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福建省三明市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


三明一中 2015~2016 学年(下)第一次月考卷 高二理科数学
(总分 150 分,时间:120 分钟) 一、选择题(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确答案填 入答题卷中。) 1. A. 限 限 2. A. 理 3. ( “金导电, 银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都导电”.此推理方法是( 类比推理 D.以上都不

对 实 数 ) A.错误!未找到引用源。 a, b, c 均不为 0 C. a, b, c 中至少有一个为 0 4. 曲线 f ( x ) ? B. a, b, c 中至多有一个为 0 B. 归纳推理 C. ) 演绎推 复数

i 在复平面上对应的点位于 3?i
一 象 限 C. 第三象限 B.

( 第 D. 二

) 象



第四象

a, b, c 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 不 全 为

0

等 价 于 为

D. a, b, c 中至少有一个不为 0 ( )

1 1 2 (1, ) 处的切线方程为 x ,在点 2 2

A.

2x ? 2 y ?1 ? 0
C. 2 x ? 2 y ? 1 ? 0

B.

2x ? 2 y ?1 ? 0
D.

2x ? 2 y ? 3 ? 0
5. 已知

?0 (3x

2

2

? k )dx ? 16 ,则 k=
B. 2 C. 3

(

)

A.

1

D. 4

6. 函数 y ? f ( x) 在定义域内可导,导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的图象可 能为 ( )

1

7.

8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为

(

)

8 2 A A8 A9 8 2 D. A8 C7

8 2 B. A8 C9

8 2 C. A8 A7

8. 从 10 名高三年级优秀学生中挑选 3 人担任校长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有 入选的不同选法的种数为 ( ) A. 85 B. 56 D. 28 9. 函数 f ( x) ? x3 ? e x ? ax 在区间 ?0,??? 上 单调递增, 则实数 的取值范围是 ( ) C. 49

A.

?0,1?
C. ?1,???

B.

?0,1?
D.

?? ?,1?

10.

在用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? n ?

2

n4 ? n2 则当 n ? k ? 1 时左端应 (n ? N * ) 时, 2
( )

在 n ? k 的基础上加上的 A.

k 2 ?1
2 (k ? 1 )
4 (k ? 1 ) ? (k ? 1) 2 2

B.

C.

D.

11.

( x ? ) 的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 若

3 x

n

n 的值为
A . 4 B. D. 5 7



) C. 6

12.



. 则 a2 ?

2

( A. 20

) B. 19 C.

? 20 D. ? 19 二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 设复数 z ?

i ,则 z ? _____________. 1? i
.

14.函数 f ( x) ? e x ? x 在 ?? 1, 1? 上的最小值是

15..

1 (x 2 ? 2) ( ? 1)5 的展开式的常数项是 x




16.若偶函数 f(x),当 x∈R 时,满足 f′(x)> 是__.

f?x? f?x? ,且 f(1)=0,则不等式 ≥0 的解集 x x

三、解答题(共 6 题,70 分),解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)
4 3 解方程 ( 1 )A2 x ? 60Ax n?1 n?1 n n ?2 (2)Cn ?3 ? Cn?1 ? Cn?1 ? Cn

18.(本题满分 12 分) 对于二项式(1-x) , 求: (1)展开式的中间项是第几项?写出这一项; (2)求展开式中除常数项外,其余各项的系数和; (3)写出展开式中系数最大的项.
10

19.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 2x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值, (1)求 a , b, c 的值;(2)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

20.(本题满分 12 分) .若 ( x ?

1 2 x
4

) n 展开式中前三项系数成等差数列.求:

(1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项;
3

21.(本题满分 12 分) 数列 {an } 的通项公式为 a n ?

1 ,设 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ,试求 (n ? 1) 2

f (1), f (2), f (3), f (4) 的值,推导出 f (n) 的公式,并证明。

22.(本题满分 10 分) 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 (1)对 x∈(0,+∞),不等式 2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x ? x ? ex e

1

2

4

高二理科下学期第一次月考答案 1- 6BBDCDB 7-12ACDDCC

13



14.

;15

-12

; 16.

[-1,0)∪[1,+∞)

. 17.解 17. 解: (1) x ? 3
2 2 1 2 2 1 2 2 (2)Cn ?3 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn , Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn 1 2 Cn ? 2 ? Cn , n ? 2 ?

n(n ? 1) ,n ? 4 2
5 T6 ? C10 (?x)5 ? ?252x5

18.解:(1)展开式共 11 项,中间项为第 6 项,

(2)设(1 ? x)10 ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a10 x10 令x ? 1, 得a0 ? a1 ? a 2 ? ? a10 ? 0 令x ? 0, 得a0 ? 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? ?1 (3) ?中间项T6的系数为负 ,
4 4 6 6 ? 系数最大的项为 T5 和T7 , T5 ? C10 x ? 210x 4 , T7 ? C10 x ? 210x 6

? 19.解:(1) f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 2, 由条件知
2

? f ?(?2) ? 12a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?
f ( x) ?
(2) x -3

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? , f ?( x) ? x 2 ? x ? 2, 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 (-2,1) - 1 0 (1,3) + 3

f ?( x )

f ( x)

25 6



6



3 2



61 6

3 1 f min ? . f max ? 10 , 2 6 x ? 1 时, 由上表知,在区间[-3,3]上,当 x ? 3 时,

20.解析:首先 根据题意,得到关于 n 的方程,解出 n 的值,然后再解题目中的每一问.?

5

由题知 C n ?
0

1 1 1 2 ? Cn ? 2 ? Cn 得 n=8 或 n=1(舍去).?? 2 2 2
8? r

(1)T r+1= C ( x )

r 8

(

1 24 x

) ?C ?2 x
r r 8

?r

3 4? r 4

.?

令 4-

3 r =1,得 r=4.? 4
4 ?4

∴x 的一次幂的项为 T4+1= C8 2 x ? (2)令 4-

35 x .? 8

3 r∈Z(且 0≤r≤8),? 4
4

∴只有当 r=0,4,8 时,对应的项才为有理项;有理项为 T1=x ,T5=

35 1 x,T9= .? 8 256 x 2

21.解:证明: f (1) ? 1 ? a1 ? 1 ?

1 3 4 ? , f (2) ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? 2 4 6 2 5 6 f (3) ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 )(1 ? a3 ) ? , f (4) ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 )(1 ? a3 )(1 ? a 4 ) ? 8 10

猜想: f (n) ?

n?2 ,证明如下: 2(n ? 1) 3 1? 2 3 , ? 公式成立 4 2(1 ? 1) 4 k?2 2(k ? 1)

(1)当 n ? 1 时, f (1) ?

(2)假设当 n ? k 时成立,即 f (k ) ?

那么 f (k ? 1) ? f (k )(1 ? ak ?1 ) ?

k?2 1 k ? 2 (k ? 2) 2 ? 1 [1 ? ] ? ? 2(k ? 1) 2(k ? 1) (k ? 2) 2 (k ? 2) 2

?

(k ? 1) ? 2 2[(k ? 1) ? 1] n?2 * 对任何 n ? N 都成立。 2(n ? 1)

由(1)(2)可知, f (n) ?

22.解: 3 2 (1)2xlnx≥-x +ax-3,则 a≤2lnx+x+ ,

x

3 ?x+3??x-1? 设 h(x)=2lnx+x+ (x>0),则 h′(x)= , 2

x

x

6

当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递增, 当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递减, 所以[h(x)]min=h(1)=4,因为对一切 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立, 所以 a≤[h(x)]min=4.

x 2 (2)证明:问题等价于证明 xlnx> x- (x∈ (0,+∞)), e e
1 1 由(1)可知 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是- ,当且仅 当 x= 时取得. e e

x 2 1- x 1 设 m(x)= x- (x∈(0,+∞)),则 m′(x)= x ,易得[m(x)]max=m(1)=- , e e e e
1 2 当且仅当 x=1 时取到,从而对一切 x∈(0,+∞),都有 lnx> x- 成立. e ex

7


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