k ? N ? )仍成等差数列
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六、课后作业
课本习题 3.3 第 7、8 题;学科习题集第 56 页 3.3(2)3.

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