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高二数学必修3与选修2-1试卷


高二数学试卷(13)
一、选择题

? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是 1. 已知命题 p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (A) ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (C) ?p:
2. 抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是 (A) ( a , 0) (B)(- a , 0) 3. 设 a ? R ,则 a ? 1 是 (A)充分但不必要条件 (C)充要条件





? x ? R,使 tan x ? 1 (B) ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (D) ?p:
( ) (C) (0, a ) (D) (0, - a ) ) (B)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 ?1 的 a



4. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的 中线长为 ( (A)2 5.有以下命题: ) (B)3 (C)4 (D)5

①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系是不共线; ② O, A, B, C 为空间四点, 且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底, 则点 O, A, B, C 一 定共面; ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c 也是空间的一个基底。 其中正确的命题是( ) (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③ 6. 如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a , ( ) AD ? b ,AA 1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是 1 1 1 1 (A) ? a ? b ? c (B) a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 (C) ? a ? b ? c (D) a ? b ? c 2 2 2 2
D1 A1 M B1 C1

D A B

C

7. 已知△ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, -4), C (0, 4), 则顶点 A 的轨迹方程是 2 2 y x x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (A) (B) 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (C) (D) 6 20 20 6





8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) B (x2, y2) 两点, 如果 x1 ? x2 =6, 那么 AB = ( (A)6 ) (B)8 (C)9 (D)10

9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围 (A) (?

15 15 15 ) (B) ( 0, ) , 3 3 3

(C) (?

15 ,0 ) 3

(D) (?

15 ,?1 ) 3

10.试在抛物线 y 2 ? ?4 x 上求一点 P, 使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之和最小, 则该点坐标为( ) (A)? ?

? 1 ? ,1? ? 4 ? 2 6 3

(B)? ,1?

?1 ? ?4 ? 3 6 2

(C) ? 2,?2 2

?

?

(D) ? 2,2 2

?

?

11. 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 如果 AB=BC=1, AA 1 =2, 那么 A 到直线 A 1 C 的距离为 ( ) (A) (B) (C)

2 3 3

(D)

6 3

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭 a2 b2 圆交于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为( ) 2 3 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3
12.已知点 F1、F2 分别是椭圆

二、填空题(每小题 4 分,共 4 小题,满分 16 分)
13.已知 A(1,-2,11) 、B(4,2,3) 、C(x,y,15)三点共线,则 x y =___________。 14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后, 水面宽度是___________。 15. 如 果 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的 弦 被 点 (4 , 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 36 9

___________。 16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②在 ?ABC 中, “ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件.

?x ? 1 ?x ? y ? 3 2 2 是? 的充要条件;④“am <bm ”是“a<b”的充分必要条件. ? y ? 2 ? xy ? 2 以上说法中,判断错误的有___________. 三、解答题(共 6 小题,满分 74 分)
③?
2 2 20.设 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,

若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

? ? ? m2 ? 4 ? 0 解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ? , ? x1 ? x2 ? ? m ? 0
2

????2 分

所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 .

?????????????????????3

分 若方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 , 即1 ? m ? 3 , 分 因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真” . 所以 ? ???????????8 分 ????5 分

所以 p :1 ? m ? 3 . ???????????????????6

?m ? 2 ? m?2 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

???????????????????10 分

所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 . 故实数 m 的取值范围为 (1, 2] [3, ??) . 分 22. 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直, 且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点。 (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值。 解: (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间 直角坐标系. 则有 A(0,0,1) 、 B(2,0,0) 、 C (0, 2,0) 、 E (0,1,0). ???????????3 分 ???????????????? 12

EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AC ? (0,2, ?1)
? ?2 2 ?? , 5 5? 5

COS< EB, AC >

???????????5 分

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为

2 5

???????????6 分

(2)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则

n1 ? AB知: n1 ? AB ? 2x ? z ? 0; n1 ? AC知: n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1,2) ,
则 cos ? EB, n1 ?? ???8 分

2 ?1 ? 0 5 6

?

30 ,???????10 分 30

故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为

30 ????12 分 30

24.设点 P(x,y) ( x …0) 为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点(其中 O 为坐标原点) , 点 P 到点 M(

1 1 ,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 . 2 2

(1)求点 P 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线; (2)若直线 l 与点 P 的轨迹相交于 A、B 两点,且 OA⊥OB,点 O 到直线 l 的距离为 2 , 求直线 l 的方程.

1 1 (1)∵x≥0,∴ ( x ? ) 2 ? y 2 =x+ 2 2
整理得 y =2x. 这就是动点 P 的轨迹方程,它表示顶点在原点,对称轴为 x 轴,开口向右的一条抛 物线 . (2)①当直线 l 的斜率不存在时,由题设可知,直线 l 的方程是 x= 2 . 联立 x= 2 与 y =2x, 可求得点 A、 B 的坐标分别为 ( 2, 2 2) 与 ( 2, - 2 2) , 此时不满足 OA⊥OB,故不合题意. ②当直线 l 的斜率存在时, 可设直线 l 的方程为 y=kx+b(其中 k≠0,b≠0). 将 x=
2 2

y ?b 2 代入 y =2x 中, k
2

并整理得 ky -2y+2b=0.



设直线 l 与抛物线的交点坐标为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 y1、y2 为方程①的两个根, 于是 y1y2=

2b . k


又由 OA⊥OB 可得 x1x2+y1y2=0.
2 2

将 x1=

y1 y ,x2= 2 代入②并整理得 y1y2+4=0, 2 2


∴b+2k=0. 又由点 O 到直线 l 的距离为 2 ,得

|b| k 2 ?1

= 2.



联立③④得 k=1,b=-2 或 k=-1,b=2. 故直线 l 的方程为 y=x-2 或 y=-x+2. 已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ? y ? ?x ? n

得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 .
2 2

因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?
2

4 3 4 3 . ?n? 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4

所以 y1 ? y2 ?

n . 2

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 .

一、选择题:
题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 C 6 A 7 B 8 B 9 D 10 A 11 C 12 D

二、填空题: 13、 2 三、解答题:

14、 4 2

15、

x ? 2y ? 8 ? 0

16、③④


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