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高中数学 2.3.1 等差数列的前n项和(一)优秀教案 新人教A版必修5


备课资料
一、备用习题 * 1.求集合 M={m|m=7n,n∈N ,且 m<100}的元素个数,并求这些元素的和 分析:求解的关键在于要理解这个集合的元素特征,抓好集合中的数全是由 7 的倍数组成, 再由本节课学过的知识运用加以解决

100 2 = 14 .所以,正整数 n 共有 14 个,即 M 中共有 14 个元素,即 7, 7 7 14 ?

(7 ? 98) 14, 21, ?, 98 是一个以 a1=7 为首项, 公差为 7 且 a 14=98 的等差数列.所以 Sn= 2
解:由 7n<100 得 n< =735.答:这些元素的和为 2.已知两个等差数列:2,5,8,?,197 和 2,7,12,?,197.求这两个数列中相同项之 和. 分析:两个等差数列的相同项仍组成等差数列,找出其首项、公差、项数,即可求出它们的 和 解:其相同项是 2,17,32,?,197,组成以 2 为首项,公差为 15,末项为 197 的等差数 列.设此数列共有 n 项,则 197=2+(n-1)×15,得 n=14, 那么相同项的和 S n ?

(2 ? 197 ) ?14 ? 1393 2

点评:如果两个等差数列的公差分别为 d1 和 d2,且 d1 和 d2 的最大公约数为 a,则两个等差 数列中公共项所组成的等差数列的公差 d=(d1×d2)÷a,即 d 为 d1 和 d2 的最小公倍数 3.用分期付款的方式购置房子一套, 价格为 115 万元.购置当天先付 15 万元, 以后每月的这 一天都支付 5 万元,并加付欠款利息,月利息率 1%.若交付 15 万元后的第 1 个月开始算分 期付款的第 1 个月,问分期付款的第 10 个月应付多少钱?全部房款付清后,购买这套房子 实际花了多少钱? 分析:购买时付了 15 万元,欠款 100 万元.每月付 5 万元及欠款利息,需分 20 次付完,且 每月总付款数顺次组成等差数列 解:由题意,购置当天付了 15 万元,欠款 100 万元.每月付 5 万元,共分 20 次付完.设每月 付款数顺次组成数列{an} ,则 a1=5+100×1%=6,a2=5+(100-5)×1%=6-0.05,a3=5+ (100-5×2)×1%=6-0.05×2,依次类推,得 an=6-0.05(n-1)(1≤n 由于 an-a n-1=-0.05,所以{an}组成等差数列,a10=6-0.05×9=5.55(万元).从而,全部房 款付清后总付款数为 S20+15=

( a1 ? a 20 ) ? 20 +15=125.5(万元 2

答:第 10 个月应付 5.55 万元,购买这套房子实际花了 125.5 万元 点评:解应用题时,首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系,逐个数据进行分析,建立 相应的数学模型.再求解数学模型,得出数学结论,最后回答实际问题 4.把正整数以下列方法分组:(1),(2,3),(4,5,6),?,其中每组都比它的前一组多一 个数,设 Sn 表示第 n 组中所有各数的和,那么 S21 等于( A.1 113 分析:第 21 组共有 21 个数,构成一个等差数列,公差为 1,首项比第 20 组的最后一个数 大 1,所以先求前 20 组一共有多少个数 解:因为第 n 组有 n 个数,所以前 20 组一共有 1+2+3+?+20=210 个数,于是第 21 组的第一 个数为 211,这组一共有 21 个数,S21=21×211+

21 ? 20 ×1=4 641,故选 2
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用心

爱心

点评:认真分析条件,转化为数列的基本问题 二、阅读材料 古代有关数列求和问题的故事 我国数列求和的概念起源很早,古书《周髀算经》里谈到“没日影”时,已出现了简单 的等差数列; 《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念 到南北朝时,张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了几个等差数 列问题.例如:“今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一 尺,计织三十日,问共织几何?”原书的解法是:“并初、末日织布数,半之,余以乘织讫 日数,即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式

Sn ?

(a1 ? an ) ?n 2

再如:“今有女子善织布,逐日所织的布以同数递增,初日织五尺,计织三十日,共织九匹 三丈,问日增几何?”书中给出了计算公式

d=(

2S n ? 2a1 )÷(nn n[2a1 ? (n ? 1)d ] 2

这个公式等价于现今中学课本里的公式:

Sn ?

大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事 其实,更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元 前 3 000 年 问题:一百份面包五个人分,要求:第二个人比第一个人多多少,第三个人比第二个人也多 多少,同样,第四个人比第三个人,第五个人比第四个人也多多少.此外,前两人所得的总 数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少? 解:我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包 x 份,第二个人比第一个人多分得 y 份,则第二个人分得 x+y 份,第三个人分得 x+2y 份,第四个人分得 x+3y 份,第五个人 分得 x+4y 份.于是有方程组

? x ? ( x ? y) ? ( x ? 2 y) ? ( x ? 3 y) ? ( x ? 4 y) ? 100, 化简,得 ? ?7[ x ? ( x ? y)] ? ( x ? 2 y) ? ( x ? 3 y) ? ( x ? 4 y).
2 ? x ?1 , ? ? x ? 2 y ? 20, ? 3 解得 ? ? ?11x ? 2 y. ?y ? 9 1. ? 6 ?
所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为

5 2 1 1 1 , 10 ,20, 29 , 38 6 3 6 3
上面的一列数 x,x+y,x+2y,x+3y,x+4y,由于项数较少,我们可以直接相加求出它们 的和.如果项数很多,怎样求它们的和呢?具体地说,设 Sn=x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+?+(x+ny), 能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢?这是容易做到的, 我们采用高斯的方法, 把 ①式倒过来写,得 Sn=(x+ny)+\[x+(n-1)y\]+?+(x+3y)+(x+2y)+(x+y)+x,
用心 爱心 专心 2

把①与②式按对应项相加,得 2Sn=(2x+ny)+(2x+ny)+?+(2x+n =(2x+ny)(n+1)=2(n+1)x+n(n ∴Sn=(n+1)x+

n( n ? 1) 2

这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列),求和是极快捷有效的 实际上,前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数 学著作中屡见不鲜,而且解法也令人叫绝,如《翠薇山房算学丛书》中有关梯形堆积物求总 数问题,有兴趣的话,可以查阅一下相关资料

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