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人教版高中数学选修1-2 直接证明与间接证明 课件3


直接证明与间接证明

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推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳
(特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

演绎推理是证明数学结论、

建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 中学数理化 情推理. www.shulihua.net

例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

证明:因为b2+c2

≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例:.已知a、b、c为不全相等的正数, b+c-a c+a-b a+b-c 求证: + + > 3. a b c 中学数理化
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利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: … Qn ? Q Q 2 ? Q3 Q1 ? Q2 P ? Q1
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例:在△ABC中,三个内角A、B、C对应 的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差 数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC为 等边三角形.

例:在锐角三角形ABC中, 求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
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例:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点 为F,经过点F的直线交抛物线于 A、B两点,点C在抛物线的准线 上,且BC∥x轴(如图),证明 A 直线AC经过原点O
4

2

O

F
5

C
-2 -4

B

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-6

作业:

A组2,B组2

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一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求推证过程中,使每一步结论成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明的 方法叫做分析法.

特点:执果索因.
用框图表示分析法
Q ? P1
P1 ? P2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

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复习

经过证明 的结论

思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个

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思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么?
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
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反证法:
假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。

反证法的思维方法:
正难则反
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反证法的基本步骤:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成------立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾;

(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
(3)自相矛盾。
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应用反证法的情形:
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论.
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷

多个” ---类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;

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例1:用反证法证明:

如果a>b>0,那么 a > b 证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b

若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾,

故假设不成立,结论 a > b成立。

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例2 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x1,x2 且x1 ≠ x2
则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax 2 = 0 ∴a(x1 - x2) 0 = ∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立,结论成立。 中学数理化
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例3:证明:圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P,且 AB、CD不全是直径 求证:AB、CD不能互相平分。
C A O P B D

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例4 求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,

∴ m=

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n 2 2

∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)
2 2 2 2

2n

∴ m = 2n

从而有4k = 2n ,即n = 2k ∴n2 也是偶数, 这与m,n互质矛盾!
所以假设不成立,2是有理数成立。
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作业
1:若p1 ?p2 = 2(q1 + q 2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p 2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.
2 2

2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y + b = y - 2z +
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2

?
2

,

2

?

3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.

,c = z - 2x +

2

?

,


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