koorio.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

补集及综合应用 课件


第2课时 补集及综合应用

一、全集的概念及表示
1.概念:如果一个集合含有所研究问题中涉及的_________ 所有元素 ,

那么就称这个集合为全集.
2.全集的符号表示:全集通常用“__”表示 . U

思考:全集一定包含任何元素? 提示:不一定.全集仅包含我们所要研究问题所涉及的全部元 素,而非任何元素.

二、补集 全集U中子集A的补集是由U中_________ 不属于集 ______________ 合A的所有元素 组成的集合 {x|x∈U,且x?A} ?U A =_______________

文字语言 符号语言

图形语言

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若在全集U中研究问题,则集合U没有补集.( )

(2)集合



相等.(

)
)

(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.(

提示:(1)错误.集合U在全集U中的补集是空集,而不是没有
补集. (2)错误.若A=B,则 = ;否则不相等.

(3)正确.由补集的定义可知正确. 答案:(1)× (2)× (3)√

【知识点拨】
1.对全集的理解

可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行,这个范
围以外的问题不在我们研究的范围以内,这时就有理由将所 研究的这个范围视为全集.全集并不是固定不变的,它是依据 具体问题来加以选择的.

2.对补集的理解 (1)补集是以“全集”为前提的,离开了全集,补集就无意义 了.集合A在不同全集中补集也是不同的,因而在描述补集概

念时应注明是在哪个全集中的补集.
(2)补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,同

时也是一种思想方法.
(3)?U A 的三层含义:

① ?U A表示一个集合;
②A是U的子集,即A?U; ③ ?U A是U中不属于A的所有元素组成的集合.

3.补集的相关性质

类型 一

补集的基本运算

【典型例题】 1.(2012·广东高考)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4}, 则 A.U C.{3,5,6} =( ) B.{1,3,5} D.{2,4,6} =

2.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若 {x|2≤x≤5},则a=___________.

【解题探究】1.补集的含义是什么?求补集时应明确什么? 2.集合A与 探究提示: 1.全集U中子集A的补集是由U中不属于集合A的所有元素组成 的集合,因此求集合补集时应明确全集是什么 . 及U三者之间有什么关系?

2.集合A与

及U三者之间的关系是A∪

=U,A∩

= ?.

【解析】1.选C.因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},所以
={3,5,6},所以选C.

2.∵A∪
答案:2

=U,且A∩

=?,∴A={x|1≤x<2}.∴a=2.

【拓展提升】求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法:定义法. (2)两种处理技法: ①当集合用列举法表示时,直接套用定义或借助 Venn图求解.

②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用
数轴分析求解.

【变式训练】已知全集U={x|x是非零整数},集合A={x|x>2 或x<-6, x∈U},则 =( )

A.{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2} B.{-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2} C.{-5,-4,-3,-2,0,-1,1} D.{-5,-4,-3,-2,-1,1} 【解析】选B.集合A表示大于2或小于-6的非零整数集,故它 的补集为不小于-6且不大于2的非零整数集.故 -4,-3,-2,-1,1,2}. ={-6,-5,

类型 二

集合交、并、补的简单综合

【典型例题】 1.(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则( =( ) )∩( )

A.{5,8}
C.{0,1,3}

B.{7,9}
D.{2,4,6}

2.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},
P={x|x≤0或x≥
5 },求A∩B,( 2

)∪P,(A∩B)∩(

).

【解题探究】1.解答题1时应先计算什么?
2.当集合为连续数集时,求解交、并、补运算常借助什么工

具求解?
探究提示:

1.解答本题应先分别求出



,再求交集,可借助Venn图

解题或先求A∪B,利用补集的相关性质求解.

2.当集合为连续数集时,求解交、并、补运算时常借助的工
具是数轴,利用数轴分析求解.

【解析】1.选B.方法一:由图知,∵ ={0,1,3,7,9},∴( )∩(

={2,4,6,7,9}, )={7,9}.

方法二:∵A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8}, ∴( )∩( )= ={7,9}.

2.将集合A,B,P表示在数轴上,如图.

∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3}, ∴A∩B={x|-1<x<2}. ∵ ∴( ={x|x≤-1或x>3}, )∪P={x|x≤0或x≥ },
5 2 5 2

(A∩B)∩( ?U P )={x|-1<x<2}∩{x|0<x< }
={x|0<x<2}.

【互动探究】题1条件不变,求( 【解析】方法一:由题1知, {0,1,3,7,9},∴( )∪(

)∪(

). =

={2,4,6,7,9},

)={0,1,2,3,4,6,7,9}.

方法二:∵A∩B={5,8}, ∴( )∪( )= ={0,1,2,3,4,6,7,9}.

【拓展提升】集合交、并、补运算的技巧

(1)若已知集合为有限集,一般把集合中元素一一列举出来,
结合定义求解,有时也用到Venn图. (2)若已知集合为无限集,通常结合定义借助数轴分析求解, 此时应注意边界问题. (3)若已知集合为抽象集合时,通常借助Venn图化简后求解.

【变式训练】 (2013·宁波高一检测)已知全集U=R,集合 A={1,2,3,4,5},集合B={x∈R|x≥3},则A∩( )为 ( A.{1} B.{1,2} C.{1,2,3} ={x∈R|x<3}, D.{0,1,2} )

【解析】选B.∵ ∴A∩(

)={1,2}.

类型 三

补集性质的应用

【典型例题】

1.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩
=?,则M∪N=( A.M B.N ) C.I D.? ,求实

2.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},若A? 数a的取值范围.

【解题探究】1.条件N∩ 系?

=?说明集合M与N之间有什么关

2.通过什么方法将集合间的关系直观地表示出来? 探究提示: 1.N∩ =?,说明M与N之间有包含关系,并且N?M.

2.利用数轴可将集合间的关系直观地表示出来 .

【解析】1.选A.因为N∩ M∪N=M.

=?,所以N?M(如图),所以

2.∵

={x|x≤1或x≥2},若A?

,则a≤1,如图所示,

∴a的取值范围是a≤1.

【拓展提升】由补集间的关系求参数的方法 已知补集之间的关系求参数的取值范围时,常根据补集的定 义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系 式求解,具体操作时要注意端点值的“取”与“舍”.

【变式训练】设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若
?U A ={1,2},则实数m=______.

【解析】∵U={0,1,2,3}, ?U A={1,2}.∴A={0,3}.因此方 程x2+mx=0的两根为0和3,∴0+3=-m,即m=-3. 答案:-3

【规范解答】 由补集求参数的取值范围
【典例】

【条件分析】

【规范解答】根据题意可知,N≠?,又因为N?



所以讨论时考虑集合M有空集和非空两种情况①:????2分 若 M= ?, 则 =R,N? 显然成立.

于是有3a-1≥2a, 得a≥1.????????????????????4分 若M≠?, 则3a-1<2a,有a<1.??????????????5分 这时 由 N? ={x|x≤3a-1,或x≥2a},????????6分 得2a≤-1或3a-1≥3②,

即a≤- 1 或a≥ 4 ,??????????????8分
2

3 又a<1③故a≤ - 1 . ??????????????9分 2 综上所述a≥1或a≤- 1 .????????????10分 2 即a的取值集合为{a|a≥1或a≤- 1 }.??????12分 2

【失分警示】

【防范措施】 1.分类讨论的意识 在解答含有参数的问题时,要首先考虑由于参数的影响是否 需要分类讨论,如本例中集合M的端点处含有参数不确定,故 需要进行讨论. 2.隐含或限制条件的挖掘 在解题时,很多同学忽视了隐含条件,在最后给出结论时往 往忽略了条件的限制,导致错误,所以在解题时得到的答案 要回顾其限制条件是否满足,如本例中a<1易被忽视.

【类题试解】已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3},若A∪ =R,求实数a的取值范围. 【解析】∵B={x|1<x<3},∴ 因而要使A∪ ={x|x≤1或x≥3}.

=R.结合数轴分析

可得a≥3.

1.已知全集U={0,1,2},且
A.{0}

={2},则A=(

)

B.{1}

C.?
【解析】选D.∵

D.{0,1}
={2},

∴2?A,又U={0,1,2},
∴A={0,1}.

2.若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q C. ?Q B.Q?P D.Q?

)

【解析】选C.由题意, B, D错 .

={x|x≥1},画数轴可知,选项A,

3.设全集U=R,集合X={x|x≥0},Y={y|y≥1},则 关系是 _____ .





【解析】∵
∴ ? 或

={x|x<0},
.

={y|y<1},

答案:?(或

)

4.设全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d}, 则( )∪( )=__________. ={c,d}, ={a},

【解析】方法一:由已知, 故( )∪(

)={a,c,d}. )∪( )= ={a,c,d}.

方法二:(

答案:{a,c,d}

5.设全集U={2,4,-(a-3)2},集合A={2,a2-a+2},若 {-1},求实数a的值. 【解析】由 所以 ? ?
2

=

?1? U, ={-1},可得 ? ? ??1? A,

??(a ? 3) ? ?1,
2 a , ? ? ? a ? 2 ? ?1

解得a=4或a=2.

当a=2时,A={2,4},满足A?U,符合题意. 当a=4时,A={2,14},不满足A?U,故舍去. 综上可知,a的值为2.


赞助商链接
推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com