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2011届江苏高考数学仿真模拟押题卷10


2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(10)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.已知集合 A ? {x | x ? 5} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分 不必要条件,则实数 a 的取值范围是 答案: a ? 5 2.复数 z ?

1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 答案: ?1 ? 2i 3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名 授课教师中抽取 20 名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶 图表示如下:
开始 S←0 T←1 S←T2-S T←T+1 N





2 ? z= z2





(第 3 题图) 据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体 进行教学次数在 ?15,30? 内的人数为 答案:100 解析:所抽取的 20 人中在 ?15,30? 内的人数 10 人, ▲ .

S≥10 Y W←S+T 输出 W 结束

(第 4 题)

故可得 200 名教师中使用多媒体进行教学次数在 ?15,30? 内的人数为 4.如图是一个算法的流程图,则最后输出的 W 的值为 答案:14 ▲ .

10 ? 200 =100 人。 20

解析: 本题考查算法流程图。 s ? 0, t ? 1 ? s ? 1, t ? 2 ? s ? 3, t ? 3 ? s ? 6, t ? 4 ? s ? 10 所以输出 w ? s ? t ? 14 。 5.已知 s n 是等差数列{ a n }的前 n 项和,若 s 2 ≥4, s 4 ≤16,则 a 5 的最大值是 答案:9 6.用半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接
2





部分忽略不计) 则该容器盛满水时的体积是 ,





答案:

1000? cm 3 3
x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 m2 n2

7.若在区间 [1,5] 和 [2, 4] 上分别各取一个数,记为 m 和 n ,则方程

x 轴上的椭圆的概率为
答案:2





解析:本题考查线性规划和几何概型。 由题意知 ?2 ? n ? 4, 画可行域如图阴影部分。
? ?m ? n ? ?1 ? m ? 5,

n 直线 m ? n 与 n ? 2 , ? 4 的交点分别为 (2,2) 4,4) , (

∴阴影梯形的面积为 (1 ? 3) ? 2 ? 4 , 而区间 [1,5] 和 [2, 4] 构成的区域面积为 8,故所求的概率为

1 2

4 1 ? 。 8 2

8.设 a 是实数.若函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1| 是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则函 数 f ( x ) 的递增区间为 答案: ??1,1? ? 9.已知三次函数 f ( x) ? ▲ .

a 3 b 2 a?b?c 的最小 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增,则 3 2 b?a

值为
答案:3





解析:由题意 f ?( x) ? ax2 ? bx ? c ≥0 在 R 上恒成立,则 a ? 0 ,△ ? b2 ? 4ac ≤0.
2 b 1 b 2 1 2 2 ∴ a ? b ? c ? a ? ab ?2 ac ≥ a ? ab ? 4 b ? 1 ? a ? 4 ( a )

b?a

ab ? a

ab ? a 2

b ?1 a

1? t ? t 2 2 4 ? 1 (t ? 2) ? 1 (t ? 1 ? 3) ? 1 (t ? 1 ? 9 ? 6) ≥3. 令 t ? b (t ? 1) a ? b ? c ≥ t ?1 4 t ?1 4 t ?1 4 t ?1 a b?a
2

1

(当且仅当 t ? 4 ,即 b ? 4a ? 4c 时取“=” 10. 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? m , 对任意实数 t , 都有 f ( 则实数 m 的值等于 答案: m ? ?5 或 ?1。 解析:本题考查三角函数的图象与性质。 由 f( ▲ .

?

且 ? t ) ? f ( ? t ) , f ( ) ?3 , ? 8 8 8

?

?

?

? t ) ? f ( ? t ) 可知 x ? 是该函数的一条对称轴, 8 8 8

?

?

故当 x ?

?
8

时,sin(? x ? ?) ? 1 或 ?1。 又由 f ( ) ? ?3 可得 m ? ?5 或 ?1。

?





8

11.已知 A,B,P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线 a 2 b2 2 PA,PB 的斜率乘积 kPA ? kPB ? ,则该双曲线的离心率为 ▲ . 3

2 答案: e ? 1 ? b ? 15 a2 3

解析: A, B 一定关于原点对称,设 A( x1 , y1 ) , B(? x1 , ? y1 ) , P( x, y)
2 2 2 2 则 x12 ? y1 ? 1 , k PA ? k PB ? b 2 ? 2 , e ? 1 ? b ? 15 . 2 a b a 3 a2 3

12.已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,等比数列 {bn } 的公比 q 为小于 1 的正有理数。若
2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 a1 ? d , b1 ? d ,且 b1 ? b2 ? b3

2





答案:

1 2
b } ,其中 min {a,b}表示数 a,b 中较小的数, a ? 4b2
2

13.已知 a ? 0,b ? 0,且 h ? min{a, 则 h 的最大值为 答案: ▲ .

1 2

14.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=2, f ? ? x ? ? 1 ,则不等式 f ? x2 ? ? x2 ? 1 解集 ▲ .

答案: ? ??, ?1? ? ?1, ?? ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图所示,已知 ? 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (?3, 4) , ? 的终边在第一象限且 与单位圆的交点 Q 的纵坐标为 ⑴求 tan(2? ? ? ) 的值; ⑵若
?
2
2 10

.

P?

y

?? ?? , 0 ? ? ?

?
2

,求 ? ? ? .
4 3
O

?

?

Q ?
x

解:⑴由三角函数的定义知 tan ? ? ? ∴ tan 2? ?
2 ? (? 4 ) 3 2 1 ? ( 4) 3

?

24 7

.
2 10
1

图(15)

又由三角函数线知 sin ? ?

,

24 ? 1 7 7 ∵ ? 为第一象限角,∴ tan ? ? ,∴ tan(2? ? ? ) ? 1 ? 24 ? 1 7 7 7
⑵∵ cos? ? ? ,
5 3

?

161 73

.

??7 分

?
2

? ? ? ? ,∴ sin ? ? .
5

4

又 sin ? ?

2 10

,0 ? ? ?

?
2

,∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?
4 7 2 10 3

7 2 10 2 10

. ?8 分

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
5

? ?
5

?

2 2

. ??14 分



?
2

?? ?? , 0 ? ? ?

?
2

,得

?
2

?? ? ? ?

3? 2

,∴ ? ? ? ?

3? 4

.

16.(本题满分 14 分) 在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC ? 平面 ABC ,

SA ? SC ? 2 3 , M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点.
⑴证明: AC ? SB ; ⑵(理)求二面角 N ? CM ? B 的正切值; ⑶求点 B 到平面 CMN 的距离. 解:

S
N

C
M A B

16 图

解法 1 :⑴取 AC 中点 D ,连结 SD 、 DB . ∵ SA ? SC , AB ? BC ∴ SD ? AC , BD ? AC , ∴ AC ? 平面 SDB ,又 SB ? 平面 SDB ,∴ AC ? SB . ⑵∵ AC ? 平面 SDB , AC ? 平面 ABC ,∴平面 SDB ? 平面 ABC . 过 N 作 NE ? BD 于 E ,则 NE ? 平面 ABC ,

??4 分

过 E 作 EF ? CM 于 F ,连结 NF ,则 NF ? CM , ?NFE 为二面角 N ? CM ? B 的平面角. ∵平面 SAC ? 平面 ABC , SD ? AC ,∴ SD ? 平面 ABC . 又 NE ? 平面 ABC ,∴ NE / / SD .∵ SN ? NB , ∴ NE ? SD ?
2 1 1 2 SA ? AD
2 2

?

1 2

12 ? 4 ? 2 ,且 ED ? EB . 1 1

S
N

在正 ?ABC 中,由平几知识可求得 EF ? MB ? ,
4 2

C
D

在 Rt ?NEF 中, tan ?NFE ?

EN EF

E F M
B

?2 2
A

答案图(16-1)

∴二面角 N ? CM ? B 的正切值为 2 2 .
3 2

??8 分
1 3 3 2

⑶在 Rt ?NEF 中, NF ? EF 2 ? EN 2 ? ,∴ S?CMN ? CM ? NF ?
2

, S?CMB ? BM ? CM ? 2 3 .
2

1

设点 B 到平面 CMN 的距离为 h , ∵ VB ?CMN ? VN ?CMB , NE ? 平面 CMB ,∴ S?CMN ? h ? S?CMN ? NE ,
3 3 1 1

∴h?

S ?CMB ? NE S ?CMN

?

4 2 3

.即点 B 到平面 CMN 的距离为

4 2 3

. ??14 分

解法 2 :⑴取 AC 中点 O ,连结 OS 、 OB .∵ SA ? SC , AB ? BC , ∴ AC ? SO , AC ? BO .∵平面 SAC ? 平面 ABC , 平面 SAC ? 平面 ABC ? AC ,∴ SO ? 平面 ABC ,∴ SO ? BO . 如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A(2,0,0) , B(0,2 3,0) ,

z

S
N
C
D B
x

??? ? ??? C (?2,0,0) , S (0,0,2 2 ) ,∴ AC ? (?4,0,0) , SB ? (0,2 3,2 2 ) ,
∵ AC ? SB ? (?4,0,0) ? (0,2 3,2 2) ? 0 ,∴ AC ? SB .
??? ??? ?

y

A

M

答案图(16-2)

??6 分

⑵∵ M (1, 3,0) , N (0, 3, 2 ) ,又 C (?2,0,0) ,∴ CM ? (3, 3,0) , MN ? (?1,0, 2) .
? 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 CMN 的一个法向量,则 ?CM ? n ? 3x ? ? ? ???? ?

???? ?

???? ?

?

???? ? ?

3y

?0,

? MN ? n ? ? x ? 2 z ? 0 ?

取 z ?1, x ? 2 , y ? ? 6 ,∴ n ? ( 2 , ? 6,1) .又 OS ? (0,0,2 2 ) 为平面 ABC 的一个法向量,
? ??? ? ∴ cos ? n, OS ?? ?n ? OS ? 1 ,得 sin ? n, OS ?? 2 ???
| n | ? | OS | 3

?

??? ?

? ??? ?

? ???

2 3

? ??? ? ∴ tan ? n, OS ??

2 2 3 1 3

? 2 2 .即二面角 N ? CM ? B 的正切值为 2 2 .

??10 分

⑶由⑴⑵得 MB ? (?1, 3,0) ,又 n ? ( 2 , ? 6,1) 为平面 CMN 的一个法向量, | n |? 3 , ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d ?
| n ? MB |
? |n| ? ????

????

?

?

?

|? 2 ?3 2 | 3

?

4 2 3

.??14 分

17.(本题满分 14 分) 某公司为了加大产品的宣传力度,准备立一块广告牌,在其背面制作一个形如△ABC 的支 架,要求∠ACB=60° ,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为节省材料,要 求 AC 的长度越短越好,求 AC 的最短长度,且当 AC 最短时,BC 的长度为多少米? 1 解:设 BC=x 米(x>1) ,AC=y 米,则 AB=y- . 2 1 在△ABC 中,由余弦定理,得(y- )2=y2+x2-2xycos60?. 2 1 x2- 4 所以 y= (x>1) . x-1 1 x2- 4 3 法一:y= =(x-1)+ +2≥2+ 3. x-1 4(x-1)
C B A

3 3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 时,y 有最小值 2+ 3. 2 4(x-1) 1 1 2x(x-1)-(x2- ) x2-2x+ 4 4 法二: y′= = . (x-1)2 (x-1)2 由 y′=0 得 x=1+ 所以当 x=1+ 3 3 3 .因为当 1<x<1+ 时,y′<0;当 x>1+ 时,y′>0, 2 2 2

3 时,y 有最小值 2+ 3. 2 3 )米.?????14 分 2

答:AC 的最短长度为 2+ 3米,此时 BC 的长度为(1+

18.(本题满分 16 分) 已知曲线 E:ax2+by2=1(a>0,b>0) ,经过点 M( → → 于点 A、B,且MB =-2MA . (1)若点 B 的坐标为(0,2) ,求曲线 E 的方程; (2)若 a=b=1,求直线 AB 的方程. 解: (1) 设 A(x0,y0),因为 B(0,2),M( 3 ,0) 3 ……………………………………2 分 3 ,0)的直线 l 与曲线 E 交 3

3 3 → → 故MB =(- ,2),MA =(x0- ,y0). 3 3

3 3 → → 因为MB =-2MA ,所以(- ,2)=-2(x0- ,y0). 3 3 所以 x0= 3 3 ,y0=-1.即 A( ,-1). 2 2 ……………………………………4 分

?a?0 +b?2 =1, ? 1 因为 A,B 都在曲线 E 上,所以? 解得 a=1,b= . 3 4 a?( )2+b?(-1)2=1. ? 2 ?
y2 所以曲线 E 的方程为 x2+ =1. 4 ……………………………………6 分

2

2

(2) (法一)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x2+y2=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
?2x1+x2= 3, 3 3 → → 因为MB =-2MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.

x1+x2 y1+y2 3-x1 y1 设线段 AB 的中点为 T,则点 T 的坐标为( , ),即( ,- ). 2 2 2 2 ?? 3-x1 y1 ?? 所以 OT =( ,- ), AB =(x2-x1,y2-y1)=( 3-3x1,-3y1). 2 2 ?? ?? 2 2 因为 OT⊥AB,所以 OT ? AB =0,即 3-4 3x1+3x1+3y1=0. 因为 x1+y1=1,所以 x1= 当点 A 的坐标为(
2 2

3 1 ,y1=? . 2 2

3 1 ,- )时,对应的点 B 的坐标为(0,1),此时直线 AB 的斜率 2 2 3 1 , )时, 对应的点 B 的坐标为(0, -1), 此时直线 AB 的斜率 k= 3, 2 2

k=- 3,所求直线 AB 的方程为 y=- 3x+1; 当点 A 的坐标为(

所求直线 AB 的方程为 y= 3x-1. ……………………………………16 分 (法二)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x2+y2=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
?2x1+x2= 3, 3 3 → → 因为MB =-2MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.
2 ?x2+y1=1,……① ?1 因为点 A,B 在圆上,所以? 2 ?x2+y2=1,……② ?2

由①× 4-②,得(2x1+x2)(2x1-x2)=3.所以 2x1-x2= 3,解得 x1= 由 x1= 3 1 ,得 y1=? . (以下同方法一) 2 2

3 ,x2=0. 2

(法三)如图,设 AB 中点为 T. 1 3 则 TM=TA-MA= AB,OM= . 6 3

?TM2+OT2=1, ? 3 根据 Rt△OTA 和 Rt△OTM,得? ? ?TA2+OT2=1.

y B

1 ?36AB2+OT2=1, ? T OT 1 3 即?1 解得 AB= 3,OT= .所以在 Rt△OTM 中,tan?OMT= = 3. 2 2 2 O M TM x ? ?4AB +OT =1.

A 所以 kAB=- 3或 3.所以直线 AB 的方程为 y=- 3x+1 或 y= 3x-1.

19.(本题满分 16 分) 设 f(x)=x3,等差数列{an}中 a3=7, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,记 Sn= f 数列 {

?

3

an ?1 ,令 bn=anSn,

?

1 } 的前 n 项和为 Tn. bn

(1)求{an}的通项公式和 Sn; 1 (2)求证:Tn< ; 3 (3)是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说明理由. 解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12 . 解得 a1 ? 1 , d =3,∴ an ? 3n ? 2 ∵ f ( x) ? x 3

an ?1 = an?1 ? 3n ? 1.…4 分 1 1 1 1 1 (2) bn ? an S n ? (3n ? 2)(3n ? 1) ,∴ ? ? ( ? ) bn (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1 1 1 1 )? 。 ∴ Tn ? (1 ? ………………………8 分 3 3n ? 1 3 n 1 m n (3)由(2)知, Tn ? ∴ T1 ? , Tm ? , Tn ? 3n ? 1 3n ? 1 4 3m ? 1 ∵ T1 , Tm , Tn 成等比数列. m 2 1 n 6m ? 1 3n ? 4 ) ? ? ∴ ( ,即 ………………………9 分 3m ? 1 4 3n ? 1 n m2 3n ? 4 当 m ? 1 时,7 ? , n =1,不合题意; n 13 3n ? 4 ? 当 m ? 2 时, , n =16,符合题意;………………………10 分 n 4 19 3n ? 4 25 3n ? 4 ? ? 当 m ? 3 时, , n 无正整数解;当 m ? 4 时, , n 无正整数解; n n 16 9 31 3n ? 4 ? 当 m ? 5 时, , n 无正整数解; 25 n 37 3n ? 4 ? 当 m ? 6 时, , n 无正整数解; ………………………12 分 36 n 6m ? 1 3n ? 4 4 2 ? 1, ? 3? ? 3, 当 m ? 7 时, ? 6m ? 1 ? (m ? 3) ? 10 ? 0 , 则 而 m2 2 n n m 所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ………15 分 综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列.…………16 分
∴Sn= f
3

?

?

20.(本题满分 16 分) 若函数 f ? x ? ? x4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d . (1)当 a ? d ? ?1 ,b ? c ? 0 时,若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴所有交点的横坐标的和与积 分别为 m , n . (i)求证: f ? x ? 的图象与 x 轴恰有两个交点;

(ii)求证: m2 ? n ? n3 . (2)当 a ? c , d ? 1 时,设函数 f ? x ? 有零点,求 a 2 ? b 2 的最小值. 解: (1)(i)因为 f ? x ? ? 4x3 ? 3x2 ? x2 ? 4x ? 3? , 所以 x ?

3 3? ? 是使 f ? x ? 取到最小值的唯一的值, 且在区间 ? ??, ? 上, 函数 f ? x ? 单调 4 4? ?

递减;在区间 ?

?3? ?3 ? , ?? ? 上,函数 f ? x ? 单调递增.因为 f ? ? ? 0 , f ? ?1? ? 0 , ?4? ?4 ?

f ? 2? ? 0 ,所以 f ? x ? 的图象与 x 轴恰有两个交点. ?4 分
(ii)设 x1,2 是方程 f ? x ? ? 0 的两个实根, f ? x ? 有因式 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x2 ? mx ? n , x 则 且 可 令 f ? x ? ? ( x2 ? mx ? n)( x2 ? px ? q) . 于 是 有 ( x2 ? mx? n x ? px? q ? 4x ? 3x ? . )( 2 ) 1 ① 分别比较(*)式中常数项和含 x3 的项的系数,得 nq ? ?1 , p ? m ? ?1 , 解得 q ? ?
4

1 , p ? m ?1 . n
3

所以 x ? x ? 1 ? x 2 ? mx ? n ? x 2 ? (m ? 1) x ? ? . n

?

?? ?

1? ?

分别比较①式中含 x 和 x2 的项的系数,得

m 1 ? n ? m ? 1? ? 0 ,???②, ? ? n ? m ? m ? 1? ? 0 ,③ n n
3 2 3 2 ②× m + ③×n 得 ?n ? n ? m ? 0 ,即 n ? n ? m .????10 分

(2)方程化为: x ? ax ? b ?
2

a 1 ? ?0, x x2

令t ? x ?

1 2 ,方程为 t ? at ? b ? 2 ? 0 , t ? 2 ,即有绝对值不小于 2 的实根. x

2 设 g ?t ? ? t ? at ? b ? 2 ? 0 t ? 2 ,

?

?

a ? ?2 ,即 a ? 4 时,只需 ? ? a2 ? 4b ? 8 ? 0 ,此时, a 2 ? b2 ? 16 ; 2 a 2 2 2 当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时,只需 ? ? a ? 4b ? 8 ? 0 ,此时, a ? b ? 16 ; 2 a 2 2 当 ?2 ? ? ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4 时,只需 ? ?2 ? ? 2a ? b ? 2 ? 0 或 2 ? 2a ? b ? 2 ? 0 , 2 4 2 2 即 ?2a ? b ? 2 ? 0 或 2a ? b ? 2 ? 0 ,此时 a ? b ? . 5
当?

4 a 2 ? b 2 的最小值为 .???????????????????16 分 5

(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P, E 为⊙O 上一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC. A · O C
(第 21-A 题图)

E B D P

证明:因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. ???????????????????????3 分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, 所以,∠PDE=∠POC.??????????????????????10 分 B.选修 4-2:矩阵与变换

?1 ? ?1 0 ? 0 试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式,其中 M = ? ? ,N = ? 2 ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ? ?1 0? ? 1 0? ? 1 0? 解:MN = ? ? ? 2 ? = ? 2 ? ???????????????????4 分 ?0 2? ? 0 1? ? 0 2? ? ? ? ?
即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ????????????????6 分 ? y? ? y ??? ? 2 y ? ?

? x?

? x ?? ?

?1 ? x ?

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x ?????10 分

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程:?

? ? y ? 1 ? 2t

x?t

( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? 2 2 sin(? ?

? ). 4

(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 解:消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ?????????????2 分

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,
4
两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) ,

( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2
(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

?????????????6 分

| 2 ?1?1| 2 ?1
2 2

?

2 5 ? 2, 5
?????????????10 分

所以直线 l 和⊙ C 相交.

D.选修 4-5:不等式选讲

y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z
证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .???10 分 yz zx xy x y z x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ . ???????3 分 yz zx z y x z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分, 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取) ,两次考试过程相互 独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分 别是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ? ,求随机变量 ? 的期望 E (? ) . 解: (1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件 A1 、 A2 、 A3 ;

E 表示事件“恰有一人通过笔试”
则 P( E) ? P( A A2 A3 ) ? P( A A2 A3 ) ? P( A A2 A3 ) 1 1 1

? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.38 ---------------------------------------------------------------------5 分
(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为 p ? 0.3 , ---------------------------------------------------------------------8 分

0.3) 所以 ? ~ B(3, ,故 E (? ) ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .-------------10 分
解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件 A,B,C , 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 所以 P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3) ? 0.3 ? 0.441,
2

P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .
于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 .

23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 已知直线 y ? 2 x ? k 被抛物线 x ? 4 y 截得的弦长 AB 为 20, O 为坐标原点.

(1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ ABC 面积最大?

解: (1)将 y ? 2 x ? k 代入 x 2 ? 4 y 得 x ? 8x ? 4k ? 0 ,----------------------2 分
2

由△ ? 64 ? 16 k ? 0 可知 k ? ?4 , 另一方面,弦长 AB ? 5 ? 64 ? 16k ? 20 ,解得 k ? 1 ;-------------6 分 (2)当 k ? 1 时,直线为 y ? 2 x ? 1 ,要使得内接△ABC 面积最大,

? 则只须使得 y C ?

1 ? 2 xC ? 2 ,-----------------------------------------------8 分 4

即 xC ? 4 ,即 C 位于(4,4)点处.----------------------------------------10 分


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